高考椭圆几种题型

高考椭圆几种题型

高考椭圆几种题型 ― 引言 在高考之中占有比较重要的地位，并且占的分数也多。分析历年的高考试题，在选择题，填空题，大题都有椭圆 的题。所以我们对知识必须系统的掌握。对各种题型，基本的解题方法也要有一定的了解。 二 椭圆的知识 （一）、定义 1 平面内与与定点 F1、F2 的距离之和等于定长 2a(2a>|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆，其中 F1、F2 称为椭圆的焦点， |F1F2|称为焦距。其复数形式的方程为|Z-Z1|+| Z-Z2|=2a(2a>|Z1-Z2|) 2 一动点到一个定点 F 的距离和它到一条直线的距离之比是一个大于 0 小于 1 的常数，则这个动点的轨迹叫椭圆， 其中 F 称为椭圆的焦点，l 称为椭圆的准线。 （二）、方程 1 中心在原点，焦点在 x 轴上： 2 中心在原点，焦点在 y 轴上： 3 参数方程： 4 一般方程： （三）、性质 1 顶点： 或 2 对称性：关于 ， 轴均对称，关于原点中心对称。 3 离心率： 4 准线 5 焦半径：设 为 上一点，F1、F2 为左、右焦点，则 ， ； 设 为 上一点，F1、F2 为下、上焦点，则 ， 。 三 椭圆题型 （一）椭圆定义 )0(12 2 2 2 >>=+ bab y a x )0(12 2 2 2 >>=+ bab x a y    = = θ θ sin cos by ax )0,0(122 >>=+ BAByAx ),0(),0,( ba ±± )0,(),0( ba ±± x y )1,0(∈= a ce c ayc ax 22 =±= 或 ),( 00 yxP )0(12 2 2 2 >>=+ bab y a x 01 exaPF += 02 exaPF −= ),( 00 yxP )0(12 2 2 2 >>=+ bab x a y 01 exaPF += 02 exaPF −= 1.椭圆定义的应用 例 1 椭圆的一个顶点为 ，其长轴长是短轴长的 2 倍，求椭圆的标准方程． 分析：题目没有指出焦点的位置，要考虑两种位置． 解：（1）当 为长轴端点时， ， ， 椭圆的标准方程为： ； （2）当 为短轴端点时， ， ， 椭圆的标准方程为： ； 说明：椭圆的标准方程有两个，给出一个顶点的坐标和对称轴的位置，是不能确定椭圆的横竖的，因而要考虑两 种情况． 例 2 已知椭圆 的离心率 ，求 的值． 分析：分两种情况进行讨论． 解：当椭圆的焦点在 轴上时， ， ，得 ．由 ，得 ． 当椭圆的焦点在 轴上时， ， ，得 ． 由 ，得 ，即 ． ∴满足条件的 或 ． 说明：本题易出现漏解．排除错误的办法是：因为 与 9 的大小关系不定，所以椭圆的焦点可能在 轴上，也 可能在 轴上．故必须进行讨论． 例3 已知方程 表示椭圆，求 的取值范围． 解：由 得 ，且 ． ∴满足条件的 的取值范围是 ，且 ． 说明：本题易出现如下错解：由 得 ，故 的取值范围是 ． 出错的原因是没有注意椭圆的标准方程中 这个条件，当 时，并不表示椭圆． 例4 已知 表示焦点在 轴上的椭圆，求 的取值范围． 分析：依据已知条件确定 的三角函数的大小关系．再根据三角函数的单调性，求出 的取值范围． ( )02，A ( )02，A 2=a 1=b 114 22 =+ yx ( )02，A 2=b 4=a 1164 22 =+ yx 198 22 =++ y k x 2 1=e k x 82 += ka 92 =b 12 −= kc 2 1=e 4=k y 92 =a 82 += kb kc −=12 2 1=e 4 1 9 1 =− k 4 5−=k 4=k 4 5−=k 8+k x y 135 22 −=−+− k y k x k    −≠− <− <− ,35 ,03 ,05 kk k k 53 << k 4≠k k 53 << k 4≠k    <− <− ,03 ,05 k k 53 << k k 53 << k 0>> ba ba = 1cossin 22 =− αα yx )0( πα ≤≤ y α α α 解：方程可化为 ．因为焦点在 轴上，所以 ． 因此 且 从而 ． 说明：(1)由椭圆的标准方程知 ， ，这是容易忽视的地方． (2)由焦点在 轴上，知 ， ． (3)求 的取值范围时，应注意题目中的条件 例 5 已知动圆 过定点 ，且在定圆 的内部与其相内切，求动圆圆心 的轨迹方程． 分析：关键是根据题意，列出点 P 满足的关系式． 解：如图所示，设动圆 和定圆 内切于点 ．动点 到两定点， 即定点 和定圆圆心 距离之和恰好等于定圆半径， 即 ．∴点 的轨迹是以 ， 为两焦点， 半长轴为 4，半短轴长为 的椭圆的方程： ． 说明：本题是先根据椭圆的定义，判定轨迹是椭圆，然后根据椭圆的标准方程，求轨迹的方程．这是求轨迹方程的一 种重要思想方法． 2.关于线段长最值的问题一般两个方法：一种是借助图形，由几何图形中量的关系求最值，二是建立 函数关系求最值，或用均值不等式来求最值。 例(1)：点 P 为为椭圆 上一点，F1、F2 是椭圆的两个焦点，试求： 取得最值时的 点坐标。 解 ： (1) 设 ， 则 。 由 椭 圆 第 二 定 义 知 ： 。 ∴ 。当 时， 取最大值 ，此时点 P(0,±b)；当 时， 取 最小值 b2，此时点 P(±a，0)。 （二).焦半径及焦三角的应用 例 1 已知椭圆方程 ，长轴端点为 ， ，焦点为 ， ， 是 椭 圆上一点， ， ．求： 的面积（用 、 、 表示）． 1 cos 1 sin 1 22 =+ αα yx y 0sin 1 cos 1 >>− αα 0sin >α 1tan −<α )4 3,2( ππα ∈ 0sin 1 >α 0cos 1 >− α y αcos 12 −=a αsin 12 =b α πα <≤0 P ( )03，−A ( ) 643 22 =+− yxB： P P B M P ( )03，−A ( )03，B 8==+=+ BMPBPMPBPA P A B 734 22 =−=b 1716 22 =+ yx )0(12 2 2 2 >>=+ bab y a x 21 PFPF ⋅ P ),( 00 yxP ],[0 aax −∈ 0020 2 1 )(2,)(0 exaaexaPFaexec axPF −=+−=+=    −−= 21 PFPF ⋅ 0 222 xea −= 00 =x 21 PFPF ⋅ 2a ax ±=0 21 PFPF ⋅ ( )012 2 2 2 >>=+ bab y a x 1A 2A 1F 2F Pθ=∠ 21PAA α=∠ 21PFF 21PFF∆ a b α 分析：求面积要结合余弦定理及定义求角 的两邻边，从而利用 求面积． 解：如图，设 ，由椭圆的对称性，不妨设 ，由椭圆的对称性，不妨设 在第一象限．由余弦定理知： · ．① 由椭圆定义知： ②，则 得 ． 故 ． 例 2.　已知椭圆 内有一点 ， 、 分别是椭圆的左、右焦点，点 是椭圆上一点．　求 的最大值、最小值及对应的点 坐标； 分析：本题考查椭圆中的最值问题，通常探求变量的最值有两种方法：一是目标函数当，即代数方法．二是数形 结合，即几何方法．本题若按先建立目标函数，再求最值，则不易解决；若抓住椭圆的定义，转化目标，运用数形结 合，就能简捷求解． α CabS sin2 1=∆ ( )yxP ， ( )yxP ， P 2 21FF 2 2 2 1 PFPF += 12 PF− 2 2 4cos cPF =α aPFPF 221 =+ －①②2 αcos1 2 2 21 +=⋅ bPFPF αsin2 1 2121 PFPFS PFF ⋅=∆ αα sincos1 2 2 1 2 += b 2tan2 α b= 159 22 =+ yx )1,1(A 1F 2F P 1PFPA + P 解： 如上图， ， ， ，设 是椭圆上任一点，由 ， ， ∴ ，等号仅当 时成立，此时 、 、 共 线． 由 ，∴ ，等号仅当 时成立，此时 、 、 共线． 建立 、 的直线方程 ，解方程组 得两交点 、 ． 综上所述， 点与 重合时， 取最小值 ， 点与 重合时， 取最大值 ． （三）、直线与椭圆相交问题 (1) 常用分析一元二次议程解的情况，仅有△还不够，且用数形结合的思想。 (2) 弦的中点，弦长等，利用根与系数的关系式，但△>0 这一制约条件不同意。 例 1. 已知直线 过椭圆 的一个焦点，斜率为 2， 与椭圆相交于 M、N 两点，求弦 的长。 解：由 得 。 62 =a )0,2(2F 22 =AF P 6221 ==+ aPFPF 22 AFPFPA −≥ 262 22211 −=−=−+≥+ AFaAFPFPFPFPA 22 AFPFPA −= P A 2F 22 AFPFPA +≤ 262 22211 +=+=++≤+ AFaAFPFPFPFPA 22 AFPFPA += P A 2F A 2F 02 =−+ yx    =+ =−+ 4595 ,02 22 yx yx )214 15 7 5,214 15 7 9(1 +−P )214 15 7 5,214 15 7 9(2 −+P P 1P 1PFPA + 26 − P 2P 2PFPA + 26 + akAB ∆+= 21    + 21 21 xx xx l 7298 22 =+ yx l MN    =+ −= 7298 )1(2 22 yx xy 091811 2 =−− xx 方法一：由弦长公式 方法二： 例 2 已知长轴为 12，短轴长为 6，焦点在 轴上的椭圆，过它对的左焦点 作倾斜解为 的直线交椭圆于 ， 两 点，求弦 的长． 分析：可以利用弦长公式 求得， 也可以利用椭圆定义及余弦定理，还可以利用焦点半径来求． 解：(法 1)利用直线与椭圆相交的弦长公式求解． ．因为 ， ，所以 ．因为焦点在 轴上， 所以椭圆方程为 ，左焦点 ，从而直线方程为 ． 由 直 线 方 程 与 椭 圆 方 程 联 立 得 ： ． 设 ， 为 方 程 两 根 ， 所 以 ， ， ， 从而 ． (法 2)利用椭圆的定义及余弦定理求解． 由题意可知椭圆方程为 ，设 ， ，则 ， ． 在 中， ，即 ； 所以 ．同理在 中，用余弦定理得 ，所以 ． (法 3)利用焦半径求解． 先根据直线与椭圆联立的方程 求出方程的两根 ， ，它们分别是 ， 的横坐标． 再根据焦半径 ， ，从而求出 （四）、“点差法”解题。“设而不求”的思想。 当涉及至平行法的中点轨迹，过定点弦的中点轨迹，过定点且被定点平分的弦所在直线方程，用 “点差法”来求解。 11 60 11 91141851 2 2 =××+=∆+= akAB )(2)()( 212 2 1 2 xxaexc aexc aNFMFMN +−=−+−=+= 11 60 3 1 11 186 =×−= x 1F 3 π A B AB ]4))[(1(1 21 2 21 2 21 2 xxxxkxxkAB −++=−+= 21 21 xxkAB −+= ]4))[(1( 21 2 21 2 xxxxk −++= 6=a 3=b 33=c x 1936 22 =+ yx )0,33(−F 93 += xy 083637213 2 =×++ xx 1x 2x 13 372 21 −=+xx 13 836 21 ×=xx 3=k 13 48]4))[(1(1 21 2 21 2 21 2 =−++=−+= xxxxkxxkAB 1936 22 =+ yx mAF =1 nBF =1 mAF −=122 nBF −=122 21FAF∆ 3cos2 211 2 21 2 1 2 2 π FFAFFFAFAF −+= 2 1362336)12( 22 ⋅⋅⋅−⋅+=− mmm 34 6 − =m 21FBF∆ 34 6 + =n 13 48=+= nmAB 083637213 2 =×++ xx 1x 2x A B 11 exaAF += 21 exaBF += 11 BFAFAB += 步骤：1.设 A(x1,y1) B(x2,y2)分别代入椭圆方程； 2.设 为 AB 的中点。两式相减， 3.得出 注：一般的，对椭圆 上弦 及中点， ，有 说明： （1）有关弦中点的问题，主要有三种类型：过定点且被定点平分的弦；平行弦的中点轨迹；过定点的弦中点轨 迹． （2）解法二是“点差法”，解决有关弦中点问题的题较方便，要点是巧代斜率． （3）有关弦及弦中点问题常用的方法是：“韦达定理应用”及“点差法”．有关二次曲线问题也适用． 例 1 已知椭圆 ，（1）求过点 且被 平分的弦所在直线的方程； （2）求斜率为 2 的平行弦的中点轨迹方程； （3）过 引椭圆的割线，求截得的弦的中点的轨迹方程； （4）椭圆上有两点 、 ， 为原点，且有直线 、 斜率满足 ， 求线段 中点 的轨迹方程． 分析：此题中四问都跟弦中点有关，因此可考虑设弦端坐标的方法． 解：设弦两端点分别为 ， ，线段 的中点 ，则 ①－②得 ． 由 题 意 知 ， 则 上 式 两 端 同 除 以 ， 有 ， 将③④代入得 ．⑤ （1）将 ， 代入⑤，得 ，故所求直线方程为： ． ⑥ 将⑥代入椭圆方程 得 ， 符合题意， 为所求． （2）将 代入⑤得所求轨迹方程为： ．（椭圆内部分） （3）将 代入⑤得所求轨迹方程为： ．（椭圆内部分） ),( 00 yxp 0 2 0 2 21 2 21 2 21 21 )( )( ya xb yya xxb xx yy −=+ +−=− − 21 21 xx yyk − −= 12 2 2 2 =+ b y a x AB M 2 2 a bKK OMAB −=⋅ 12 2 2 =+ yx      2 1 2 1，P P ( )12，A P Q O OP OQ 2 1−=⋅ OQOP kk PQ M ( )11 yxM ， ( )22 yxN ， MN ( )yxR ，        =+ =+ =+ =+ ④， ③， ②， ①， yyy xxx yx yx 2 2 22 22 21 21 2 2 2 2 2 1 2 1 ( )( ) ( )( ) 02 21212121 =−++−+ yyyyxxxx 21 xx ≠ 21 xx − ( ) ( ) 02 21 21 2121 =− +++ xx yyyyxx 02 21 21 =− −+ xx yyyx 2 1=x 2 1=y 2 1 21 21 −=− − xx yy 0342 =−+ yx 22 22 =+ yx 04 166 2 =−− yy 04 16436 >××−=∆ 0342 =−+ yx 2 21 21 =− − xx yy 04 =+ yx 2 1 21 21 − −=− − x y xx yy 0222 22 =−−+ yxyx （4）由①＋②得 ： ， ⑦， 将③④平方并整理得 ， ⑧， ， ⑨ 将⑧⑨代入⑦得： ， ⑩ 再将 代入⑩式得： ， 即 ． 此即为所求轨迹方程．当然，此题除了设弦端坐标的方法，还可用其它方法解决． 例 2 已知中心在原点，焦点在 轴上的椭圆与直线 交于 、 两点， 为 中点， 的斜率为 0.25，椭圆的短轴长为 2，求椭圆的方程． 解：由题意，设椭圆方程为 ， 由 ，得 ， ∴ ， ， ，∴ ， ∴ 为所求． 例 5 分析：已知 是直线 被椭圆 所截得的线段的中点，求直线 的方程． 本题考查直线与椭圆的位置关系问题．通常将直线方程与椭圆方程联立消去 (或 )，得到关于 (或 )的一元二次方 程，再由根与系数的关系，直接求出 ， (或 ， )的值代入计算即得． 并不需要求出直线与椭圆的交点坐标，这种“设而不求”的方法，在解析几何中是经常采用的． 解：方法一：设所求直线方程为 ．代入椭圆方程，整理得 　① 设直线与椭圆的交点为 ， ，则 、 是①的两根，∴ ∵ 为 中点，∴ ， ．∴所求直线方程为 ． ( ) 22 2 2 2 1 2 2 2 1 =+++ yyxx 21 22 2 2 1 24 xxxxx −=+ 21 22 2 2 1 24 yyyyy −=+ ( ) 2244 24 21 221 2 =−+− yyyxxx 2121 2 1 xxyy −= 22 1242 21 2 21 2 =    −−+− xxyxxx 1 2 1 2 2 =+ yx x 01=−+ yx A B M AB OM 12 2 2 =+ ya x    =+ =−+ 1 01 2 2 2 ya x yx ( ) 021 222 =−+ xaxa 2 2 21 1 2 a axxxM +=+= 21 11 axy MM +=−= 4 11 2 === ax yk M M OM 42 =a 14 2 2 =+ yx )2,4(P l 1936 22 =+ yx l y x x y 21 xx + 21xx 21 yy + 21 yy )4(2 −=− xky 036)24(4)24(8)14( 222 =−−+−−+ kxkkxk ),( 11 yxA ),( 22 yxB 1x 2x 14 )24(8 221 + −=+ k kkxx )2,4(P AB 14 )24(4 24 2 21 + −=+= k kkxx 2 1−=k 082 =−+ yx 方法二：设直线与椭圆交点 ， ．∵ 为 中点，∴ ， ． 又∵ ， 在椭圆上，∴ ， 两式相减得 ， 即 ．∴ ．∴直线方程为 ． 方法三：设所求直线与椭圆的一个交点为 ，另一个交点 ． ∵ 、 在椭圆上，∴ 　　①。 　　　　　② 从而 ， 在方程①－②的图形 上，而过 、 的直线只有一条，∴直线方程为 ． （五）、轨迹问题 这一问题难，但是解决法非常多，有如下几种。 1.直接法：根据条件，建立坐标系，设动点(x，y)，直接列出动点所应满足的方程。 2.代入法：一个是动点 Q(x0,y0)在已知曲线 F(x,y)=0，上运动，而动点 P(x,y)与 Q 点满足某种关系，要求 P 点的 轨迹。其关键是列出 P、Q 两点的关系式 3.定义法：通过对轨迹点的分析，发现与某个圆锥曲线的定义相符，则通过这个定义求出方程。 4.参数法：在 x，y 间的方程 F(x,y)=0 难以直接求得时，往往用 (t 为参数)来反映 x，y 之间的关系。 常用的参数有斜率 k 与角 等。 例： 的一边的的顶点是 B(0,6)和 C(0,-6)，另两边斜率的乘积是 ，求顶点 A 的轨迹方程： 解：设 ，由题设得 。化简得 ),( 11 yxA ),( 22 yxB )2,4(P AB 821 =+ xx 421 =+ yy A B 364 2 1 2 1 =+ yx 364 2 2 2 2 =+ yx 0)(4)( 2 2 2 1 2 2 2 1 =−+− yyxx 0))((4))(( 21212121 =−++−+ yyyyxxxx 2 1 )(4 )( 21 21 21 21 −=+ +−=− − yy xx xx yy 082 =−+ yx ),( yxA )4,8( yxB −− A B 364 22 =+ yx 36)4(4)8( 22 =−+− yx A B 082 =−+ yx A B 082 =−+ yx    = = ),( ),(0 yxyy yxfx o    = = )( )( tyy tfx α ABC∆ 9 4− ),( yxA )0(9 466 ≠−=+⋅− xx y x y )0(13681 22 ≠=+ xyx