广州市高考备考冲刺阶段数学学科训练材料文科

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备考冲刺材料 ‎2.已知两个向量，，其中，‎ ‎ 且满足．‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）求的值．‎ ‎3. 设函数.‎ ‎（1）若是函数的一个零点，求的值；‎ ‎（2）若是函数的一个极值点，求的值.‎ ‎ 组号 ‎ 分组 频数 ‎ 频率 ‎ 第一组 ‎[90, 100 )‎ ‎ 5‎ ‎ 0.05‎ ‎ 第二组 ‎[100, 110 )‎ ‎ ‎ ‎ 0.35‎ ‎ 第三组 ‎[110, 120 )‎ ‎ 30‎ ‎ 0.30‎ ‎ 第四组 ‎[120, 130 )‎ ‎ 20‎ ‎ ‎ ‎ 第五组 ‎[130, 140 )‎ ‎ 10‎ ‎ 0.10‎ 合 计 ‎ 100‎ ‎ 1.00‎ ‎5. 某校高三一次月考之后,为了了解数学学 ‎ ‎ 科的学习情况,现从中随机抽出若干名学 ‎ 生此次的数学成绩,按成绩分组, 制成右 ‎ 面频率分布表:‎ ‎(1)根据上面的频率分布表,求的值;‎ ‎(2)若每组数据用该区间的中点值（例如区 ‎ 间[90, 100 )的中点值是95）作为代表， ‎ ‎ 试估计该校高三学生本次月考的平均分；‎ ‎(3) 为了了解数学成绩在110分以上学生的思想状况,现决定在第三、四、五组中用分层抽样 ‎ 抽取6名学生，并在这6名学生中再随机抽取2名由张老师负责面谈，求第三组至少有 ‎ 一名学生被张老师面谈的概率.‎ ‎6. 已知函数，其中为常数．‎ ‎ （1）当时，求函数的单调递增区间；‎ ‎ （2）若任取，求函数在R上是增函数的概率．‎ ‎7.汽车是碳排放量比较大的行业之一．欧盟规定，从2012年开始，将对排放量超过 ‎ 的型新车进行惩罚．某检测单位对甲、乙两类型品牌车各抽取辆进行 ‎ 排放量检测，记录如下(单位：).‎ 甲 ‎80‎ ‎110‎ ‎120‎ ‎140‎ ‎150‎ 乙 ‎100‎ ‎120‎ ‎160‎ 经测算发现，乙品牌车排放量的平均值为．‎ ‎（1）从被检测的5辆甲类品牌车中任取2辆，则至少有一辆不符合排放量的概率是多少？‎ ‎（2）若，试比较甲、乙两类品牌车排放量的稳定性．‎ ‎8. 某研究性学习小组对春季昼夜温差大小与某花卉种子发芽多少之间的关系进行研究，他 ‎ 们分别记录了‎3月1日至‎3月5日的每天昼夜温差与实验室每天每100颗种子浸泡后的发 ‎ 芽数，得到如下资料：‎ 日 期 ‎3月1日 ‎3月2日 ‎3月3日 ‎3月4日 ‎3月5日 温差（°C）‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎13‎ ‎12‎ ‎8‎ 发芽数（颗）‎ ‎23‎ ‎25‎ ‎30‎ ‎26‎ ‎16‎ ‎（1）从‎3月1日至3月5日中任选2天，记发芽的种子数分别为，求事件“”的概率；‎ ‎（2）甲，乙两位同学都发现种子的发芽率与昼夜温差近似成线性关系，给出的拟合直线分别为与，试利用“最小平方法（也称最小二乘法）的思想”，判断哪条直线拟合程度更好．‎ A B C D E ‎9. 如图，平行四边形中，，，．将沿折起到 ‎ 的位置，使平面平面．‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）求三棱锥的侧面积．‎ ‎10. 如图的几何体中，平面，平面，△为等边三角形， ，为的中点．‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）求证：平面平面；‎ ‎（3）求这个几何体的体积．‎ ‎11．如图，为圆的直径，点、在圆上，，矩形所在的平面和圆所在的平面互相垂直，且，．‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）设的中点为，求证：平面；‎ ‎（3）设平面将几何体分成的两个锥体 ‎ 的体积分别为，，求．‎ ‎12．一个三棱锥的三视图、直观图如图．‎ ‎（1）求三棱锥的体积；‎ ‎（2）求点C到平面SAB的距离.‎ ‎13.已知等比数列的公比，，且、、成等差数列.‎ ‎ （1）求数列的通项公式；‎ ‎ （2）设，求数列的前项和.‎ ‎14.设是等差数列，是各项都为正数的等比数列，且，，‎ ‎ .‎ ‎（1）求，的通项公式；‎ ‎（2）求数列的前n项和．‎ ‎15.已知函数的图象经过原点，且关于点成中心对称.‎ ‎ （1）求函数的解析式；‎ ‎ （2）若数列满足，，，求数列的通项公式；‎ ‎ （3）在（2）的条件下，设数列的前项和为，试判断与的大小关系，并证 ‎ 明你的结论.‎ ‎16. 已知直线所经过的定点恰好是椭圆的一个焦点，且椭圆上的点到 ‎ 点的最大距离为8．‎ ‎ （1）求椭圆的标准方程；‎ ‎ （2）已知圆，直线．试证明：当点在椭圆上运动时，直线与圆恒相交，并求直线被圆所截得弦长的取值范围．‎ ‎17. 已知抛物线与双曲线有公共焦点，点 ‎ 是曲线在第一象限的交点，且．‎ ‎（1）求双曲线的方程；‎ ‎（2）以双曲线的另一焦点为圆心的圆与双曲线的一条渐近线相切，圆：‎ ‎ ．过点作互相垂直且分别与圆、圆相交的直线和，设被圆截得的弦长为，被圆截得的弦长为．是否为定值？请说明理由．‎ ‎18．如图，在中，∠A是直角，，有一个椭 ‎ 圆以为一个焦点，另一个焦点Q在AB上，且椭圆经过点A、B.‎ ‎（1）求椭圆的离心率；‎ ‎（2）若以PQ所在直线为轴，线段PQ的垂直平分线为轴建立直角 ‎ 坐标系，求椭圆的方程；‎ ‎（3）在（2）的条件下，若经过点Q的直线将的面积分为相 ‎ 等的两部分，求直线的方程.‎ ‎19.某学校要建造一个面积为平方米的运动场.如图， 运动场是由一个矩形和 ‎ 分别以为直径的两个半圆组成.跑道是一条宽米的塑胶跑道，运动场除跑道外，‎ ‎ 其他地方均铺设草皮.已知塑胶跑道每平方米造价为元，草皮每平方米造价为元.‎ ‎ (1)设半圆的半径(米),试建立塑胶跑道面积与的函数关系; ‎ ‎ (2)由于条件限制,问当取何值时,运动场造价最低?‎ ‎20.某车间有50名工人，要完成150件产品的生产任务，每件产品由3个型零件和1个型零件配套组成.每个工人每小时能加工5个型零件或者3个型零件，现在把这些工人分成两组同时工作(分组后人数不再进行调整)，每组加工同一种型号的零件.设加工 型零件的工人人数为名（N）.‎ ‎（1）设完成型零件加工所需时间为小时，写出的解析式；‎ ‎（2）为了在最短时间内完成全部生产任务，应取何值？‎ ‎21. 某企业自年月日正式投产，环保监测部门从该企业投产之日起对它向某湖区排 ‎ ‎ 放污水进行了四个月的跟踪监测，检测的数据如下表．并预测，如果不加以治理，该企 ‎ ‎ 业每月向湖区排放污水的量将成等比数列．‎ 月份 月 月 月 月 该企业向湖区排放的污水（单位：立方米）‎ ‎100‎ ‎200‎ ‎400‎ ‎800‎ ‎（1）如果不加以治理，求从年月起，个月后，该企业总计向某湖区排放了多少立方米的污水？‎ ‎（2）为保护环境，当地政府和企业决定从2010年7月份开始投资安装污水处理设备，预计月份的污水排放量比月份减少‎400立方米，以后每月的污水排放量均比上月减少‎400立方米，当企业停止排放污水后，再以每月‎1600立方米的速度处理湖区中的污水，请问什么时候可以使湖区中的污水不多于‎5000立方米？‎ ‎22.设函数为自然对数的底数).‎ ‎ (1) 若时, 恒成立, 求的取值范围;‎ ‎ (2)求证:对于大于的正整数, 恒有成立.‎ ‎23. 已知函数，‎ ‎（1）若，求函数的极值；‎ ‎（2）设函数，求函数的单调区间；‎ ‎ (3)若在（）上存在一点，使得成立，求的取值范围.‎ ‎24.若函数对任意的实数，，均有，则称函数 是区间上的“平缓函数”，‎ ‎(1) 判断和是不是实数集R上的“平缓函数”，并说明理由；‎ ‎(2) 若数列对所有的正整数都有 ，设, ‎ 求证： .‎ ‎25. 已知曲线C：xy=1，过C上一点作一斜率为的直线交曲线C ‎ 于另一点，点列的横坐标构成数列{}，其中 ‎ ．‎ ‎（1）求与的关系式；‎ ‎（2）求证：{}是等比数列；‎ ‎（3）求证：.‎ ‎26. 对于函数，若存在∈R，使成立，则称为的不动点．‎ ‎ 如果函数＝有且仅有两个不动点0和2．‎ ‎（1）试求b、c满足的关系式；‎ ‎（2）若c＝2时，各项不为零的数列{an}满足4Sn·＝1，‎ 求证：＜＜；‎ ‎ （3）在(2)的条件下, 设bn＝－，为数列{bn}的前n项和，‎ ‎ 求证：．‎ ‎2011年广州市高考备考冲刺阶段数学学科(文科)训练材料参考答案 ‎1.解：（1）‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 依题意得，故的值为. ‎ ‎（2）依题意得: ‎ ‎ 由 ‎ ‎ 解得 ‎ ‎ 故的单调增区间为: ‎ ‎2. 解：（1），，‎ 所以．‎ ‎（2）因为，所以，‎ 结合，可得．‎ 于是，‎ ‎ ．‎ ‎3. 解：（1）是函数的一个零点, ∴ , 从而.‎ ‎ ∴‎ ‎ （2）, 是函数的一个极值点 ‎ ∴, 从而.‎ ‎ ∴.‎ ‎4. 解：（1）且，∴．‎ ‎ ∴ ‎ ‎．‎ ‎ （2）由（1）可得． ‎ ‎ 由正弦定理得，即，解得．‎ ‎ 在中，， ，∴．‎ ‎5. 解：(1).‎ ‎（2）本次月考数学学科的平均分为：‎ ‎ .‎ ‎(3)因为第三、四、五组共有60名学生，，‎ ‎ 所以第三、四、五组分别抽取3人，2人，1人.‎ ‎ 设第三组的3位学生为，第四组的2位学生为，第五组的1位学生为，‎ ‎ 则从6位学生中抽取两人的一切结果组成的基本事件有15个，具体如下：，，，，，，，，，‎ ‎，，，，，.‎ 其中第三组的3位学生没有一位学生入选的有3种可能，具体如下：，，.‎ 所以第三组的3位学生至少有一位学生入选的概率为.‎ ‎6.解：（1）当时，， -‎ 令，,解得或，‎ 故函数的单调递增区间为和 ‎ ‎（2）‎ 若函数在R上是增函数，则对于任意R，恒成立．‎ 所以，，即 设“在R上是增函数”为事件，则事件对应的区域为 全部试验结果构成的区域，如图． ‎ 所以，.‎ 故函数在R上是增函数的概率为 ‎ ‎7. 解：（1）从被检测的辆甲类品牌车中任取辆，共有种不同的排放量结果：‎ ‎ ()；()；()；()；()；‎ ‎()；()；()；()；(). ‎ 设“至少有一辆不符合排放量”为事件，则事件包含以下种不同的结果： ‎ ‎ ()；()；()；()；()；()；(). ‎ ‎ 所以，. 答：至少有一辆不符合排放量的概率为 ‎ ‎（2）由题可知，，. ‎ ‎ ‎ ‎，‎ 令，，，‎ ‎，‎ ‎ ‎ ‎，，∴乙类品牌车碳排放量的稳定性好. ‎ ‎8.解：（1）的取值情况有，，．基本事件总数为10． ‎ 设“”为事件，则事件包含的基本事件为 ‎ 所以， 故事件“”的概率为． ‎ ‎（2）将甲，乙所作拟合直线分别计算的值得到下表：‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎13‎ ‎12‎ ‎8‎ ‎23‎ ‎25‎ ‎30‎ ‎26‎ ‎16‎ ‎22‎ ‎24．2‎ ‎28．6‎ ‎26．4‎ ‎17．6‎ ‎22‎ ‎24．5‎ ‎29．5‎ ‎27‎ ‎17‎ 用作为拟合直线时，所得到的值与的实际值的差的平方和为 用作为拟合直线时，所得到的值与的实际值的差的平方和为 ‎ ‎ 由于，故用直线的拟合效果好． ‎ ‎9. （1）证明：在中，∵，‎ ‎，‎ ‎∴，∴．‎ 又∵平面平面，平面平面平面，‎ ‎∴平面．∵平面，∴．‎ ‎（2）解:由（1）知．∵，∴，从而．‎ 在中，∵，∴．‎ ‎∵平面平面，∴．‎ ‎∵，∴．‎ ‎∵，平面平面，∴平面．‎ ‎∵平面，∴，∴．‎ ‎∴三棱锥的侧面积为．‎ ‎10.（1）证明：取的中点，连结．‎ ‎∵为的中点，∴且．‎ ‎∵平面，平面， ‎ ‎∴，∴． ‎ 又，∴． ‎ ‎∴四边形为平行四边形，则． ‎ ‎∵平面，平面， ∴平面．‎ ‎（2）证：∵为等边三角形，为的中点，‎ ‎∴ ∵平面，平面，∴． ‎ 又，故平面． ∵，∴平面．‎ ‎ ∵平面， ∴平面平面．‎ ‎（3）因，四点共面，故这个几何体是四棱锥，‎ 设中点为，连接，则，‎ 又平面，，，故平面，‎ ‎．‎ ‎11.（1）证明： 平面平面,, 平面平面=，‎ ‎ 平面，‎ ‎ 平面，，‎ ‎ 为圆的直径，， 平面．‎ ‎（2）设的中点为，则，又，‎ 则，为平行四边形，‎ ‎，又平面，平面，‎ 平面．‎ ‎（3）过点作于，平面平面，‎ 平面，，‎ 平面，‎ ‎，‎ ‎．‎ ‎12. 解：（1）由正视图、俯视图知；‎ 由正视图、侧视图知，点B在平面SAC上的正投影为AC的中点D，则，‎ 平面，；‎ 由俯视图、侧视图知，点S在平面ABC上的正投影为DC的中点O，则，平面，．‎ ‎∴ 三棱锥的体积．‎ ‎（2）可求，，‎ ‎，‎ ‎△SAB的面积，‎ 设点C到平面SAB的距离为，‎ 由三棱锥的体积，‎ 得．‎ ‎13.解：（1）因为、、成等差数列，‎ 所以，即.‎ 因为，，所以，即.‎ 因为，所以.所以.‎ 所以数列的通项公式为.‎ ‎（2）因为，所以.‎ 所以 当时，‎ ‎；‎ 当时，‎ ‎.‎ 综上所述，‎ ‎14. 解：（1）设的公差为，的公比为，则依题意有且 解得，．所以，．‎ ‎（2）．，①‎ ‎，②‎ ‎②－①得，‎ ‎． ‎ ‎15. 解：（1）因为函数的图象经过原点，‎ 所以，即.所以.‎ 因为函数的图象关于点成中心对称，‎ 所以.所以.‎ ‎（2）因为，且，‎ 所以，即，即.‎ 所以数列是首项为，公差为的等差数列.‎ 所以，所以.‎ ‎（3）当时，；‎ 当时，，‎ 所以 ‎.‎ 综上所述，.‎ ‎16. 解：（1）由得，，所以直线过定点（3，0），即．‎ 设椭圆的方程为， ‎ 则，解得，所以椭圆的方程为．‎ ‎（2）因为点在椭圆上运动，所以， ‎ 从而圆心到直线的距离 所以直线与圆恒相交． ‎ 又直线被圆截得的弦长， ‎ 由于，所以，则，‎ 即直线被圆截得的弦长的取值范围是． ‎ ‎17. 解：（1）∵抛物线的焦点为，‎ ‎ ‎ ‎∴双曲线的焦点为、，‎ 设在抛物线上，且，‎ 由抛物线的定义得，，∴，∴，∴，‎ s5u ‎∴，‎ 又∵点在双曲线上，由双曲线定义得，‎ ‎，∴， ∴双曲线的方程为：．‎ ‎（2）为定值．下面给出说明．‎ 设圆的方程为：，双曲线的渐近线方程为：，‎ ‎5u∵圆与渐近线相切，∴圆的半径为，‎ ‎ ‎ 故圆：， ‎ 显然当直线的斜率不存在时不符合题意，‎ 设的方程为，即，‎ 设的方程为，即，‎ ‎∴点到直线的距离为，点到直线的距离为，‎ ‎∴直线被圆截得的弦长，‎ 直线被圆截得的弦长， ‎ ‎∴， 故为定值． ‎ ‎18.（1）因为椭圆以P为一个焦点，另一个焦点Q在AB上，且椭圆经过点A、B，‎ ‎ 所以由椭圆的定义知，‎ ‎ 因此，解得.‎ ‎ 于是椭圆的长轴长，焦距，‎ ‎ 故椭圆的离心率.‎ ‎（2）依题意，可设椭圆方程为，‎ ‎ 由（1）知，，∴，∴椭圆方程为.‎ ‎（3）依题意，设直线的方程为，‎ 设直线与PA相交于点C，则，故，从而.‎ 设，由，得，解得.‎ 设，由，得，解得.‎ ‎∴，∴直线的方程为.‎ ‎19.解: (1)塑胶跑道面积为 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ (2)设运动场的造价为元 ‎ ‎ 令 当时 ‎∴函数,在上为减函数. ‎ ‎∴当时,.‎ 即运动场的造价最低为元. ‎ ‎20.解：（1）生产150件产品，需加工型零件450个，‎ 则完成型零件加工所需时间N，且. ‎ ‎ （2）生产150件产品，需加工型零件150个，‎ ‎ 则完成型零件加工所需时间N，且 设完成全部生产任务所需时间为小时，则为与的较大者.‎ 令，即，‎ 解得. ‎ 所以，当时，；当时，.‎ 故. ‎ 当时，，故在上单调递减，‎ 则在上的最小值为（小时）； ‎ ‎ 当时，，故在上单调递增，‎ 则在上的最小值为（小时）； ‎ ‎，‎ 在上的最小值为.‎ ‎.‎ ‎ 答：为了在最短时间内完成生产任务，应取. ‎ ‎ ‎ ‎21. 解：（1） 由题意知：企业每月向湖区排放的污水量成等比数列，设第一个月污水排放量为，则，公比为，则第个月的污水排放量为，‎ 如果不治理，个月后的污水总量为：‎ ‎（立方米）．‎ ‎（2） 由（1）知，则，由题意知，从2010年月份开始，企业每月向湖区排放的污水量成等差数列，公差为，记7月份企业向湖区排放的污水量为，则，令 得.‎ 所以该企业年月向湖区停止污水排放，‎ 则该企业共排污水（立方米）．‎ 设个月后污水不多于立方米，则．‎ 因为，所以个月后即年月污水不多于立方米．‎ ‎22. (1) 解: , ∵, ∴,.‎ ‎ ① 若,则当时,,为减函数,而,‎ ‎ 从而当时,,不合题意,应舍去.‎ ‎ ② 若,则当时, ,为减函数,而,‎ ‎ 从而当时,,不合题意,应舍去.‎ ‎ ③ 若,则当时, ,为增函数,而,‎ ‎ 从而当时,,所以当时, 恒成立.‎ ‎ 综上, 的取值范围为.‎ ‎(2)证明: 由(1)知, 对于, 当时, ,所以,‎ 而当时, ,所以,‎ 从而时, .‎ 取,则.‎ ‎23.解：（1）的定义域为， ‎ ‎ 当时，， ， ‎ ‎1‎ ‎—‎ ‎0‎ ‎+‎ 极小 ‎ 所以在处取得极小值1. ‎ ‎（2），‎ ‎ ‎ ①当时，即时，在上，在上，‎ 所以在上单调递减，在上单调递增； ‎ ‎②当，即时，在上，‎ 所以，函数在上单调递增. ‎ ‎（3）在上存在一点，使得成立，即在上存在一点，‎ ‎ 使得，即函数在上的最小值小于零. ‎ 由（2）可知 ①当，即时， 在上单调递减，‎ 所以的最小值为，由可得，‎ 因为，所以； ‎ ‎②当，即时， 在上单调递增，‎ 所以最小值为，由可得； ‎ ‎③当，即时， 可得最小值为， ‎ 因为，所以，,故 ‎ 此时，不成立. ‎ ‎ 综上讨论可得所求的范围是：或. ‎ ‎24.解：（1）是上的“平缓函数，但不是区间的“平缓函数”；‎ 设，则,则是实数集上的增函数，‎ 不妨设，则，即，‎ 则， ①‎ 又也是上的增函数，则，‎ 即， ②‎ 由 ①、 ②得 ‎ 因此 ，对的实数都成立，‎ 当时，同理有成立 又当时，不等式，‎ 故 对任意的实数，均 有 因此 是上的“平缓函数.‎ 由于 取，，则，‎ 因此， 不是区间的“平缓函数”.‎ ‎（2）由（1）得：是上的“平缓函数，则 ‎， 所以 ，‎ 而，‎ 所以 ‎ 而 ‎ 所以 ，‎ 则 ‎ 因此 .‎ ‎25. 解：（1）过C：上一点作斜率为的直线交C于另一点，‎ ‎ 则， ‎ 于是有： 即： ‎ ‎（2）记，‎ 则，‎ 因为，因此数列{}是等比数列. ‎ ‎（3）由（2）可知：，‎ ‎. ‎ ‎①当n为偶数时有：‎ ‎=， ‎ ‎. ‎ ‎②当n为奇数时，前n-1项为偶数项，于是有：‎ ‎.‎ 综合①②可知原不等式得证. ‎ ‎26．解： (1)设 ‎∴ ‎ ‎(2)∵c＝2 ∴b＝2 ∴，‎ 由已知可得2Sn＝an－an2……①，且an ≠ 1．‎ 当n ≥ 2时，2 Sn -1＝an－1－……②，‎ ‎①－②得(an＋an－1)( an－an－1＋1)＝0，‎ ‎∴an＝－an－1 或 an＝－an－1 ＝－1， ‎ 当n＝1时，‎2a1＝a1－a‎12 a1＝－1，‎ 若an＝－an－1，则a2＝1与an ≠ 1矛盾．∴an－an－1＝－1， ∴an＝－n． ‎ ‎∴要证不等式，只要证 ，即证 ，‎ 只要证 ，即证 ． ‎ 考虑证不等式(x＞0) . (**) ‎ 令g(x)＝x－ln(1＋x)， h(x)＝ln(x＋1)－ (x＞0) ．‎ ‎∴＝， ＝，‎ ‎∵x＞0， ∴＞0， ＞0，∴g(x)、h(x)在(0, ＋∞)上都是增函数， ‎ ‎∴g(x)＞g(0)＝0， h(x)＞h(0)＝0，∴x＞0时，．‎ 令则(**)式成立，∴＜＜， ‎ ‎(3)由(2)知bn＝，则Tn＝．‎ 在中，令n＝1，2，3，，2008，并将各式相加，‎ 得，‎ 即T2009－1＜ln2009＜T2008． ‎