高考全国1卷理科数学试题和答案

高考全国1卷理科数学试题和答案

6,2019 年全国统一高考数学试卷（理科)（新课标Ⅰ) 第 I 卷（选择题) 一、单选题 1．已知集合 ，则 = A． B． C． D． 2．设复数 z 满足 ，z 在复平面内对应的点为(x，y)，则 A． B． C． D． 3．已知 ，则 A． B． C． D． 4．古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是 （ ≈0.618，称为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人 体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是 ．若某人满足上述两个黄金分 割比例，且腿长为 105cm，头顶至脖子下端的长度为 26 cm，则其身高可能是 A．165 cm B．175 cm C．185 cm D．190cm 5．函数 f(x)= 在[—π，π]的图像大致为 A． B． { } }24 2 { 6 0M x x N x x x= − < < = − − <， M N∩ }{ 4 3x x− < < }{ 4 2x x− < <− }{ 2 2x x− < < }{ 2 3x x< < =1iz − 2 2+1 1( )x y+ = 2 2( 1) 1x y− + = 2 2( 1) 1x y+ − = 22 ( +1) 1yx + = 0.2 0.3 2log 0.2, 2 , 0.2a b c= = = a b c< < a c b< < c a b< < b c a< < 5 1 2 − 5 1 2 − 5 1 2 − 2 sin cos x x x x + + C． D． 6．我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的 6 个 爻组成，爻分为阳爻“——”和阴爻“— —”，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重 卦，则该重卦恰有 3 个阳爻的概率是 A． B． C． D． 7．已知非零向量 a，b 满足 =2 ，且（a–b） b，则 a 与 b 的夹角为 A． B． C． D． 8．如图是求 的程序框图，图中空白框中应填入 A．A= B．A= C．A= D．A= 9．记 为等差数列 的前 n 项和．已知 ，则 A． B． C． D． 10．已知椭圆 C 的焦点为 ，过 F2 的直线与 C 交于 A，B 两点.若 5 16 11 32 21 32 11 16 a b ⊥ π 6 π 3 2π 3 5π 6 1 12 12 2 + + 1 2 A+ 12 A + 1 1 2A+ 11 2A + nS { }na 4 50 5S a= =， 2 5na n= − 3 10na n= − 22 8nS n n= − 21 22nS n n= − 1 21,0 1,0F F−( ) ， ( ) ， ，则 C 的方程为 A． B． C． D． 11．关于函数 有下述四个结论： ①f(x)是偶函数 ②f(x)在区间（ , ）单调递增 ③f(x)在 有 4 个零点 ④f(x)的最大值为 2 其中所有正确结论的编号是 A．①②④ B．②④ C．①④ D．①③ 12．已知三棱锥 P-ABC 的四个顶点在球 O 的球面上，PA=PB=PC，△ABC 是边长为 2 的正三角 形，E，F 分别是 PA，PB 的中点，∠CEF=90°，则球 O 的体积为 A． B． C． D． 第 II 卷（非选择题) 13．曲线 在点 处的切线方程为___________． 14．记 Sn 为等比数列{an}的前 n 项和．若 ，则 S5=____________． 15．甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛 结束）．根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”．设甲队主场取胜 的概率为 0.6，客场取胜的概率为 0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以 4∶1 获胜的概 率是____________． 16．已知双曲线 C： 的左、右焦点分别为 F1，F2，过 F1 的直线与 C 的 两条渐近线分别交于 A，B 两点．若 ， ，则 C 的离心率为 ____________． 17． 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，设 ． （1）求 A； 2 22AF F B=│ │ │ │ 1AB BF=│ ││ │ 2 2 12 x y+ = 2 2 13 2 x y+ = 2 2 14 3 x y+ = 2 2 15 4 x y+ = ( ) sin | | | sin |f x x x= + 2 π π [ , ]π π− 8 6π 4 6π 2 6π 6π 23( )exy x x= + (0,0) 2 1 4 6 1 3a a a= =， 2 2 2 2 1( 0, 0)x y a ba b − = > > 1F A AB=  1 2 0F B F B⋅ =  ABC 2 2(sin sin ) sin sin sinB C A B C− = − （2）若 ，求 sinC． 18．如图，直四棱柱 ABCD–A1B1C1D1 的底面是菱形，AA1=4，AB=2，∠BAD=60°，E，M，N 分 别是 BC，BB1，A1D 的中点． （1）证明：MN∥平面 C1DE； （2）求二面角 A-MA1-N 的正弦值． 19．已知抛物线 C：y2=3x 的焦点为 F，斜率为 的直线 l 与 C 的交点为 A，B，与 x 轴的交 点为 P． （1）若|AF|+|BF|=4，求 l 的方程； （2）若 ，求|AB|． 20．已知函数 ， 为 的导数．证明： （1） 在区间 存在唯一极大值点； （2） 有且仅有 2 个零点． 21．为了治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物 试验．试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验．对于两只白鼠，随机选一 只施以甲药，另一只施以乙药．一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验．当其中一种药 治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多 4 只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有 效．为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未 治愈则甲药得 1 分，乙药得 分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药 得 1 分，甲药得 分；若都治愈或都未治愈则两种药均得 0 分．甲、乙两种药的治愈率分 别记为 α 和 β，一轮试验中甲药的得分记为 X． （1）求 的分布列； （2）若甲药、乙药在试验开始时都赋予 4 分， 表示“甲药的累计得分为 2 2a b c+ = 3 2 3AP PB=  ( ) sin ln(1 )f x x x= − + ( )f x′ ( )f x ( )f x′ ( 1, )2 π− ( )f x 1− 1− X ( 0,1, ,8)ip i =  i 时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则 ， ， ，其中 ， ， ．假设 ， ． (i)证明： 为等比数列； (ii)求 ，并根据 的值解释这种试验方案的合理性． 22．[选修 4-4：坐标系与参数方程] 在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为 （t 为参数），以坐标原点 O 为 极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为 ． （1）求 C 和 l 的直角坐标方程； （2）求 C 上的点到 l 距离的最小值． 23．[选修 4-5：不等式选讲] 已知 a，b，c 为正数，且满足 abc=1．证明： （1） ； （2） 参考答案 1．C 【解析】 【分析】 本题考查集合的交集和一元二次不等式的解法，渗透了数学运算素养．采取数轴法，利用数 形结合的思想解题． 【详解】 由题意得， ，则 ．故选 C． 0 0p = 8 1p = 1 1i i i ip ap bp cp− += + + ( 1,2, ,7)i =  ( 1)a P X= = − ( 0)b P X= = ( 1)c P X= = 0.5α = 0.8β = 1{ }i ip p+ − ( 0,1,2, ,7)i =  4p 4p 2 2 2 1 1 4 1 tx t ty t  −= +  = + ， 2 cos 3 sin 11 0ρ θ ρ θ+ + = 2 2 21 1 1 a b ca b c + + ≤ + + 3 3 3( ) ( ) ( ) 24a b b c c a+ + + ≥+ + { } { }4 2 , 2 3M x x N x x= − < < = − < < { }2 2M N x x∩ = − < < 【点睛】 不能领会交集的含义易致误，区分交集与并集的不同，交集取公共部分，并集包括二者部 分． 2．C 【解析】 【分析】 本题考点为复数的运算，为基础题目，难度偏易．此题可采用几何法，根据点（x，y）和点 (0，1)之间的距离为 1，可选正确答案 C． 【详解】 则 ．故选 C． 【点睛】 本题考查复数的几何意义和模的运算，渗透了直观想象和数学运算素养．采取公式法或几何 法，利用方程思想解题． 3．B 【解析】 【分析】 运用中间量 比较 ，运用中间量 比较 【详解】 则 ．故 选 B． 【点睛】 本题考查指数和对数大小的比较，渗透了直观想象和数学运算素养．采取中间变量法，利用 转化与化归思想解题． 4．B 【解析】 【分析】 理解黄金分割比例的含义，应用比例式列方程求解． 【详解】 , ( 1) ,z x yi z i x y i= + − = + − 2 2( 1) 1,z i x y− = + − = 2 2( 1) 1x y+ − = 0 ,a c 1 ,b c 2 2log 0.2 log 1 0,a = < = 0.2 02 2 1,b = > = 0.3 00 0.2 0.2 1,< < = 0 1,c a c b< < < < 设人体脖子下端至肚脐的长为 x cm，肚脐至腿根的长为 y cm，则 ， 得 ．又其腿长为 105cm，头顶至脖子下端的长度为 26cm，所以其 身高约为 42．07+5．15+105+26=178．22，接近 175cm．故选 B． 【点睛】 本题考查类比归纳与合情推理，渗透了逻辑推理和数学运算素养．采取类比法，利用转化思 想解题． 5．D 【解析】 【分析】 先判断函数的奇偶性，得 是奇函数，排除 A，再注意到选项的区别，利用特殊值得正 确答案． 【详解】 由 ，得 是奇函数，其图象关于原点对 称．又 ．故选 D． 【点睛】 本题考查函数的性质与图象，渗透了逻辑推理、直观想象和数学运算素养．采取性质法或赋 值法，利用数形结合思想解题． 6．A 【解析】 【分析】 本题主要考查利用两个计数原理与排列组合计算古典概型问题，渗透了传统文化、数学计算 等数学素养，“重卦”中每一爻有两种情况，基本事件计算是住店问题，该重卦恰有 3 个阳 爻是相同元素的排列问题，利用直接法即可计算． 【详解】 由题知，每一爻有 2 中情况，一重卦的 6 爻有 情况，其中 6 爻中恰有 3 个阳爻情况有 26 26 5 1 105 2 x x y + −= =+ 42.07 , 5.15x cm y cm≈ ≈ ( )f x 2 2 sin( ) ( ) sin( ) ( )cos( ) ( ) cos x x x xf x f xx x x x − + − − −− = = = −− + − + ( )f x 2 2 1 4 22( ) 1,2 ( )2 f π π π π π + += = > 2( ) 01f ππ π= >− + 62 ，所以该重卦恰有 3 个阳爻的概率为 = ，故选 A． 【点睛】 对利用排列组合计算古典概型问题，首先要分析元素是否可重复，其次要分析是排列问题还 是组合问题．本题是重复元素的排列问题，所以基本事件的计算是“住店”问题，满足条件 事件的计算是相同元素的排列问题即为组合问题． 7．B 【解析】 【分析】 本题主要考查利用平面向量数量积计算向量长度、夹角与垂直问题，渗透了转化与化归、数 学计算等数学素养．先由 得出向量 的数量积与其模的关系，再利用向量夹角 公式即可计算出向量夹角． 【详解】 因为 ，所以 =0，所以 ，所以 = ，所以 与 的夹角为 ，故选 B． 【点睛】 对向量夹角的计算，先计算出向量的数量积及各个向量的摸，在利用向量夹角公式求出夹角 的余弦值，再求出夹角，注意向量夹角范围为 ． 8．A 【解析】 【分析】 本题主要考查算法中的程序框图，渗透阅读、分析与解决问题等素养，认真分析式子结构特 征与程序框图结构，即可找出作出选择． 【详解】 执行第 1 次， 是，因为第一次应该计算 = ， =2，循环， 3 6C 3 6 62 C 5 16 ( )a b b− ⊥ ,a b ( )a b b− ⊥ 2( )a b b a b b− ⋅ = ⋅ − 2a b b⋅ = cosθ 2 2 | | 1 2 | | 2 a b b a b b ⋅ = =⋅ a b 3 π [0, ]π 1 , 1 22A k= = ≤ 1 12 2 + 1 2 A+ 1k k= + 执行第 2 次， ，是，因为第二次应该计算 = ， =3，循环， 执行第 3 次， ，否，输出，故循环体为 ，故选 A． 【点睛】 秒杀速解 认真观察计算式子的结构特点，可知循环体为 ． 9．A 【解析】 【分析】 等差数列通项公式与前 n 项和公式．本题还可用排除，对 B， ， ，排除 B，对 C， ，排除 C．对 D， ，排除 D，故选 A． 【详解】 由题知， ，解得 ，∴ ，故选 A． 【点睛】 本题主要考查等差数列通项公式与前 n 项和公式，渗透方程思想与数学计算等素养．利用等 差数列通项公式与前 n 项公式即可列出关于首项与公差的方程，解出首项与公差，在适当计 算即可做了判断． 10．B 【解析】 【分析】 由已知可设 ，则 ，得 ，在 中求得 ，再在 中，由余弦定理得 ，从而可求解. 【详解】 2 2k = ≤ 1 12 12 2 + + 1 2 A+ 1k k= + 2 2k = ≤ 1 2A A = + 1 2A A = + 5 5a = 4 4( 7 2) 10 02S − += = − ≠ 2 4 5 5 40, 2 5 8 5 0 10 5S a S S= = − = × − × − = ≠ 2 4 5 5 4 1 50, 5 2 5 0 52 2S a S S= = − = × − × − = ≠ 4 1 5 1 4 4 3 02 4 5 dS a a a d  = + × × =  = + = 1 3 2 a d = −  = 2 5na n= − 2F B n= 2 12 , 3AF n BF AB n= = = 1 2AF n= 1AF B△ 1 1cos 3F AB∠ = 1 2AF F△ 3 2n = 法一：如图，由已知可设 ，则 ，由椭圆的定义有 ．在 中，由余弦定理推论得 ．在 中，由余弦定理得 ， 解得 ． 所求椭圆方程为 ， 故选 B． 法二：由已知可设 ，则 ，由椭圆的定义有 ．在 和 中，由余弦定理得 ，又 互补， ，两式消去 ，得 ， 解得 ． 所求椭圆方程为 ，故选 B． 【点睛】 本题考查椭圆标准方程及其简单性质，考查数形结合思想、转化与化归的能力，很好的 落实了直观想象、逻辑推理等数学素养． 11．C 【解析】 2F B n= 2 12 , 3AF n BF AB n= = = 1 2 1 22 4 , 2 2a BF BF n AF a AF n= + = ∴ = − = 1AF B△ 2 2 2 1 4 9 9 1cos 2 2 3 3 n n nF AB n n + −∠ = =⋅ ⋅ 1 2AF F△ 2 2 14 4 2 2 2 43n n n n+ − ⋅ ⋅ ⋅ = 3 2n = 2 2 22 4 2 3 , 3 , 3 1 2 ,a n a b a c∴ = = ∴ = ∴ = − = − = ∴ 2 2 13 2 x y+ = 2F B n= 2 12 , 3AF n BF AB n= = = 1 2 1 22 4 , 2 2a BF BF n AF a AF n= + = ∴ = − = 1 2AF F△ 1 2BF F△ 2 2 2 1 2 2 2 1 4 4 2 2 2 cos 4 , 4 2 2 cos 9 n n AF F n n n BF F n  + − ⋅ ⋅ ⋅ ∠ =  + − ⋅ ⋅ ⋅ ∠ = 2 1 2 1,AF F BF F∠ ∠ 2 1 2 1cos cos 0AF F BF F∴ ∠ + ∠ = 2 1 2 1cos cosAF F BF F∠ ∠, 2 23 6 11n n+ = 3 2n = 2 2 22 4 2 3 , 3 , 3 1 2 ,a n a b a c∴ = = ∴ = ∴ = − = − = ∴ 2 2 13 2 x y+ = 【分析】 化简函数 ，研究它的性质从而得出正确答案． 【详解】 为偶函数，故①正确．当 时， ，它在区间 单调递减，故②错误．当 时， ，它有两个零点： ；当 时， ，它有一个零点： ，故 在 有 个零点： ，故③错误．当 时， ；当 时， ，又 为偶函数， 的最大值为 ，故④正确．综上所述，①④ 正确，故选 C． 【点睛】 画出函数 的图象，由图象可得①④正确，故选 C． 12．D 【解析】 【分析】 先证得 平面 ，再求得 ，从而得 为正方体一部分， 进而知正方体的体对角线即为球直径，从而得解. 【详解】 解法一: 为边长为 2 的等边三角形， 为正三棱锥， ，又 ， 分别为 、 中点， ， ，又 ， 平面 ， ( ) sin sinf x x x= + ( ) ( ) ( ) ( )sin sin sin sin ,f x x x x x f x f x− = − + − = + = ∴ 2 x π π< < ( ) 2sinf x x= ,2 π π   0 x π≤ ≤ ( ) 2sinf x x= 0 , π 0xπ− ≤ < ( ) ( )sin sin 2sinf x x x x= − − = − π− ( )f x [ ],−π π 3 0−π , , π [ ]( )2 , 2x k k k ∗∈ π π + π ∈N ( ) 2sinf x x= [ ]( )2 , 2 2x k k k ∗∈ π + π π + π ∈N ( ) sin sin 0f x x x= − = ( )f x ( )f x∴ 2 ( ) sin sinf x x x= + PB ⊥ PAC 2PA PB PC= = = P ABC− ,PA PB PC ABC= = ∆ P ABC∴ − PB AC∴ ⊥ E F PA AB / /EF PB∴ EF AC∴ ⊥ EF CE⊥ ,CE AC C EF= ∴ ⊥ PAC PB ⊥ 平面 ， ， 为正方体一部分， ，即 ，故选 D． 解法二: 设 ， 分别为 中点， ，且 ， 为边长为 2 的等边三角形， 又 中余弦定理 ，作 于 ， ， 为 中点， ， ， ， ，又 ， PAC 2PAB PA PB PC∴∠ = 90°,∴ = = = P ABC∴ − 2 2 2 2 6R = + + = 36 4 4 6 6, 62 3 3 8R V R= ∴ = π = × = ππ 2PA PB PC x= = = ,E F ,PA AB / /EF PB∴ 1 2EF PB x= = ABC∆ 3CF∴ = 90CEF∠ = ° 2 13 , 2CE x AE PA x∴ = − = = AEC∆ ( )2 24 3 cos 2 2 x x EAC x + − − ∠ = × × PD AC⊥ D PA PC= D AC 1cos 2 ADEAC PA x ∠ = = 2 24 3 1 4 2 x x x x + − +∴ = 2 2 1 22 1 2 2 2x x x∴ + = ∴ = = 2PA PB PC∴ = = = = = =2AB BC AC 两两垂直， ， ， ，故选 D. 【点睛】 本题考查学生空间想象能力，补体法解决外接球问题．可通过线面垂直定理，得到三棱两两 互相垂直关系，快速得到侧棱长，进而补体成正方体解决． 13． . 【解析】 【分析】 本题根据导数的几何意义，通过求导数，确定得到切线的斜率，利用直线方程的点斜式求得 切线方程 【详解】 详解： 所以， 所以，曲线 在点 处的切线方程为 ，即 ． 【点睛】 准确求导数是进一步计算的基础，本题易因为导数的运算法则掌握不熟，二导致计算错 误．求导要“慢”，计算要准，是解答此类问题的基本要求． 14． . 【解析】 【分析】 本题根据已知条件，列出关于等比数列公比 的方程，应用等比数列的求和公式，计算得到 ．题目的难度不大，注重了基础知识、基本计算能力的考查． 【详解】 设等比数列的公比为 ，由已知 ，所以 又 ， , ,PA PB PC∴ 2 2 2 2 6R∴ = + + = 6 2R∴ = 34 4 6 6 63 3 8V R∴ = π = π× = π 3 0x y− = / 2 23(2 1) 3( ) 3( 3 1) ,x x xy x e x x e x x e= + + + = + + / 0| 3xk y == = 23( )exy x x= + (0,0) 3y x= 3 0x y− = 121 3 q 5S q 2 1 4 6 1 ,3a a a= = 3 2 51 1( ) ,3 3q q= 0q ≠ 所以 所以 ． 【点睛】 准确计算，是解答此类问题的基本要求．本题由于涉及幂的乘方运算、繁分式分式计算， 部分考生易出现运算错误． 15．0.216. 【解析】 【分析】 本题应注意分情况讨论，即前五场甲队获胜的两种情况，应用独立事件的概率的计算公式求 解．题目有一定的难度，注重了基础知识、基本计算能力及分类讨论思想的考查． 【详解】 前四场中有一场客场输，第五场赢时，甲队以 获胜的概率是 前四场中有一场主场输，第五场赢时，甲队以 获胜的概率是 综上所述，甲队以 获胜的概率是 【点睛】 由于本题题干较长，所以，易错点之一就是能否静心读题，正确理解题意；易错点之二是思 维的全面性是否具备，要考虑甲队以 获胜的两种情况；易错点之三是是否能够准确计 算． 16．2. 【解析】 【分析】 通过向量关系得到 和 ，得到 ，结合双曲线的渐近线 可得 从而由 可求 离心率. 【详解】 如图， 3,q = 5 5 1 5 1 (1 3 )(1 ) 1213 1 1 3 3 a qS q −−= = =− − 4:1 30.6 0.5 0.5 2 0.108,× × × = 4:1 2 20.4 0.6 0.5 2 0.072,× × × = 4:1 0.108 0.072 0.18.q = + = 4:1 1F A AB= 1OA F A⊥ 1AOB AOF∠ = ∠ 2 1,BOF AOF∠ = ∠ 0 2 1 60 ,BOF AOF BOA∠ = ∠ = ∠ = 0tan 60 3b a = = 由 得 又 得 OA 是三角形 的中位线，即 由 ，得 则 有 ， 又 OA 与 OB 都是渐近线，得 又 ，得 ．又渐近线 OB 的斜率为 ，所以该双曲 线的离心率为 ． 【点睛】 本题考查平面向量结合双曲线的渐进线和离心率，渗透了逻辑推理、直观想象和数学运算素 养．采取几何法，利用数形结合思想解题． 17．（1） ；（2） . 【解析】 【分析】 （1）利用正弦定理化简已知边角关系式可得： ，从而可整理出 ，根 据 可求得结果；（2）利用正弦定理可得 ，利用 、两角和差正弦公式可得关于 和 的方程，结合同角三角函 数关系解方程可求得结果. 【详解】 （1） 即： 1 ,F A AB=  1 .F A AB= 1 2 ,OF OF= 1 2F F B 2 2/ / , 2 .BF OA BF OA= 1 2 0F B F B =   1 2 1, ,F B F B OA F A⊥ ⊥ 1OB OF= 1AOB AOF∠ = ∠ 2 1,BOF AOF∠ = ∠ 2 1BOF AOB AOF π∠ + ∠ + ∠ = 0 2 1 60 ,BOF AOF BOA∠ = ∠ = ∠ = 0tan 60 3b a = = 2 21 ( ) 1 ( 3) 2c be a a = = + = + = 3A π= 6 2sin 4C += 2 2 2b c a bc+ − = cos A ( )0,A π∈ 2 sin sin 2 sinA B C+ = ( )sin sinB A C= + sinC cosC ( )2 2 2 2sin sin sin 2sin sin sin sin sin sinB C B B C C A B C− = − + = − 2 2 2sin sin sin sin sinB C A B C+ − = 由正弦定理可得： （2） ，由正弦定理得： 又 ， 整理可得： 解得： 或 因为 所以 ，故 . （2）法二： ，由正弦定理得： 又 ， 整理可得： ，即 由 ，所以 . 【点睛】 本题考查利用正弦定理、余弦定理解三角形的问题，涉及到两角和差正弦公式、同角三角函 2 2 2b c a bc+ − = 2 2 2 1cos 2 2 b c aA bc + −∴ = = ( )0,πA∈ 3A π = 2 2a b c+ = 2 sin sin 2 sinA B C+ = ( )sin sin sin cos cos sinB A C A C A C= + = + 3A π= 3 3 12 cos sin 2sin2 2 2C C C∴ × + + = 3sin 6 3cosC C− = 2 2sin cos 1C C+ = ( ) ( )2 23sin 6 3 1 sinC C∴ − = − 6 2sin 4C += 6 2 4 − 6sin 2sin 2sin 2sin 02B C A C= − = − > 6sin 4C > 6 2sin 4C += 2 2a b c+ = 2 sin sin 2 sinA B C+ = ( )sin sin sin cos cos sinB A C A C A C= + = + 3A π= 3 3 12 cos sin 2sin2 2 2C C C∴ × + + = 3sin 6 3cosC C− = 3sin 3cos 2 3sin 66C C C π − = − =   2sin 6 2C π ∴ − =   2(0, ), ( , )3 6 6 2C C π π π π∈ − ∈ − ,6 4 4 6C C π π π π− = = + 6 2sin sin( )4 6 4C π π += + = 数关系的应用，解题关键是能够利用正弦定理对边角关系式进行化简，得到余弦定理的形式 或角之间的关系. 18．（1）见解析；（2） . 【解析】 【分析】 （1）利用三角形中位线和 可证得 ，证得四边形 为平行四边形， 进而证得 ，根据线面平行判定定理可证得结论；（2）以菱形 对角线交点 为原点可建立空间直角坐标系，通过取 中点 ，可证得 平面 ，得到平面 的法向量 ；再通过向量法求得平面 的法向量 ，利用向量夹角公式求得 两个法向量夹角的余弦值，进而可求得所求二面角的正弦值. 【详解】 （1）连接 ， ， 分别为 ， 中点 为 的中位线 且 又 为 中点，且 且 四边形 为平行四边形 ，又 平面 ， 平面 平面 （2）设 ， 10 5 1 1/ /AD BC / /ME ND MNDE / /MN DE ABCD AB F DF ⊥ 1AMA 1AMA DF 1MAN n ME 1B C M E 1BB BC ME∴ 1B BC∆ 1/ /ME BC∴ 1 1 2ME B C= N 1A D 1 1/ /AD BC 1/ /ND BC∴ 1 1 2ND B C= //ME ND∴ ∴ MNDE / /MN DE∴ MN ⊄ 1C DE DE Ì 1C DE / /MN∴ 1C DE AC BD O= 1 1 1 1 1AC B D O= 由直四棱柱性质可知： 平面 四边形 为菱形 则以 为原点，可建立如下图所示的空间直角坐标系： 则： ， ， ，D（0，-1,0） 取 中点 ，连接 ，则 四边形 为菱形且 为等边三角形 又 平面 ， 平面 平面 ，即 平面 为平面 的一个法向量，且 设平面 的法向量 ，又 ， ，令 ，则 ， 二面角 的正弦值为： 【点睛】 本题考查线面平行关系的证明、空间向量法求解二面角的问题.求解二面角的关键是能够利 1OO ⊥ ABCD  ABCD AC BD∴ ⊥ O ( )3,0,0A ( )0,1,2M ( )1 3,0,4A 3 1, ,22 2N  −    AB F DF 03 1, ,2 2F        ABCD 60BAD∠ =  BAD∴∆ DF AB∴ ⊥ 1AA ⊥ ABCD DF ⊂ ABCD 1DF AA∴ ⊥ DF ⊥∴ 1 1ABB A DF ⊥ 1AMA DF∴ 1AMA 3 3, ,02 2DF  =     1MAN ( ), ,n x y z= ( )1 3, 1, 2MA = − 3 3, ,02 2MN  = −     1 3 2 0 3 3 02 2 n MA x y z n MN x y  ⋅ = − + =∴ ⋅ = − =   3x = 1y = 1z = − ( )3,1, 1n∴ = − 3 15cos , 515 DF nDF n DF n ⋅∴ < >= = = ⋅      10sin , 5DF n∴ < >=  ∴ 1A MA N− − 10 5 用垂直关系建立空间直角坐标系，从而通过求解法向量夹角的余弦值来得到二面角的正弦值， 属于常规题型. 19．（1） ；（2） . 【解析】 【分析】 （1）设直线 ： ， ， ；根据抛物线焦半径公式可得 ；联立直线方程与抛物线方程，利用韦达定理可构造关于 的方程，解方程求得 结果；（2）设直线 ： ；联立直线方程与抛物线方程，得到韦达定理的形式；利 用 可得 ，结合韦达定理可求得 ；根据弦长公式可求得结果. 【详解】 （1）设直线 方程为： ， ， 由抛物线焦半径公式可知： 联立 得： 则 ，解得： 直线 的方程为： ，即： （2）设 ，则可设直线 方程为： 联立 得： 则 ， ， 12 8 7 0x y− − = 4 13 3 l 3y = x m2 + ( )1 1,A x y ( )2 2,B x y 1 2 1x x =+ m l 2 3x y t= + 3AP PB=  1 23y y= − 1 2y y l 3y = x m2 + ( )1 1,A x y ( )2 2,B x y 1 2 3 42AF BF x x+ = + + = 1 2 5 2x x∴ + = 2 3 2 3 y x m y x  = +  = ( )2 29 12 12 4 0x m x m+ − + = ( )2 212 12 144 0m m∆ = − − > 1 2m∴ < 1 2 12 12 5 9 2 mx x −∴ + = − = 7 8m = − ∴ l 3 7 2 8y x= − 12 8 7 0x y− − = ( ),0P t l 2 3x y t= + 2 2 3 3 x y t y x  = +  = 2 2 3 0y y t− − = 4 12 0t∆ = + > 1 3t∴ > − 1 2 2y y∴ + = 1 2 3y y t=− 3AP PB=   1 23y y∴ =− 2 1y∴ =− 1 3y = 1 2 3y y∴ =− 则 【点睛】 本题考查抛物线的几何性质、直线与抛物线的综合应用问题，涉及到平面向量、弦长公式的 应用.关键是能够通过直线与抛物线方程的联立，通过韦达定理构造等量关系. 20．（1）见解析；（2）见解析 【解析】 【分析】 （1）求得导函数后，可判断出导函数在 上单调递减，根据零点存在定理可判断出 ，使得 ，进而得到导函数在 上的单调性，从而可证得结论； （2）由（1）的结论可知 为 在 上的唯一零点；当 时，首先可 判断出在 上无零点，再利用零点存在定理得到 在 上的单调性，可知 ，不存在零点；当 时，利用零点存在定理和 单调性可判断出存 在唯一一个零点；当 ，可证得 ；综合上述情况可证得结论. 【详解】 （1）由题意知： 定义域为： 且 令 ， ， 在 上单调递减， 在 上单调递减 在 上单调递减 ( )2 1 2 1 2 4 13 4 131 4 4 129 3 3AB y y y y= + ⋅ + − = ⋅ + = 1, 2 π −   0 0, 2x π ∃ ∈   ( )0 0g x′ = 1, 2 π −   0x = ( )f x ( ]1,0− 0, 2 x pæ ö÷çÎ ÷ç ÷ç ÷è ø ( )00, x ( )f x 0 , 2x π     ( ) 0f x > ,2x π π ∈   ( )f x ( ),x π∈ +∞ ( ) 0f x < ( )f x ( )1,− +∞ ( ) 1cos 1f x x x ′ = − + ( ) 1cos 1g x x x = − + 1, 2x π ∈ −   ( ) ( )2 1sin 1 g x x x ′∴ = − + + 1, 2x π ∈ −   ( )2 1 1x + 1, 2 π −   1 1 1 1 ,7n na a+ − = 1, 2 π −   ( )g x′∴ 1, 2 π −   又 ， ，使得 当 时， ； 时， 即 在 上单调递增；在 上单调递减 则 为 唯一的极大值点 即： 在区间 上存在唯一的极大值点 . （2）由（1）知： ， ①当 时，由（1）可知 在 上单调递增 在 上单调递减 又 为 在 上的唯一零点 ②当 时， 在 上单调递增，在 上单调递减 又 在 上单调递增，此时 ，不存在零点 又 ，使得 在 上单调递增，在 上单调递减 ( )0 sin0 1 1 0g′ = − + = > ( ) ( )2 2 4 4sin 1 02 2 2 2 g π π π π  ′ = − + = − <   + + 0 0, 2x π ∴∃ ∈   ( )0 0g x′ = ∴ ( )01,x x∈ − ( ) 0g x′ > 0 , 2x x π ∈   ( ) 0g x′ < ( )g x ( )01, x− 0 , 2x π     0x x= ( )g x ( )f x′ 1, 2 π −   0x ( ) 1cos 1f x x x ′ = − + ( )1,x∈ − +∞ ( ]1,0x∈ − ( )f x′ ( ]1,0− ( ) ( )0 0f x f′ ′∴ ≤ = ( )f x∴ ( ]1,0− ( )0 0f = 0x∴ = ( )f x ( ]1,0− 0, 2x π ∈   ( )f x′ ( )00, x 0 , 2x π     ( )0 0f ′ = ( )0 0f x′∴ > ( )f x∴ ( )00, x ( ) ( )0 0f x f> = 2 2cos 02 2 2 2f π π π π  ′ = − = − <  + +  1 0 , 2x x π ∴∃ ∈   ( )1 0f x′ = ( )f x∴ ( )0 1,x x 1, 2x π     又 ， 在 上恒成立，此时不存在零点 ③当 时， 单调递减， 单调递减 在 上单调递减 又 ， 即 ，又 在 上单调递减 在 上存在唯一零点 ④当 时， ， 即 在 上不存在零点 综上所述： 有且仅有 个零点 【点睛】 本题考查导数与函数极值之间的关系、利用导数解决函数零点个数的问题.解决零点问题的 关键一方面是利用零点存在定理或最值点来说明存在零点，另一方面是利用函数的单调性说 明在区间内零点的唯一性，二者缺一不可. 21．（1）见解析；（2）（i）见解析；（ii） . 【解析】 【分析】 （1）首先确定 所有可能的取值，再来计算出每个取值对应的概率，从而可得分布列； （2）（i）求解出 的取值，可得 ，从而整 理出符合等比数列定义的形式，问题得证；（ii）列出证得的等比数列的通项公式，采用累 ( ) ( )0 0 0f x f> = 2sin ln 1 ln ln1 02 2 2 2 ef π π π π    = − + = > =    +    ( ) 0f x∴ > 0 , 2x π     ,2x π π ∈   sin x ( )ln 1x− + ( )f x∴ ,2 π π     02f π  >   ( ) ( ) ( )sin ln 1 ln 1 0f π π π π= − + = − + < ( ) 02f f ππ  ⋅ <   ( )f x ,2 π π     ∴ ( )f x ,2 π π     ( ),x π∈ +∞ [ ]sin 1,1x ∈ − ( ) ( )ln 1 ln 1 ln 1x eπ+ > + > = ( )sin ln 1 0x x∴ − + < ( )f x ( ),π +∞ ( )f x 2 4 1 257p = X , ,a b c ( )1 10.4 0.5 0.1 1,2, ,7i i i ip p p p i− += + + = ⋅⋅⋅ 加的方式，结合 和 的值可求得 ；再次利用累加法可求出 . 【详解】 （1）由题意可知 所有可能的取值为： ， ， ； ； 则 的分布列如下： （2） ， ， ， （i） 即 整理可得： 是以 为首项， 为公比的等比数列 （ii）由（i）知： ， ，……， 作和可得： 表示最终认为甲药更有效的.由计算结果可以看出，在甲药治愈率为 0.5，乙药治愈率为 0.8 时，认为甲药更有效的概率为 ，此时得出错误结论的概率非常小， 8p 0p 1p 4p X 1− 0 1 ( ) ( )1 1P X α β∴ =− = − ( ) ( )( )0 1 1P X αβ α β= = + − − ( ) ( )1 1P X α β= = − X X 1− 0 1 P ( )1 α β− ( )( )1 1αβ α β+ − − ( )1α β− 0.5α = 0.8β = 0.5 0.8 0.4a∴ = × = 0.5 0.8 0.5 0.2 0.5b = × + × = 0.5 0.2 0.1c = × = ( )1 1 1,2, ,7i i i ip ap bp cp i− += + + = ⋅⋅⋅ ( )1 10.4 0.5 0.1 1,2, ,7i i i ip p p p i− += + + = ⋅⋅⋅ ( )1 15 4 1,2, ,7i i ip p p i− += + = ⋅⋅⋅ ( )( )1 14 1,2, ,7i i i ip p p p i+ −∴ − = − = ⋅⋅⋅ { }1i ip p+∴ − ( )0,1,2, ,7i = ⋅⋅⋅ 1 0p p− 4 ( )1 1 0 14 4i i i ip p p p p+ − = − ⋅ = ⋅ 7 8 7 1 4p p p∴ − = ⋅ 6 7 6 1 4p p p− = ⋅ 0 1 0 1 4p p p− = ⋅ ( ) 8 8 0 1 7 8 0 1 1 1 1 4 4 14 4 4 11 4 3p p p p p − −− = ⋅ + +⋅⋅⋅+ = = =− 1 8 3 4 1p∴ = − ( ) 4 4 0 1 2 3 4 4 0 1 1 8 4 1 4 4 1 3 1 14 4 4 4 1 4 3 4 1 4 1 257p p p p p − −∴ = − = ⋅ + + + = = × = =− − + 4p 4 1 0.0039257p = ≈ 说明这种实验方案合理. 【点睛】 本题考查离散型随机变量分布列的求解、利用递推关系式证明等比数列、累加法求解数列通 项公式和数列中的项的问题.本题综合性较强，要求学生能够熟练掌握数列通项求解、概率 求解的相关知识，对学生分析和解决问题能力要求较高. 22．（1） ； ；（2） 【解析】 【分析】 （1）利用代入消元法，可求得 的直角坐标方程；根据极坐标与直角坐标互化原则可得 的直角坐标方程；（2）利用参数方程表示出 上点的坐标，根据点到直线距离公式可将所 求距离表示为三角函数的形式，从而根据三角函数的范围可求得最值. 【详解】 （1）由 得： ，又 整理可得 的直角坐标方程为： 又 ， 的直角坐标方程为： （2）设 上点的坐标为： 则 上的点到直线 的距离 当 时， 取最小值 2 2: 1, ( 1,1]4 yC x x+ = ∈ − : 2 3 11 0l x y+ + = 7 C l C 2 2 1 1 tx t −= + 2 1 0, ( 1,1]1 xt xx −= ≥ ∈ −+ ( ) 2 2 22 16 1 ty t = + ( )( )2 2 2 116 1 4 1 1 4 4 11 1 x xy x x x x x −× +∴ = = + − = − − + +  C 2 2 1, ( 1,1]4 yx x+ = ∈ − cosx ρ θ= siny ρ θ= l∴ 2 3 11 0x y+ + = C ( )cos ,2sinθ θ C l 4sin 112cos 2 3sin 11 6 7 7 d πθθ θ  + + + +  = = sin 16 πθ + = −   d 则 【点睛】 本题考查参数方程、极坐标方程与直角坐标方程的互化、求解椭圆上的点到直线距离的最值 问题.求解本题中的最值问题通常采用参数方程来表示椭圆上的点，将问题转化为三角函数 的最值求解问题. 23．（1）见解析；（2）见解析 【解析】 【分析】 （1）利用 将所证不等式可变为证明： ，利用基本不等 式可证得 ，从而得到结论；（2）利用基本不等式可得 ，再次利用基本不等式可将式转化为 ，在取等条件一致的情况下，可得结论. 【详解】 （1） 当且仅当 时取等号 ，即： （2） ，当且仅当 时取等 号 又 ， ， （当且仅当 时等号同时成立） 又 【点睛】 本题考查利用基本不等式进行不等式的证明问题，考查学生对于基本不等式的变形和应用能 min 7d = 1abc = 2 2 2a b c bc ac ab+ + ≥ + + ( )2 2 22 2 2 2a b c ab bc ac+ + ≥ + + ( ) ( ) ( ) ( )( )( )3 3 3 3a b b c c a a b b c c a+ + + + + ≥ + + + ( ) ( ) ( ) ( )3 3 3 224a b b c c a abc+ + + + + ≥ 1abc = 1 1 1 1 1 1 abc bc ac aba b c a b c  ∴ + + = + + ⋅ = + +   ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 2 2 2 22 2 2 2a b c a b b c c a ab bc ac+ + = + + + + + ≥ + + a b c= = ( )2 2 2 1 1 12 2a b c a b c  ∴ + + ≥ + +   2 2 2 1 1 1a b c a b c + + + +≥ ( ) ( ) ( ) ( )( )( )3 3 3 3a b b c c a a b b c c a+ + + + + ≥ + + + a b c= = 2a b ab+ ≥ 2b c bc+ ≥ 2a c ac+ ≥ a b c= = ( ) ( ) ( ) ( )3 3 3 23 2 2 2 24a b b c c a ab bc ac abc∴ + + + + + ≥ × × × = 1abc = ( ) ( ) ( )3 3 3 24a b b c c a∴ + + + + + ≥ 力，需要注意的是在利用基本不等式时需注意取等条件能否成立. 0 欢迎您的光临，Word 文档下载后可修改编辑.双击可删除页眉页脚.谢谢！希望您提出您宝贵的意见，你的意见是我进步的动力。赠语； 1、如果我们做与不做都会有人笑，如果做不好与做得好还会有人笑，那么我们索性就做得更好，来给人笑吧！ 2、现在你不玩命的学，以后命玩你。3、我不知道年少轻狂，我只知道胜者为王。4、不要做金钱、权利的奴隶；应学会做“金钱、权利”的主人。5、什么时候离光明最近？那就是你觉得黑暗太黑的时候。6、最值得欣赏的风景，是自己奋斗的足迹。 7、压力不是有人比你努力，而是那些比你牛×几倍的人依然比你努力。 0050