2012高考总复习走向清华北大8
第八讲一次函数､二次函数､幂函数
班级________姓名________考号________日期________得分________
一､选择题:(本大题共6小题,每小题6分,共36分,将正确答案的代号填在题后的括号内.)
1.已知一次函数y=ax+c与二次函数y=ax2+bx+c(a≠0),它们在同一坐标系中的大致图象是()
解析:当a>0时,一次函数单调递增,二次函数开口向上,又一次函数与二次函数都过点(0,c);当a<0时,一次函数递减,二次函数开口向下,又都过点(0,c).故排除A､B､C.
答案:D
2.若函数y=(x+1)(x-a)为偶函数,则a=()
A.-2 B.-1
C.1 D.2
解析:∵y=(x+1)(x-a)=x2+(1-a)x-a为偶函数,∴1-a=0,即a=1.
答案:C
3.若f(x)=x2+2mx+m2-2m在(-∞,3]上单调递减,则实数m的取值范围是()
A.(-∞,-3] B.[-3,+∞)
C.(-∞,3] D.[3,+∞)
解析:因为f(x)开口向上,对称轴为x=-m,且在(-∞,3]上单调递减,结合图象得-m≥3,即m≤-3.
答案:A
4.设m∈R,f(x)=x2-x+a(a>0),且f(m)<0,则f(m+1)的值()
A.大于0B.小于0
C.等于0D.不确定
解析:函数f(x)=x2-x+a的对称轴为x=y,f(0)=a,
∵a>0,∴f(0)>0,由二次函数的对称性可知f(1)=f(0)>0.
∵抛物线的开口向上,∴由图象可知当x>1时,恒有f(x)>0.∵f(m)<0,∴0
0,
∴m+1>1,∴f(m+1)>0.
答案:A
评析:数形结合思想的实质是通过对图象的观察分析,并进行简单的运算与推理,来寻找解题思路,并得出结论.
5.已知幂函数 (p,q∈N+且p与q互质)的图象如图所示,则()
A.p、q均为奇数且<0
B.p为奇数,q为偶数且<0
C.p为奇数,q为偶数且>0
D.p为偶数,q为奇数且<0
解析:∵函数的图象是双曲线型,∴<0.
又∵函数的图象关于y轴对称,∴函数f(x)是偶函数,
∴q为奇数,p为偶数,故选D.
答案:D
评析:由函数的图象去研究函数的性质,一定要抓住函数图象的特征,幂函数的图象特征与其幂指数的取值是密切相关的,根据它们之间的关系是解决本题的关键所在.
6.给定一组函数解析式:
如图所示一组函数图象.图象对应的解析式号码顺序正确的是()
A.⑥③④②⑦①⑤ B.⑥④②③⑦①⑤
C.⑥④③②⑦①⑤ D.⑥④③②⑦⑤①
解析:观察前三个图象,由于在第一象限内,函数值随x的增大而减小,知幂指数应小于零,其中第一个函数图象关于原点对称,第二个函数图象关于y轴对称,而第三个函数的定义域为x>0,因此,第一个图象应对应函数y=x-,第三个图象对应y=x-;后四个图象都通过(0,0)和(1,1)两点,故知幂指数应大于0,第四个图象关于y轴对称,第五个图象关于原点对称,定义域都是R,因此,第四个图象对应函数,第五个图象对应.由最后两个图象知函数定义域为x≥0,而第六个图象呈上凸状,幂指数应小于1,第七个图象呈下凹状,幂指数应大于1,故第六个图象对应,第七个图象对应.
答案:C
二､填空题:(本大题共4小题,每小题6分,共24分,把正确答案填在题后的横线上.)
7.已知不等式(a2-1)x2+(a-1)x+>0,对任意的x∈R恒成立,则实数a的取值范围是________.
解析:设f(x)=(a2-1)x2+(a-1)x+
∵分母中有a+1,∴a≠-1.
①当a=1时,f(x)=1,符合已知条件;
②当a≠±1时,函数f(x)是二次函数,由题意可知,函数f(x)的图象开口向上,且与x轴没有交点.
∴
即∴10,则
解析:
答案:-27
10.(精选考题·广州月考)函数 (m∈N*)的定义域是________,单调递增区间是________.
解析:由于m2+m=m(m+1),且m∈N*,所以m2+m一定是偶数,因此要使有意义,必须满足x≥0,即函数的定义域为[0,+∞).又因为当有意义时,必有>0,故函数的递增区间是[0,+∞).
答案:[0,+∞)[0,+∞)
三､解答题:(本大题共3小题,11､12题13分,13题14分,写出证明过程或推演步骤.)
11.(精选考题·济宁育才中学月考)已知函数且f(4)
(1)求m的值;
(2)判定f(x)的奇偶性;
(3)判断f(x)在(0,+∞)上的单调性,并给予证明.
解:(1)因为f(4)=,所以4m-=,所以m=1.
(2)因为f(x)的定义域为{x|x≠0},又 (x),所以f(x)是奇函数.
(3)设x1>x2>0,则因为x1>x2>0,所以x1-x2>0,1+>0,所以f(x1)>f(x2),所以f(x)在(0,+∞)上为单调递增函数.
12.(精选考题·淄博统考)已知函数
(1)证明f(x)是奇函数,并求其单调区间;
(2)分别计算f(4)-5f(2)g(2)和f(9)-5f(3)g(3)的值,并由此概括一个涉及函数f(x),g(x)的对所有非零实数x都成立的等式,并证明.
解:(1)证明:因为f(x)的定义域是(-∞,0)∪(0,+∞),关于原点对称,对
所以f(x1)-f(x2)<0,故f(x)在(0,+∞)上是单调递增函数,又因为f(x)是奇函数,所以f(x)在(-∞,0)上也是单调递增函数,即f(x)的单调递增区间是(-∞,0)和(0,+∞).
(2)经过计算可得f(4)-5f(2)g(2)=0,f(9)-5f(3)g(3)=0,由此可得对所有非零实数x都成立的一个等式是f(x2)-5f(x)g(x)=0.证明如下:
因为
评析:本题既考查了幂函数的性质,又考查了归纳推理,函数是整个高中数学的一个核心和主线,它可以和许多问题联系在一起,幂函数作为一种常见的函数模型,往往也是许多知识的交汇点,所以应重视对幂函数的研究.
13.已知集合A={(x,y)|y=x2+mx+2},B={(x,y)|y=x+1,0≤x≤2},若A∩B≠∅,求实数m的取值范围.
分析:已知条件中A∩B≠∅的几何意义是抛物线y=x2+mx+2与线段y=x+1(0≤x≤2)有交点,即转化为方程组有解.
解:解方程组
①代入②并整理得x2+(m-1)x+1=0,③
∵A∩B≠∅,∴方程③在[0,2]上有实数根.
设f(x)=x2+(m-1)x+1,显然f(0)=1>0,则由函数f(x)的图象可得
f(2)≤0或
解得m≤- 或
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