高考中的立体几何

高考中的立体几何

高考中的立体几何 考点1：证明平行：主要以线面平行或者面面平行为出题载体！‎ 解决办法：可以直接法和间接法！直接法：证明已知直线平行与面内的一条直线！间接法：证明面面平行来推出线面平行！证明面面平行则需加一步已知直线在该平面内！‎ 考点2: 证明垂直：主要以线面垂直与面面垂直为出题载体！‎ 解决方法：证明已知直线垂直面内两条相交直线可以推出线面垂直，如证明面面垂直则需加一步证明已知直线在另一个面内！‎ 考点3：点到平面的距离：主要以点到一个面的距离为出题载体！（多见与文科）‎ 解决办法： 绝大多数是用等体积法来求解，即先求出立体图形的体积在求出点到平面里的那个平面的面积最后建立等式求解！极少数是可以直接求出。‎ 考点4：线面角：主要以直线与面所成的角度出题！（多见于选择题）‎ 解决办法： 构建三角或直角三角形利用正余弦定理求解前者，利用三角函数求见后者！在构造三角形时，常需要将直线平行平移到面上组建三角形！‎ 考点5：求体积：主要以求锥体体积为出题载体！（常见于文科）‎ 解决办法：根据公式进行各未知量的求解进而应用公式求解！‎ 考点6：二面角：主要以求二面角的大小或函数值为主要出题载体（常见于理科）‎ 解决办法：1.先构造二面角（a.先找与两面都相交的直线是否有与两面的交线垂直如果垂直则直接向交线引垂线即可构造成功也是最简单的。b.如果找不到与两面相交的直线垂直与两面的交线时，则需寻找合适的与两面相交直线过与一面的交点引两面交线的垂线在连接垂足与直线与另一面的交点，应用三垂线定理构造二面角这个也是最常考的！c.需要平移与两面都相交的直线在应用b中的办法构造平移时多以中点平移或中位线平移出现，这类也是最难构造的二面角）2.应用余弦定理进行求解 考点7：球：这个的考法方式较多（选择题或填空题必出）‎ 解决办法：掌握大圆与小圆的性质，应用球心到平面距离和球半径进行解题！‎ 高考练习试题 ‎1.【2010·浙江理数】设，是两条不同的直线，是一个平面，则下列命题正确的是（  ）‎ A.若，，则       B.若，，则 C.若，，则        D.若，，则 ‎【答案】B ‎【解析】可对选项进行逐个检查.本题主要考察了立体几何中线面之间的位置关系及其中的公理和判定定理，也蕴含了对定理公理综合运用能力的考察，属中档题.‎ ‎2.【2010·全国卷2理数】与正方体的三条棱、、所在直线的距离相等的点（  ）‎ A.有且只有1个              B.有且只有2个 C.有且只有3个              D.有无数个 ‎【答案】D ‎【解析】直线上取一点，分别作垂直于于则分别作，垂足分别为M，N，Q，连PM，PN，PQ，由三垂线定理可得，PN⊥PM⊥；PQ⊥AB，由于正方体中各个表面、对等角全等，所以，∴PM=PN=PQ，即P到三条棱AB、CC1、A1D1.所在直线的距离相等所以有无穷多点满足条件，故选D.‎ ‎3.【2010·全国卷2理数】已知正四棱锥中，，那么当该棱锥的体积最大时，它的高为（  ）‎ A.1      B.      C.2         D.3‎ ‎【答案】C ‎【解析】本试题主要考察椎体的体积，考察告辞函数的最值问题.设底面边长为a，则高所以体积 ‎，设，则，当y取最值时，，解得a=0或a=4时，体积最大，此时，故选C.‎ ‎4.【2010·陕西文数】若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）‎ A.2       B.1         C.          D.‎ ‎【答案】B ‎【解析】本题考查立体图形三视图及体积公式如图，该立体图形为直三棱柱,所以其体积为.‎ ‎5.【2010·辽宁文数】已知是球表面上的点，，，，，则球的表面积等于（  ）‎ A.4       B.3      C.2       D.‎ ‎【答案】A ‎【解析】由已知，球的直径为，表面积为 ‎6.【2010·全国卷2文数】与正方体ABCD—A1B‎1C1D1的三条棱AB、CC1、A1D1所在直线的距离相等的点（  ）‎ A.有且只有1个                    B.有且只有2个 C.有且只有3个                    D.有无数个 ‎【答案】D ‎【解析】本题考查了空间想象能力.‎ ‎∵到三条两垂直的直线距离相等的点在以三条直线为轴，以正方体边长为半径的圆柱面上，∴三个圆柱面有无数个交点.‎ ‎7.【2010·全国卷2文数】已知三棱锥中，底面为边长等于2的等边三角形，垂直于底面，=3，那么直线与平面所成角的正弦值为（  ）‎ A.        B.         C.           D.‎ ‎【答案】D ‎【解析】本题考查了立体几何的线与面、面与面位置关系及直线与平面所成角.过A作AE垂直于BC交BC于E，连结SE，过A作AF垂直于SE交SE于F，连BF，∵正三角形ABC，∴ E为BC中点，∵ BC⊥AE，SA⊥BC，∴ BC⊥面SAE，∴ BC⊥AF，AF⊥SE，∴ AF⊥面SBC，∵∠ABF为直线AB与面SBC所成角，由正三角形边长3，‎ ‎∴ ，AS=3，∴ SE=，AF=，∴ .‎ ‎8.【2010·全国卷1文数】正方体-中，与平面所成角的余弦值为（  ）‎ A.        B.        C.        D.‎ ‎【答案】D ‎【解析】本小题主要考查正方体的性质、直线与平面所成的角、点到平面的距离的求法，利用等体积转化求出D到平面AC的距离是解决本题的关键所在,这也是转化思想的具体体现.‎ 方法一：因为BB1//DD1,所以B与平面AC所成角和DD1与平面AC所成角相等,设DO⊥平面AC，由等体积法得,即.设DD1=a,‎ 则,.‎ 所以,记DD1与平面AC所成角为,则,所以.‎ 方法二：设上下底面的中心分别为；与平面AC所成角就是B与平面AC所成角，.‎ ‎9.【2010·全国卷1文数】直三棱柱中，若，，则异面直线与所成的角等于（  ）‎ A.30°        B.45°        C.60°          D.90°‎ ‎【答案】C ‎ ‎【解析】本小题主要考查直三棱柱的性质、异面直线所成的角、异面直线所成的角的求法.延长CA到D，使得，则为平行四边形，就是异面直线与所成的角，又三角形为等边三角形，.‎ ‎10.【2010·全国卷2理数】如图，直三棱柱中，，，为的中点，为上的一点，．‎ ‎（Ⅰ）证明：为异面直线与的公垂线；‎ ‎（Ⅱ）设异面直线与的夹角为45°，求二面角的大小．‎ ‎【解析】本试题主要考查空间的线面关系与空间角的求解，考查考生的空间想象与推理计算的能力.‎ ‎ 解：解法一：‎ ‎（I）连接A1B，记A1B与AB1的交点为F.因为面AA1BB1为正方形，故A1B⊥AB1，且AF=FB1，又AE=3EB1，所以FE=EB1，又D为BB1的中点，故DE∥BF，DE⊥AB1.作CG⊥AB，G为垂足，由AC=BC知，G为AB中点.又由底面ABC⊥面AA1B1B.连接DG，则DG∥AB1，故DE⊥DG，由三垂线定理，得DE⊥CD.所以DE为异面直线AB1与CD的公垂线.‎ ‎（II）因为DG∥AB1，故∠CDG为异面直线AB1与CD的夹角，∠CDG=45°，设AB=2，则AB1=，DG=，CG=，AC=.作B1H⊥A‎1C1，H为垂足，因为底面A1B‎1C1⊥面AA1CC1，故B1H⊥面AA‎1C1C.又作HK⊥AC1，K为垂足，连接B1K，由三垂线定理，得B1K⊥AC1，因此∠B1KH为二面角A1-AC1-B1的平面角.‎ ‎11.【2010·陕西文数】如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是矩形PA⊥平面ABCD，AP=AB，BP=BC=2，E，F分别是PB,PC的中点.‎ ‎(Ⅰ)证明：EF∥平面PAD；‎ ‎(Ⅱ)求三棱锥E—ABC的体积V.‎ 解：(Ⅰ)在△PBC中，E，F分别是PB，PC的中点，∴EF∥BC.又BC∥AD,∴EF∥AD,又∵AD平面PAD,EF平面PAD,∴EF∥平面PAD.‎ ‎(Ⅱ)连接AE,AC,EC,过E作EG∥PA交AB于点G,则BG⊥平面ABCD,且EG=PA.在△PAB中，AD=AB,PAB°,BP=2,∴AP=AB=,EG=.‎ ‎∴S△ABC=AB·BC=××2=,∴VE-ABC=S△ABC·EG=××=.‎ ‎11.【2010·江西理数】如图△BCD与△MCD都是边长为2的正三角形，平面MCD平面BCD，AB平面BCD，.‎ ‎（1）   求点A到平面MBC的距离；‎ ‎（2）   求平面ACM与平面BCD所成二面角的正弦值.‎ ‎【解析】本题以图形拼折为载体主要考查了考查立体图形的空间感、点到直线的距离、二面角、空间向量、二面角平面角的判断有关知识，同时也考查了空间想象能力和推理能力.‎ 解：（1）取CD中点O，连OB，OM，则OB⊥CD，OM⊥CD.又平面平面,则MO⊥平面，所以MO∥‎ AB，A、B、O、M共面.延长AM、BO相交于E，则∠AEB就是AM与平面BCD所成的角.OB=MO=，MO∥AB，MO//面ABC，M、O到平面ABC的距离相等，作OHBC于H，连MH，则MHBC，求得：OH=OCsin600=,MH=,利用体积相等得：.‎ ‎（2）CE是平面与平面的交线.由（1）知，O是BE的中点，则BCED是菱形.‎ 作BF⊥EC于F，连AF，则AF⊥EC，∠AFB就是二面角A-EC-B的平面角，设为.因为∠BCE=120°，所以∠BCF=60°.，，所以，所求二面角的正弦值是.‎ ‎【点评】传统方法在处理时要注意到辅助线的处理，一般采用射影、垂线、平行线等特殊位置的元素解决.‎ ‎12.【2010·安徽文数】如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是正方形，AB=2EF=2，EF∥AB,EF⊥FB,∠BFC=90°，BF=FC,H为BC的中点，‎ ‎(Ⅰ)求证：FH∥平面EDB;‎ ‎（Ⅱ）求证：AC⊥平面EDB; ‎ ‎（Ⅲ）求四面体B—DEF的体积.‎ ‎          ‎ ‎【解析】本题考查空间线面平行、线面垂直、面面垂直的判断与证明，考查体积的计算等基础知识，同时考查空间想象能力、推理论证能力和运算能力.（1）设底面对角线交点为G，则可以通过证明EG∥FH，得∥平面；（2）利用线线、线面的平行与垂直关系，证明FH⊥平面ABCD，得FH⊥BC，FH⊥AC，进而得EG⊥AC，平面；（3）证明BF⊥平面CDEF，得BF为四面体B-DEF的高，进而求体积.‎ ‎【规律总结】本题是典型的空间几何问题，图形不是规则的空间几何体，所求的结论是线面平行与垂直以及体积，考查平行关系的判断与性质.解决这类问题，通常利用线线平行证明线面平行，利用线线垂直证明线面垂直，通过求高和底面积求四面体体积. ‎ ‎13.【2010·北京理数】如图，正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直，CE⊥AC,EF∥AC,AB=，CE=EF=1.‎ ‎（Ⅰ）求证：AF∥平面BDE；‎ ‎（Ⅱ）求证：CF⊥平面BDE；‎ ‎（Ⅲ）求二面角A-BE-D的大小.      ‎ 证明：（I） 设AC与BD交与点G.因为EF//AG，且EF=1，AG=AC=1.所以四边形AGEF为平行四边形.所以AF//平面EG，因为平面BDE，AF平面BDE，所以AF//平面BDE.‎ ‎（II）‎ ‎（II）因为正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面相互垂直，且CEAC，所以CE平面ABCD.如图，以C为原点，建立空间直角坐标系C-.则C（0，0，0），A（，，0），B（0，，0）. 所以，，.所以,，所以,.所以BDE.‎ ‎(III) 由（II）知，是平面BDE的一个法向量.设平面ABE的法向量,则，.即所以且 令则.所以.‎ 从而.因为二面角为锐角，所以二面角的大小为.‎ ‎14.【2010江苏卷文】如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，PD=DC=BC=1，AB=2，AB∥DC，∠BCD=900.‎ ‎(1)求证：PC⊥BC；‎ ‎(2)求点A到平面PBC的距离.‎ ‎[解析] 本小题主要考查直线与平面、平面与平面的位置关系，考查几何体的体积，考查空间想象能力、推理论证能力和运算能力.满分14分.‎ 解：（1）证明：因为PD⊥平面ABCD，BC平面ABCD，所以PD⊥BC.‎ 由∠BCD=900，得CD⊥BC，又PDDC=D，PD、DC平面PCD，‎ 所以BC⊥平面PCD.‎ 因为PC平面PCD，故PC⊥BC.‎ ‎（2）（方法一）分别取AB、PC的中点E、F，连DE、DF，则：易证DE∥CB，DE∥平面PBC，点D、E到平面PBC的距离相等.‎ 又点A到平面PBC的距离等于E到平面PBC的距离的2倍.‎ 由（1）知：BC⊥平面PCD，所以平面PBC⊥平面PCD于PC，因为PD=DC，PF=FC，所以DF⊥PC，所以DF⊥平面PBC于F.‎ 易知DF=，故点A到平面PBC的距离等于.‎ ‎（方法二）体积法：连结AC.设点A到平面PBC的距离为h.‎ 因为AB∥DC，∠BCD=900，所以∠ABC=900.‎ 从而AB=2，BC=1，得的面积.‎ 由PD⊥平面ABCD及PD=1，得三棱锥P-ABC的体积.‎ 因为PD⊥平面ABCD，DC平面ABCD，所以PD⊥DC.‎ 又PD=DC=1，所以.‎ 由PC⊥BC，BC=1，得的面积.‎ 由，，得，‎ 故点A到平面PBC的距离等于.‎