高考试题分类汇编数学(理科)之专题_数列(word解析版)

高考试题分类汇编数学(理科)之专题_数列(word解析版)

‎2011年高考试题数学（理科）‎ 数列 一、选择题:‎ ‎1. (2011年高考天津卷理科4)已知为等差数列，其公差为-2，且是与的等比中项，为的前n项和,,则的值为 A．-110B．‎-90‎C．90D．110‎ 已知为等差数列，其公差为-2，且是与的等比中项，‎ 为的前项和，，则的值为 A．-110B．‎-90‎C．90D．110‎ ‎【答案】D.‎ ‎【解析】∵，∴，解之得，‎ ‎∴.‎ ‎2. (2011年高考江西卷理科5)已知数列的前项和满足:,且,那么 ( )‎ ‎ A. 1 B. ‎9 C. 10 D. 55‎ 答案：A ‎ 解析：‎ ‎，，‎ ‎，则 ‎（A）8 （B）7 （C）6 （D）5‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 故选D。‎ ‎5.(2011年高考上海卷理科18)设是各项为正数的无穷数列，是边长为的矩形面积（），则为等比数列的充要条件为（ ）‎ ‎ A．是等比数列。 ‎ ‎ B．或是等比数列。‎ ‎ C．和均是等比数列。‎ ‎ D．和均是等比数列，且公比相同。‎ ‎【命题意图】本题考查等比数列的概念及充要条件的判断问题，难度较大.‎ ‎【答案】D ‎【解析】由题意知=，‎ 若是等比数列，则==为非0常数，即=，=，……，‎ ‎∴和成等比数列，且公比相等；‎ 反之，若奇数项和偶数项分别成等比数列，且公比相等，设为，则==，则是等比数列，故选D.‎ 二、填空题 ‎1. (2011年高考广东卷理科12)设是等差数列的前项和，且，则 答案：25‎ 解析：由可得，所以。‎ ‎2. (2011年高考广东卷理科11)等差数列前9项的和等于前4项的和.若 ‎，则.‎ ‎【答案】10‎ ‎【解析】由题得 ‎3. (2011年高考湖北卷理科13)《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自下而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共‎3升，下面3节的容积共‎4升，则第5节的容积为升 答案：‎ 解析：设从上往下的9节竹子的容积依次为a1,a2,，……，a9，公差为d，则有a1+a2+a3+a4=3, a7+a8+a9=4,即‎4a5-10d=3,‎3a5+9d=4,联立解得：.即第5节竹子的容积.‎ ‎4.(2011年高考陕西卷理科14)植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植一棵，相邻两棵树相距‎10米，开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边，使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小，这个最小值为（米）。‎ ‎【答案】2000‎ ‎【解析】设树苗集中放置在第号坑旁边，则20名同学返所走的路程总和为 ‎=即时.‎ ‎5.(2011年高考重庆卷理科11)在等差数列中，，则 解析：74. ，故 ‎6.(2011年高考江苏卷13)设，其中成公比为q的等比数列，成公差为1的等差数列，则q的最小值是________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】考察综合运用等差、等比的概念及通项公式，不等式的性质解决问题的能力，难题。‎ 由题意：，‎ ‎，而的最小值分别为1，2，3；。‎ ‎7．(2011年高考北京卷理科11)在等比数列{an}中，a1=，a4=-4，则公比q=______________；____________。‎ ‎【答案】—2 ‎ 三、解答题:‎ ‎1. (2011年高考山东卷理科20)（本小题满分12分）‎ 等比数列中，分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且中的任何两个数不在下表的同一列.‎ 第一列 第二列 第三列 第一行 ‎3‎ ‎2‎ ‎10‎ 第二行 ‎6‎ ‎4‎ ‎14‎ 第三行 ‎9‎ ‎8‎ ‎18‎ ‎（Ⅰ）求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）若数列满足：，求数列的前项和.‎ ‎【解析】（I）当时，不合题意；‎ 当时，当且仅当时，符合题意；‎ 当时，不合题意。‎ 因此 所以公式q=3，‎ 故 ‎ （II）因为 所以 ‎ 所以 当n为偶数时，‎ 当n为奇数时，‎ 综上所述，‎ ‎2.(2011年高考辽宁卷理科17)（本小题满分12分）‎ ‎ 已知等差数列{an}满足a2=0，a6+a8= -10‎ ‎ （I）求数列{an}的通项公式；‎ ‎ （II）求数列的前n项和.‎ ‎（I）设等差数列的公差为d，由已知条件可得 解得 故数列的通项公式为 ………………5分 ‎ （II）设数列，即，‎ 所以，当时，‎ 所以 综上，数列 ‎3.(2011年高考浙江卷理科19)（本题满分14分）已知公差不为0的等差数列的首项 (),设数列的前n项和为，且，，成等比数列（Ⅰ）求数列的通项公式及（Ⅱ）记，，当时，试比较与的大小.[‎ ‎【解析】（Ⅰ）‎ ‎ 则 ，‎ ‎（Ⅱ）‎ 因为，所以 当时，即；‎ 所以当时，；当时， .‎ ‎4.(2011年高考安徽卷理科18)（本小题满分13分）‎ 在数1和100之间插入个实数，使得这个数构成递增的等比数列，将这个数的乘积记作，再令.‎ ‎（Ⅰ）求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）设求数列的前项和.‎ ‎【命题意图】：本题考查等比和等差数列，指数和对数运算，两角差的正切公式等基本知识，考查灵活运用知识解决问题的能力，综合运算能力和创新思维能力。‎ ‎【解析】：（Ⅰ）构成递增的等比数列，其中，，则 ①‎ ②‎ ①×②并利用等比数列性质得 ‎，‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，‎ 又 所以数列的前项和为 ‎【解题指导】：做数列题时应优先运用数列的相关性质，本题考查的是等比数列前n项积，自然想到等比数列性质：，倒序相乘法是借鉴倒序相加法得到的，这样处理就避免了对n奇偶性的讨论。‎ 第二问的数列求和应联想常规的方法：倒序相加法，错位相减法，裂项相消法。而出现时自然应该联想正切的和角或差角公式。本题只要将这两个知识点有机结合起来就可以创造性的把问题解决。‎ ‎5.(2011年高考全国新课标卷理科17)（本小题满分12分）‎ 等比数列的各项均为正数，且 ‎(1)求数列的通项公式.‎ ‎(2)设求数列的前项和.‎ 分析：(1)先求首项和公比，后求通项(2)可以先求出，然后得新数列通项后再求和 解析：（Ⅰ）设数列{an}的公比为q，由得所以。‎ 由条件可知a>0,故。‎ 由得，所以。‎ 故数列{an}的通项式为an=。‎ ‎（Ⅱ ）‎ 故 所以数列的前n项和为 点评：本题考查等比数列通项公式，性质、等差数列前项和，对数运算以及数列求和（列项求和）与数列综合能力的考查。解答过程要细心，公式性质要灵活运用。‎ ‎6. (2011年高考天津卷理科20)（本小题满分14分）‎ 已知数列与满足：，，且．‎ ‎（Ⅰ）求的值；‎ ‎（Ⅱ）设，证明：是等比数列；‎ ‎（Ⅲ）设证明：．‎ ‎【解析】本小题主要考查等比数列的定义、数列求和等基础知识，考查运算能力、推理论证能力、综合分析能力和解决问题的能力及分类讨论的思想方法.‎ ‎（Ⅰ）解:由,,可得, 又 当n=1时,,由,,得;‎ 当n=2时,,可得.‎ 当n=3时,,可得.‎ ‎（Ⅱ）证明:对任意,‎ ‎,①‎ ‎,②‎ ‎,③‎ ‎②-③得 ④,‎ 将④代入①,可得即(),又,‎ 故,因此,所以是等比数列.‎ ‎（III）证明：由（II）可得，‎ 于是，对任意，有 将以上各式相加，得 即，‎ 此式当k=1时也成立.由④式得 从而 所以，对任意，‎ 对于n=1，不等式显然成立.‎ 所以，对任意 ‎7. (2011年高考江西卷理科18)（本小题满分12分）‎ 已知两个等比数列，，满足，，，.‎ ‎（1）若，求数列的通项公式；‎ ‎（2）若数列唯一，求的值.‎ ‎.解：（1）当a=1时，，又为等比数列，不妨设公比为，由等比数列性质知： ，同时又有 所以：‎ ‎（2）要唯一，当公比时，由且， ‎ ‎，最少有一个根（有两个根时，保证仅有一个正根）‎ ‎，此时满足条件的a有无数多个，不符合。‎ 当公比时，等比数列首项为a，其余各项均为常数0，唯一，此时由，可推得符合 综上：。‎ ‎8. (2011年高考湖南卷理科16)对于，将表示为，当时，‎ ‎，当时，为或.记为上述表示中为的个数（例如：，‎ ‎，故，），则（1）；（2）.‎ 答案：2; 1093‎ 解析：（1）由题意知，所以2；‎ ‎（2）通过例举可知：，，，，，，，‎ ‎，且相邻之间的整数的个数有0，1，3，7，15，31，63.它们正好满足“杨辉三角”中的规律：‎ 从而 ‎.‎ 评析：本小题主要考查学生的阅读理解能力、探究问题能力和创新意识.以二进制为知识背景，着重考查等比数列求和以及“杨辉三角”中的规律的理解和运用.‎ ‎9. (2011年高考广东卷理科20)设数列满足,‎ (1) 求数列的通项公式；‎ (2) 证明：对于一切正整数n,‎ ‎【解析】（1）由 ‎ 令，‎ ‎ 当 ‎①当时，‎ ‎②当 ‎ （2）当时，（欲证）‎ ‎，‎ ‎ 当 ‎ 综上所述 ‎10. (2011年高考湖北卷理科19)（本小题满分13分）‎ 已知数列的前n项和为，且满足：‎ ‎(Ⅰ)求数列的通项公式；‎ ‎(Ⅱ)若存在，使得成等差数列，试判断：对于任意的，且，‎ 是否成等差数列，并证明你的结论.‎ 本小题主要考查等差数列、等比数列基础知识，同时考查推理论证能力，以及特殊与一般的思想.‎ 解析：‎ ‎（Ⅰ）由已知，可得，两式相减可得 即又，所以当时，数列为：；‎ 当时，由已知，所以 于是由，可得，‎ 成等比数列，‎ 当时，‎ 综上，数列的通项公式为 ‎（Ⅱ）对于任意的，且成等差数列，证明如下：‎ 当r=0时，由（Ⅰ）知，‎ ‎∴对于任意的，且成等差数列；‎ 当时，‎ 若存在，使得成等差数列，则，‎ 即，‎ 由（Ⅰ）知，的公比r+1=—2，于是对于任意的，且，从而，，‎ 即成等差数列.‎ 综上，对于任意的，且成等差数列.‎ ‎11.(2011年高考重庆卷理科21)（本小题满分12分。（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问7分）‎ ‎ 设实数数列的前n项和满足 ‎ （Ⅰ）若成等比数列，求和 ‎（Ⅱ）求证：对有。‎ 解析：（Ⅰ）由题意，得，‎ 由是等比中项知，因此，‎ 由，解得，‎ ‎ （Ⅱ）证明：有题设条件有，‎ 故，且 从而对有①‎ 因，且，‎ 要证，由①，只要证 即证，即，此式明显成立，‎ 因此。‎ 最后证，，若不然，，‎ 又因，故，即。矛盾，‎ ‎12．(2011年高考四川卷理科20) (本小题共12分)‎ ‎ 设d为非零实数，an = [C1n d+2Cn2d2+…+(n—1)Cnn-1d n-1+nCnndn](n∈N*).‎ (I) 写出a1,a2,a3并判断{an}是否为等比数列.若是，给出证明；若不是，说明理由；‎ ‎(II)设bn=ndan (n∈N*)，求数列{bn}的前n项和Sn．‎ 解析：（1）‎ 因为为常数，所以是以为首项，为公比的等比数列。‎ ‎（2）‎ ‎（2）（1）‎ ‎13.(2011年高考全国卷理科20)设数列满足且 ‎（Ⅰ）求的通项公式；（Ⅱ）设 ‎【解析】：（Ⅰ）由得，‎ 前项为，‎ ‎（Ⅱ）‎ ‎14.(2011年高考江苏卷20)设M为部分正整数组成的集合，数列的首项，前n项和为，已知对任意整数k属于M，当n>k时，都成立 ‎（1）设M=｛1｝，，求的值；‎ ‎（2）设M=｛3，4｝，求数列的通项公式 ‎【解析】考察等差数列概念、和与通项关系、集合概念、转化与化归、分析问题与解决问题的能力，其中（1）是容易题，（2）是难题。‎ ‎（1）即：‎ 所以，n>1时，成等差，而，‎ ‎（2）由题意：，‎ 当时，由（1）（2）得：‎ 由（3）（4）得： ‎ 由（1）（3）得：‎ 由（2）（4）得：‎ 由（7）（8）知：成等差，成等差；设公差分别为：‎ 由（5）（6）得：‎ 由（9）（10）得：成等差，设公差为d,‎ 在（1）（2）中分别取n=4,n=5得：‎ ‎15．(2011年高考江苏卷23)（本小题满分10分）‎ ‎ 设整数，是平面直角坐标系中的点，其中 ‎ （1）记为满足的点的个数，求；‎ ‎（2）记为满足是整数的点的个数，求 解析：考察计数原理、等差数列求和、分类讨论、归纳推理能力，较难题。‎ ‎（1）因为满足的每一组解构成一个点P,所以。‎ ‎（2）设，则 对每一个k对应的解数为：n-3k,构成以3为公差的等差数列；‎ 当n-1被3整除时，解数一共有：‎ 当n-1被3除余1时，解数一共有：‎ 当n-1被3除余2时，解数一共有：‎ ‎16．(2011年高考北京卷理科20)（本小题共13分）‎ ‎ 若数列满足，数列为数列，记=．‎ ‎ （Ⅰ）写出一个满足，且〉0的数列；‎ ‎ （Ⅱ）若，n=2000，证明：E数列是递增数列的充要条件是=2011；‎ ‎ （Ⅲ）对任意给定的整数n（n≥2），是否存在首项为0的E数列，使得=0？如果存在，写出一个满足条件的E数列；如果不存在，说明理由。‎ 解：（Ⅰ）0，1，2，1，0是一具满足条件的E数列A5。‎ ‎（答案不唯一，0，1，0，1，0也是一个满足条件的E的数列A5）‎ ‎（Ⅱ）必要性：因为E数列A5是递增数列，‎ 所以.‎ 所以A5是首项为12，公差为1的等差数列.‎ 所以a2000=12+（2000—1）×1=2011.‎ 充分性，由于a2000—a1000≤1，‎ a2000—a1000≤1‎ ‎……‎ a2—a1≤1‎ 所以a2000—a≤19999，即a2000≤a1+1999.‎ 又因为a1=12，a2000=2011,‎ ‎ 所以a2000=a1+1999.‎ ‎ 故是递增数列.‎ ‎ 综上，结论得证。‎ ‎ （Ⅲ）令 ‎ 因为 ‎……‎ 所以 因为 所以为偶数,‎ 所以要使为偶数,‎ 即4整除.‎ 当 时，有 当的项满足，‎ 当不能被4整除，此时不存在E数列An，‎ 使得 ‎17．(2011年高考福建卷理科16)（本小题满分13分）‎ 已知等比数列{an}的公比q=3，前3项和S3=。‎ ‎（I）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（II）若函数在处取得最大值，且最大值为a3，求函数f（x）的解析式。‎ 解：（I）由 解得 所以 ‎（II）由（I）可知 因为函数的最大值为3，所以A=3。‎ 因为当时取得最大值，‎ 所以 又 所以函数的解析式为 ‎18．(2011年高考上海卷理科22)（18分）已知数列和的通项公式分别为，（），将集合 中的元素从小到大依次排列，构成数列 ‎。‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）求证：在数列中．但不在数列中的项恰为；‎ ‎（3）求数列的通项公式。‎ 解：⑴；‎ ‎⑵① 任意，设，则，即 ‎② 假设（矛盾），∴‎ ‎∴ 在数列中．但不在数列中的项恰为。‎ ‎⑶，‎ ‎，，‎ ‎∵‎ ‎∴ 当时，依次有，……‎ ‎∴。‎