高中新课程数学新课标人教A版选修23随机变量及其分布高考真题

高中新课程数学新课标人教A版选修23随机变量及其分布高考真题

第二章 随机变量及其分布 本章归纳整合 高考真题 ‎1．(2011·辽宁高考，理5)从1，2，3，4，5中任取2个不同的数，事件A＝“取到的2个数之和为偶数”，事件B＝“取到的2个数均为偶数”，则P(B|A)＝ (　　)．‎ A. B. C. D. 解析　∵P(A)＝＝，P(AB)＝＝，‎ ‎∴P(B|A)＝＝.‎ 答案　B ‎2．(2011·浙江高考，理15)某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历，假定该毕业生得到甲公司面试的概率为，得到乙、丙两公司面试的概率均为p，且三个公司是否让其面试是相互独立的．记X为该毕业生得到面试的公司个数．若P(X＝0)＝，则随机变量X的数学期望E(X)＝________．‎ 解析　由P(X＝0)＝，所以×(1－p)×(1－p)＝，得p＝，所以X的分 布列如下：‎ X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P ××＋××＋××＝ ××＋××＋××＝ ××＝　　‎ 所以E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.‎ 答案　 ‎3．(2011·上海高考，理9)马老师从课本上抄录一个随机变量ξ的概率分布列如下表：‎ x ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P(ξ＝x)‎ ‎？‎ ‎！‎ ‎？‎ 请小牛同学计算ξ的数学期望，尽管“！”处完全无法看清，且两个“？”处字迹模糊，但能断定这两个“？”处的数值相同．据此，小牛给出了正确答案E(ξ)＝________．‎ 解析　设P(ξ＝1)＝P(ξ＝3)＝a，P(ξ＝2)＝b，则2a＋b＝1.于是，E(ξ)＝a＋‎ ‎2b＋3a＝2(2a＋b)＝2.‎ 答案　2‎ ‎4．(2011·湖南高考，理15)如图，EFGH是以O为圆心、半径为1的圆的内接正方形．将一颗豆子随机地扔到该圆内，用A表示事件“豆子落在正方形EFGH内”，B表示事件“豆子落在扇形OHE(阴影部分)内”，则 ‎(1)P(A)＝________；‎ ‎(2)P(B|A)＝________．‎ 解析　该题为几何概型，圆的半径为1，正方形的边长为，∴圆的面积为 π，正方形面积为2，扇形面积为.‎ 故P(A)＝，P(B|A)＝＝＝.‎ 答案　(1)　(2) ‎5．(2011·辽宁高考，理19)某农场计划种植某种新作物，为此对这种作物的两个品种(分别称为品种甲和品种乙)进行田间试验．选取两大块地，每大块地分成n小块地，在总共2n小块地中，随机选n小块地种植品种甲，另外n小块地种植品种乙．‎ ‎(1)假设n＝4，在第一大块地中，种植品种甲的小块地的数目记为X，求X的分布列和数学期望；‎ ‎(2)试验时每大块地分成8小块，即n＝8，试验结束后得到品种甲和品种乙在各小块地上的每公顷产量(单位：kg/hm2)如下表：‎ 品种甲 ‎403‎ ‎397‎ ‎390‎ ‎404‎ ‎388‎ ‎400‎ ‎412‎ ‎406‎ 品种乙 ‎419‎ ‎403‎ ‎412‎ ‎418‎ ‎408‎ ‎423‎ ‎400‎ ‎413‎ 分别求品种甲和品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差；根据试验结果，你认为应该种植哪一品种？‎ 附：样本数据x1，x2，…，xn的样本方差s2＝[(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(xn－)2]，其中为样本平均数．‎ 解　(1)X可能的取值为0，1，2，3，4，且 P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，‎ P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝，‎ P(X＝4)＝＝，即X的分布列为 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ P X的数学期望为 E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＝2.‎ ‎(2)品种甲的每公顷产量的样本平均数和样本方差分别为：‎ 甲＝(403＋397＋390＋404＋388＋400＋412＋406)＝400，‎ s＝[32＋(－3)2＋(－10)2＋42＋(－12)2＋02＋122＋62]＝57.25.‎ 品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差分别为：‎ 乙＝(419＋403＋412＋418＋408＋423＋400＋413)＝412，‎ s＝[72＋(－9)2＋02＋62＋(－4)2＋112＋(－12)2＋12]＝56.‎ 由以上结果可以看出，品种乙的样本平均数大于品种甲的样本平均数，且两品种的样本方差差异不大，故应该选择种植品种乙．‎ ‎6．(2011·山东高考，理18)红队队员甲、乙、丙与蓝队队员A、B、C进行围棋比赛，甲对A，乙对B，丙对C各一盘．已知甲胜A、乙胜B、丙胜C的概率分别为0.6，0.5，0.5.假设各盘比赛结果相互独立．‎ ‎(1)求红队至少两名队员获胜的概率；‎ ‎(2)用ξ表示红队队员获胜的总盘数，求ξ的分布列和数学期望E(ξ)．‎ 解　(1)设甲胜A的事件为D，乙胜B的事件为E，丙胜C的事件为F，则，，分别表示甲不胜A，乙不胜B，丙不胜C的事件．‎ 因为P(D)＝0.6，P(E)＝0.5，P(F)＝0.5，‎ 由对立事件的概率公式知P()＝0.4，P()＝0.5，‎ P()＝0.5.‎ 红队至少两人获胜的事件有：DE，DF，EF，DEF.由于以上四个事件两两互斥且各盘比赛的结果相互独立，因此红队至少两人获胜的概率为 P＝P(DE)＋P(DF)＋P(EF)＋P(DEF)‎ ‎＝0.6×0.5×0.5＋0.6×0.5×0.5＋0.4×0.5×0.5＋0.6×0.5×0.5＝0.55.‎ ‎(2)由题意知ξ可能的取值为0，1，2，3.‎ 又由(1)知F，E，D 是两两互斥事件，且各盘比赛的结果相互独立，‎ 因此P(ξ＝0)＝P( )＝0.4×0.5×0.5＝0.1，‎ P(ξ＝1)＝P( F)＋P(E)＋P(D )‎ ‎＝0.4×0.5×0.5＋0.4×0.5×0.5＋0.6×0.5×0.5＝0.35，‎ P(ξ＝3)＝P(DEF)＝0.6×0.5×0.5＝0.15.‎ 由对立事件的概率公式得 P(ξ＝2)＝1－P(ξ＝0)－P(ξ＝1)－P(ξ＝3)＝0.4.‎ 所以ξ的分布列为：‎ ξ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P ‎0.1‎ ‎0.35‎ ‎0.4‎ ‎0.15‎ 因此E(ξ)＝0×0.1＋1×0.35＋2×0.4＋3×0.15＝1.6.‎ ‎7．(2011·课标全国高考，理19)某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标值越大表明质量越好，且质量指标值大于或等于102的产品为优质品．现用两种新配方(分别称为A配方和B配方)做试验，各生产了100件这种产品，并测量了每件产品的质量指标值，得到下面试验结果：‎ A配方的频数分布表 指标值 分组 ‎[90，94)‎ ‎[94，98)‎ ‎[98，102)‎ ‎[102，106)‎ ‎[106，110]‎ 频数 ‎8‎ ‎20‎ ‎42‎ ‎22‎ ‎8‎ B配方的频数分布表 指标值 分组 ‎[90，94)‎ ‎[94，98)‎ ‎[98，102)‎ ‎[102，106)‎ ‎[106，110]‎ 频数 ‎4‎ ‎12‎ ‎42‎ ‎32‎ ‎10‎ ‎(1)分别估计用A配方，B配方生产的产品的优质品率；‎ ‎(2)已知用B配方生产的一件产品的利润y(单位：元)与其质量指标值t的关系式为y＝ 从用B配方生产的产品中任取一件，其利润记为X(单位：元)，求X的分布列及数学期望．(以试验结果中质量指标值落入各组的频率作为一件产品的质量指标值落入相应组的概率)‎ 解　(1)由试验结果知，用A配方生产的产品中优质品的频率为＝0.3，所以用A配方生产的产品的优质品率的估计值为0.3.‎ 由试验结果知，用B配方生产的产品中优质品的频率为＝0.42，所以用B配方生产的产品的优质品率的估计值为0.42.‎ ‎(2)用B配方生产的 ‎100件产品中，其质量指标值落入区间[90，94)，[94，102)，[102，110]的频率分别为0.04，0.54，0.42，因此P(X＝－2)＝0.04，P(X＝2)＝0.54，P(X＝4)＝0.42，‎ 即X的分布列为 X ‎－2‎ ‎2‎ ‎4‎ P ‎0.04‎ ‎0.54‎ ‎0.42‎ X的数学期望E(X)＝－2×0.04＋2×0.54＋4×0.42＝2.68.‎ ‎8．(2011·湖南高考，理18)某商店试销某种商品20天，获得如下数据：‎ 日销售量(件)‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ 频数 ‎1‎ ‎5‎ ‎9‎ ‎5‎ 试销结束后(假设该商品的日销售量的分布规律不变)，设某天开始营业时有该商品3件，当天营业结束后检查存货．若发现存量少于2件，则当天进货补充至3件，否则不进货．将频率视为概率．‎ ‎(1)求当天商店不进货的概率；‎ ‎(2)记X为第二天开始营业时该商品的件数．求X的分布列和数学期望．‎ 解　(1)P(“当天商品店不进货”)＝P(“当天商品销售量为0件”)＋P(“当天商品销售量为1件”)＝＋＝.‎ ‎(2)由题意知，X的可能取值为2，3.‎ P(X＝2)＝P(“当天商品销售量为1件”)＝＝；‎ P(X＝3)＝P(“当天商品销售量为0件”)＋P(“当天商品销售量为2件”)＋P(“当天商品销售量为3件”)＝＋＋＝.‎ 故X的分布列为 X ‎2‎ ‎3‎ P X的数学期望为E(X)＝2×＋3×＝.‎