高考数学压轴题三

高考数学压轴题三

‎2011年高考数学压轴题（三）‎ ‎1．（本小题满分13分）‎ ‎ 如图，已知双曲线C：的右准线与一条渐近线交于点M，F是双曲线C的右焦点，O为坐标原点.‎ ‎ （I）求证：；‎ ‎ （II）若且双曲线C的离心率，求双曲线C的方程；‎ ‎ （III）在（II）的条件下，直线过点A（0，1）与双曲线C右支交于不同的两点P、Q且P在A、Q之间，满足，试判断的范围，并用代数方法给出证明.‎ 解：（I）右准线，渐近线 ‎ ，‎ ‎ ‎ ‎ ……3分 ‎ （II）‎ ‎ ‎ 双曲线C的方程为： ……7分 ‎ （III）由题意可得 ……8分 ‎ 证明：设，点 ‎ 由得 ‎ 与双曲线C右支交于不同的两点P、Q ‎ ‎ ‎ ……11分 ‎ ，得 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 的取值范围是（0，1） ……13分 ‎2．（本小题满分13分）‎ 已知函数，‎ 数列满足 ‎ （I）求数列的通项公式；‎ ‎ （II）设x轴、直线与函数的图象所围成的封闭图形的面积为，求；‎ ‎ （III）在集合，且中，是否存在正整数N，使得不等式对一切恒成立？若存在，则这样的正整数N共有多少个？并求出满足条件的最小的正整数N；若不存在，请说明理由.‎ ‎ （IV）请构造一个与有关的数列，使得存在，并求出这个极限值.‎ 解：（I）‎ ‎ ‎ ‎ ……1分 ‎ ‎ ‎ ……‎ ‎ ‎ ‎ 将这n个式子相加，得 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ……3分 ‎ （II）为一直角梯形（时为直角三角形）的面积，该梯形的两底边的长分别为，高为1‎ ‎ ‎ ‎ ……6分 ‎ （III）设满足条件的正整数N存在，则 ‎ ‎ ‎ 又 ‎ 均满足条件 ‎ 它们构成首项为2010，公差为2的等差数列.‎ ‎ 设共有m个满足条件的正整数N，则，解得 ‎ 中满足条件的正整数N存在，共有495个， ……9分 ‎ （IV）设，即 ‎ 则 ‎ 显然，其极限存在，并且 ……10分 ‎ 注：（c为非零常数），等都能使存在.‎ ‎19. （本小题满分14分）‎ ‎ 设双曲线的两个焦点分别为，离心率为2.‎ ‎ （I）求此双曲线的渐近线的方程；‎ ‎ （II）若A、B分别为上的点，且，求线段AB的中点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线；‎ ‎（III）过点能否作出直线，使与双曲线交于P、Q两点，且.若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由.‎ 解：（I）‎ ‎ ‎ ‎ ，渐近线方程为 4分 ‎ （II）设，AB的中点 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 则M的轨迹是中心在原点，焦点在x轴上，长轴长为，短轴长为的椭圆.（9分）‎ ‎ （III）假设存在满足条件的直线 ‎ 设 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 由（i）（ii）得 ‎ ∴k不存在，即不存在满足条件的直线. 14分 ‎3. （本小题满分13分）‎ ‎ 已知数列的前n项和为，且对任意自然数都成立，其中m为常数，且.‎ ‎ （I）求证数列是等比数列；‎ ‎ （II）设数列的公比，数列满足：‎ ‎，试问当m为何值时，‎ 成立？‎ 解：（I）由已知 ‎ （2）‎ ‎ 由得：，即对任意都成立 ‎ ‎ ‎ （II）当时，‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 由题意知， 13分 ‎4．（本小题满分12分）‎ 设椭圆的左焦点为，上顶点为，过点与垂直的直线分别交椭圆和轴正半轴于，两点，且分向量所成的比为8∶5．‎ ‎（1）求椭圆的离心率；‎ ‎（2）若过三点的圆恰好与直线：相切，求椭圆方程．‎ 解：（1）设点其中．‎ 由分所成的比为8∶5，得，　　　　　　　　　　　2分 ‎∴．①，　　　　　　　　　　　　　4分 而，‎ ‎∴．．②，　　　　　　　　　　　5分 由①②知．‎ ‎∴．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　6分 ‎（2）满足条件的圆心为，‎ ‎，　　　　　　　　　　　　　　8分 圆半径．　　　　　　　　　　　　　　　　　　10分 由圆与直线：相切得，，‎ 又．∴椭圆方程为．　　　　　　　　12分 ‎5．（本小题满分14分）‎ ‎（理）给定正整数和正数，对于满足条件的所有无穷等差数列，试求的最大值，并求出取最大值时的首项和公差．‎ ‎（文）给定正整数和正数，对于满足条件的所有无穷等差数列，试求的最大值，并求出取最大值时的首项和公差．‎ ‎（理）解：设公差为，则．　　3分 ‎　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　4分 ‎．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　7分 又．‎ ‎∴，当且仅当时，等号成立．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　11分 ‎∴．　　　　　　　　　　　　13分 当数列首项，公差时，，‎ ‎∴的最大值为．　　　　　　　　　　　　　　　　14分 ‎（文）解：设公差为，则．　　　3分 ‎，　　　　　　　　　　　6分 又．‎ ‎∴．‎ 当且仅当时，等号成立．　　　　　　　　　　　　　　　　　11分 ‎∴．　　　　　　　　　　　　　13分 当数列首项，公差时，．‎ ‎∴的最大值为．　　　　　　　　　　　　　　　　　14分 ‎6．（本小题满分12分）‎ 垂直于x轴的直线交双曲线于M、N不同两点，A1、A2分别为双曲线的左顶点和右顶点，设直线A‎1M与A2N交于点P（x0，y0）‎ ‎（Ⅰ）证明：‎ ‎（Ⅱ）过P作斜率为的直线l，原点到直线l的距离为d，求d的最小值.‎ 解（Ⅰ）证明：‎ ‎　　　　①‎ 直线A2N的方程为 ②……4分 ‎①×②，得 ‎（Ⅱ）‎ ‎……10分 当……12分 ‎7．（本小题满分14分）‎ ‎ 已知函数 ‎ （Ⅰ）若 ‎ （Ⅱ）若 ‎ （Ⅲ）若的大小关系（不必写出比较过程）.‎ 解：（Ⅰ）‎ ‎ ‎ ‎（Ⅱ）设，‎ ‎……6分 ‎（Ⅲ）在题设条件下，当k为偶数时 当k为奇数时……14分