江苏省高考数学试卷答案与解析

江苏省高考数学试卷答案与解析

2009 年江苏省高考数学试卷 参考答案与试题解析 　 一、填空题（共 14 小题，每小题 5 分，满分 70 分） 1．（5 分）（2009•江苏）若复数 z1=4+29i，z2=6+9i，其中 i 是虚数单位，则复数（z1﹣z2） i 的实部为　﹣20　． 【考点】复数代数形式的乘除运算．菁优网版权所有 【专题】数系的扩充和复数． 【分析】把复数 z1=4+29i，z2=6+9i，代入复数（z1﹣z2）i，化简，按多项式乘法法则，展 开，化简为 a+bi（a，b∈R）的形式，即可得到实部． 【解答】解：∵z1=4+29i，z2=6+9i， ∴（z1﹣z2）i=（﹣2+20i）i=﹣20﹣2i， ∴复数（z1﹣z2）i 的实部为﹣20． 故答案为：﹣20 【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查计算能力，是基础题． 　 2．（5 分）（2009•江苏）已知向量 和向量 的夹角为 300， ，则向量 和向量 的数量积 =　3　． 【考点】平面向量数量积的运算．菁优网版权所有 【专题】平面向量及应用． 【分析】向量数量积公式的应用，条件中给出两个向量的模和向量的夹角，代入公式进行计 算即可． 【解答】解：由题意知： =2× =3， 故答案为：3． 【点评】本题是向量数量积的运算，条件中给出两个向量的模和两向量的夹角，代入数量积 的公式运算即可，两个向量的数量积是一个数量，它的值是两个向量的模与两向量夹角余弦 的乘积． 　 3．（5 分）（2009•江苏）函数 f（x）=x3﹣15x2﹣33x+6 的单调减区间为　（﹣1，11）　． 【考点】利用导数研究函数的单调性．菁优网版权所有 【专题】函数的性质及应用． 【分析】要求函数的单调减区间可先求出 f′（x），并令其小于零得到关于 x 的不等式求出 解集即可． 【解答】解：f′（x）=3x2﹣30x﹣33=3（x2﹣10x﹣11） =3（x+1）（x﹣11）＜0， 解得﹣1＜x＜11，故减区间为（﹣1，11）． 故答案为：（﹣1，11） 【点评】此题考查学生利用导数研究函数的单调性的能力． 　 4．（5 分）（2009•江苏）函数 y=Asin（ωx+φ）（A，ω，φ 为常数，A＞0，ω＞0）在闭 区间[﹣π，0]的图象如图所示，则 ω=　3　． 【考点】由 y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．菁优网版权所有 【专题】三角函数的图像与性质． 【分析】根据函数图象求出函数的周期 T，然后求出 ω． 【解答】解：由图中可以看出： T=π，∴T= π= ， ∴ω=3． 故答案为：3 【点评】本题考查由 y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，考查逻辑思维能力，是基 础题． 　 5．（5 分）（2009•江苏）现有 5 根竹竿，它们的长度（单位：m）分别为 2.5，2.6，2.7， 2.8，2.9，若从中一次随机抽取 2 根竹竿，则它们的长度恰好相差 0.3m 的概率为　0.2　． 【考点】古典概型及其概率计算公式．菁优网版权所有 【专题】概率与统计． 【分析】由题目中共有 5 根竹竿，我们先计算从中一次随机抽取 2 根竹竿的基本事件总数， 及满足条件的基本事件个数，然后代入古典概型计算公式，即可求出满足条件的概率． 【解答】解：从 5 根竹竿中一次随机抽取 2 根的可能的事件总数为 10， 它们的长度恰好相差 0.3m 的事件数有 2.5 和 2.8，2.6 和 2.9，共 2 个 ∴所求概率为 0.2． 故答案为：0.2． 【点评】本题考查的知识点是古典概型及其概率计算公式，计算出满足条件的基本事件总数 及其满足条件的基本事件个数是解答此类题型的关键． 　 6．（5 分）（2009•江苏）某校甲、乙两个班级各有 5 名编号为 1，2，3，4，5 的学生进行 投篮练习，每人投 10 次，投中的次数如表： 学生 1 号 2 号 3 号 4 号 5 号 甲班 6 7 7 8 7 乙班 6 7 6 7 9 则以上两组数据的方差中较小的一个为 S2=　0.4　． 【考点】极差、方差与标准差．菁优网版权所有 【专题】概率与统计． 【分析】根据表中所给的两组数据，先写出两组数据的平均数，再求出两组数据的方差，把 方差进行比较，方差小的一个是甲班，得到结果． 【解答】解：由题意知甲班的投中次数是 6，7，7，8，7， 这组数据的平均数是 7， 甲班投中次数的方差是 ， 乙班的投中次数是 6，7，6，7，9， 这组数据的平均数是 7， 这组数据的方差是 ∴两组数据的方差中较小的一个为 0.4， 故答案为：0.4 【点评】本题考查方差，比较两组数据的方差的大小，是一个基础题，这种问题一旦出现是 一个必得分题目，注意运算过程中不要出错． 　 7．（5 分）（2009•江苏）如图是一个算法的流程图，最后输出的 W=　22　． 【考点】循环结构．菁优网版权所有 【专题】算法和程序框图． 【分析】根据流程图可知，计算出 S，判定是否满足 S≥10，不满足则循环，直到满足就跳 出循环，最后求出 W 值即可． 【解答】解：由流程图知，第一次循环：T=1，S=1；不满足 S≥10 第二次循环：T=3，S=32﹣1=8；不满足 S≥10 第三次循环：T=5，S=52﹣8=17，满足 S≥10 此时跳出循环，∴W=5+17=22． 故答案为 22 【点评】本题主要考查了直到型循环结构，循环结构有两种形式：当型循环结构和直到型循 环结构，当型循环是先判断后循环，直到型循环是先循环后判断，属于基础题． 　 8．（5 分）（2009•江苏）在平面上，若两个正三角形的边长的比为 1：2，则它们的面积比 为 1：4，类似地，在空间内，若两个正四面体的棱长的比为 1：2，则它们的体积比为　1： 8　． 【考点】类比推理．菁优网版权所有 【专题】立体几何． 【分析】根据平面与空间之间的类比推理，由点类比点或直线，由直线 类比 直线或平面， 由平面图形面积类比立体图形的体积，结合三角形的面积比的方法类比求四面体的体积比即 可． 【解答】解：平面上，若两个正三角形的边长的比为 1：2，则它们的面积比为 1：4， 类似地，由平面图形面积类比立体图形的体积，得出： 在空间内，若两个正四面体的棱长的比为 1：2，则它们的体积比为 1：8 故答案为：1：8． 【点评】本题主要考查类比推理．类比推理是指依据两类数学对象的相似性，将已知的一类 数学对象的性质类比迁移到另一类数学对象上去．一般步骤：①找出两类事物之间的相似 性或者一致性．②用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（或 猜想）． 　 9．（5 分）（2009•江苏）在平面直角坐标系 xOy 中，点 P 在曲线 C：y=x3﹣10x+3 上，且 在第二象限内，已知曲线 C 在点 P 处的切线斜率为 2，则点 P 的坐标为　（﹣2，15）　． 【考点】导数的几何意义．菁优网版权所有 【专题】导数的概念及应用． 【分析】先设切点 P（x0，y0）（x0＜0），根据导数的几何意义求出函数 f（x）在 x=x0 处 的导数，从而求出切线的斜率，建立方程，解之即可． 【解答】解：设 P（x0，y0）（x0＜0），由题意知：y′|x=x0=3x02﹣10=2， ∴x02=4． ∴x0=﹣2， ∴y0=15． ∴P 点的坐标为（﹣2，15）． 故答案为：（﹣2，15） 【点评】本题考查了导数的几何意义，以及导数的运算法则和已知切线斜率求出切点坐标， 本题属于基础题． 　 10．（5 分）（2009•江苏）已知 ，函数 f（x）=logax，若正实数 m，n 满足 f（m ）＞f（n），则 m，n 的大小关系为　m＜n　． 【考点】对数函数的单调性与特殊点．菁优网版权所有 【专题】函数的性质及应用． 【分析】因为已知条件中对数函数的底数 ，即 0＜a＜1，故函数 f（x）=logax 在（ 0，+∞）上为减函数，根据函数的单调性，结合足 f（m）＞f（n），不难判断出 m，n 的大 小关系． 【解答】解：∵ ∴0＜a＜1 ∴f（x）=logax 在（0，+∞）上为减函数 若 f（m）＞f（n） 则 m＜n 故答案为：m＜n 【点评】函数 y=ax 和函数 y=logax，在底数 a＞1 时，指数函数和对数函数在其定义域上均 为增函数，当底数 0＜a＜1 时，指数函数和对数函数在其定义域上均为减函数，而 f（﹣x） 与 f（x）的图象关于 Y 轴对称，其单调性相反，故函数 y=a﹣x 和函数 y=loga（﹣x），在底 数 a＞1 时，指数函数和对数函数在其定义域上均为减函数，当底数 0＜a＜1 时，指数函数 和对数函数在其定义域上均为增函数． 　 11．（5 分）（2009•江苏）已知集合 A={x|log2x≤2}，B=（﹣∞，a），若 A⊆B 则实数 a 的 取值范围是（c，+∞），其中 c=　4　． 【考点】集合的包含关系判断及应用．菁优网版权所有 【专题】集合． 【分析】先化简集合 A，然后根据子集的定义求出集合 B 的取值范围，总而求出所求． 【解答】解：A={x|log2x≤2}={x|0＜x≤4} 而 B=（﹣∞，a）， ∵A⊆B ∴a＞4 即实数 a 的取值范围是（4，+∞）， 故答案为：4 【点评】本题属于以对数不等式为依托，考查集合子集的基础题，也是高考常会考的题型． 　 12．（5 分）（2009•江苏）设 α 和 β 为不重合的两个平面，给出下列命题： （1）若 α 内的两条相交直线分别平行于 β 内的两条直线，则 α 平行于 β； （2）若 α 外一条直线 l 与 α 内的一条直线平行，则 l 和 α 平行； （3）设 α 和 β 相交于直线 l，若 α 内有一条直线垂直于 l，则 α 和 β 垂直； （4）直线 l 与 α 垂直的充分必要条件是 l 与 α 内的两条直线垂直． 上面命题，真命题的序号是　（1）（2）　（写出所有真命题的序号） 【考点】空间中直线与平面之间的位置关系；命题的真假判断与应用．菁优网版权所有 【专题】空间位置关系与距离． 【分析】从线面平行、垂直的判定定理，判断选项即可． 【解答】解：由面面平行的判定定理可知，（1）正确．由线面平行的判定定理可知，（2） 正确． 对于（3）来说，α 内直线只垂直于 α 和 β 的交线 l，得不到其是 β 的垂线，故也得不出 α⊥β ． 对于（4）来说，l 只有和 α 内的两条相交直线垂直，才能得到 l⊥α． 也就是说当 l 垂直于 α 内的两条平行直线的话，l 不一定垂直于 α． 【点评】本题考查空间中直线与平面之间的位置关系，理解定理是判断的前提，是中档题． 　 13．（5 分）（2009•江苏）如图，在平面直角坐标系 xoy 中，A1，A2，B1，B2 为椭圆 的四个顶点，F 为其右焦点，直线 A1B2 与直线 B1F 相交于点 T， 线段 OT 与椭圆的交点 M 恰为线段 OT 的中点，则该椭圆的离心率为　 　． 【考点】椭圆的简单性质．菁优网版权所有 【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程． 【分析】解法一：可先直线 A1B2 的方程为 ，直线 B1F 的方程为 ，联立 两直线的方程，解出点 T 的坐标，进而表示出中点 M 的坐标，代入椭圆的方程即可解出离 心率的值； 解法二：对椭圆进行压缩变换， ， ，椭圆变为单位圆：x'2+y'2=1，F'（ ，0） ．根据题设条件求出直线 B1T 方程，直线直线 B1T 与 x 轴交点的横坐标就是该椭圆的离心 率． 【解答】解法一：由题意，可得直线 A1B2 的方程为 ，直线 B1F 的方程为 两直线联立则点 T（ ），则 M（ ），由于此点在椭 圆上，故有 ，整理得 3a2﹣10ac﹣c2=0 即 e2+10e﹣3=0，解得 故答案为 解法二：对椭圆进行压缩变换， ， ， 椭圆变为单位圆：x'2+y'2=1，F'（ ，0）． 延长 TO 交圆 O 于 N，易知直线 A1B2 斜率为 1，TM=MO=ON=1， ， 设 T（x′，y′），则 ，y′=x′+1， 由割线定理：TB2×TA1=TM×TN， ， （负值舍去）， 易知：B1（0，﹣1），直线 B1T 方程： 令 y′=0 ，即 F 横坐标 即原椭圆的离心率 e= ． 故答案： ． 【点评】本题考查圆锥曲线的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答． 　 14．（5 分）（2009•江苏）设{an}是公比为 q 的等比数列，|q|＞1，令 bn=an+1（n=1，2，… ），若数列{bn}有连续四项在集合{﹣53，﹣23，19，37，82}中，则 6q=　﹣9　． 【考点】等比数列的性质；数列的应用．菁优网版权所有 【专题】等差数列与等比数列． 【分析】根据 Bn=An+1 可知 An=Bn﹣1，依据{Bn}有连续四项在{﹣53，﹣23，19，37，82} 中，则可推知则{An}有连续四项在{﹣54，﹣24，18，36，81}中，按绝对值的顺序排列上述 数值，相邻相邻两项相除发现﹣24，36，﹣54，81 是{An}中连续的四项，求得 q，进而求 得 6q． 【解答】解：{Bn}有连续四项在{﹣53，﹣23，19，37，82}中 Bn=An+1 An=Bn﹣1 则{An}有连续四项在{﹣54，﹣24，18，36，81}中 {An}是等比数列，等比数列中有负数项则 q＜0，且负数项为相隔两项 等比数列各项的绝对值递增或递减，按绝对值的顺序排列上述数值 18，﹣24，36，﹣54，81 相邻两项相除 =﹣ =﹣ =﹣ =﹣ 很明显，﹣24，36，﹣54，81 是{An}中连续的四项 q=﹣ 或 q=﹣ （|q|＞1，∴此种情况应舍） ∴q=﹣ ∴6q=﹣9 故答案为：﹣9 【点评】本题主要考查了等比数列的性质．属基础题． 　 二、解答题（共 6 小题，满分 90 分） 15．（14 分）（2009•江苏）设向量 （1）若 与 垂直，求 tan（α+β）的值； （2）求 的最大值； （3）若 tanαtanβ=16，求证： ∥ ． 【考点】平面向量数量积坐标表示的应用；平行向量与共线向量；两向量的和或差的模的最 值．菁优网版权所有 【专题】平面向量及应用． 【分析】（1）先根据向量的线性运算求出 ，再由 与 垂直等价于 与 的数量积等于 0 可求出 α+β 的正余弦之间的关系，最后可求正切值． （2）先根据线性运算求出 ，然后根据向量的求模运算得到| |的关系，最后根据正 弦函数的性质可确定答案． （3）将 tanαtanβ=16 化成弦的关系整理即可得到（4cosα）•（4cosβ）=sinαsinβ，正是 ∥ 的充要条件，从而得证． 【解答】解：（1）∵ =（sinβ﹣2cosβ，4cosβ+8sinβ）， 与 垂直， ∴4cosα（sinβ﹣2cosβ）+sinα（4cosβ+8sinβ）=0， 即 sinαcosβ+cosαsinβ=2（cosαcosβ﹣sinαsinβ）， ∴sin（α+β）=2cos（α+β）， cos（α+β）=0，显然等式不成立 ∴tan（α+β）=2． （2）∵ =（sinβ+cosβ，4cosβ﹣4sinβ）， ∴| |= = ， ∴当 sin2β=﹣1 时，| |取最大值，且最大值为 ． （3）∵tanαtanβ=16，∴ ，即 sinαsinβ=16cosαcosβ， ∴（4cosα）•（4cosβ）=sinαsinβ， 即 =（4cosα，sinα）与 =（sinβ，4cosβ）共线， ∴ ∥ ． 【点评】本题主要考查向量的线性运算、求模运算、向量垂直和数量积之间的关系．向量和 三角函数的综合题是高考的热点，要强化复习． 　 16．（14 分）（2009•江苏）如图，在直三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中，E，F 分别是 A1B，A1C 的中点，点 D 在 B1C1 上，A1D⊥B1C．求证： （1）EF∥平面 ABC； （2）平面 A1FD⊥平面 BB1C1C． 【考点】直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定．菁优网版权所有 【专题】立体几何． 【分析】（1）要证明 EF∥平面 ABC，证明 EF∥BC 即可； （2）要证明平面 A1FD⊥平面 BB1C1C，通过证明 A1D⊥面 BB1C1C 即可，利用平面与平面 垂直的判定定理证明即可． 【解答】证明：（1）因为 E，F 分别是 A1B，A1C 的中点， 所以 EF∥BC，又 EF⊄面 ABC，BC⊂面 ABC，所以 EF∥平面 ABC； （2）因为直三棱柱 ABC﹣A1B1C1，所以 BB1⊥面 A1B1C1，BB1⊥A1D， 又 A1D⊥B1C，BB1∩B1C=B1，所以 A1D⊥面 BB1C1C，又 A1D⊂面 A1FD，所以平面 A1FD⊥ 平面 BB1C1C． 【点评】本题考查直线与平面平行和垂直的判断，考查学生空间想象能力，逻辑思维能力， 是中档题． 　 17．（14 分）（2009•江苏）设 an 是公差不为零的等差数列，Sn 为其前 n 项和，满足 a22+a32=a42+a52，S7=7 （1）求数列 an 的通项公式及前 n 项和 Sn； （2）试求所有的正整数 m，使得 为数列 an 中的项． 【考点】数列的求和；等差数列的性质．菁优网版权所有 【专题】等差数列与等比数列． 【分析】（1）先把已知条件用 a1 及 d 表示，然后联立方程求出 a1，d 代入等差数列的通项 公式及前 n 项和公式可求． （2）先把已知化简可得 ，然后结合数列 an 的通项公式可寻求 m 满足的条件． 【解答】解：（1）由题意可得 联立可得 a1=﹣5，d=2 ∴an=﹣5+（n﹣1）×2=2n﹣7， （2）由（1）知 = 若使其为数列 an 中的项 则 必需为整数，且 m 为正整数 m=2，m=1； m=1 时不满足题意，（a1=﹣5 是最小值）故舍去． 所以 m=2． 【点评】本题主要考查了等差数列的通项公式及前 n 项和的公式，解题的重点是要熟练掌握 基本公式，并能运用公式，还要具备一定的运算能力． 　 18．（16 分）（2009•江苏）在平面直角坐标系 xoy 中，已知圆 C1：（x+3）2+（y﹣1）2=4 和圆 C2：（x﹣4）2+（y﹣5）2=4 （I）若直线 l 过点 A（4，0），且被圆 C1 截得的弦长为 ，求直线 l 的方程； （II）设 P（a，b）为平面上的点，满足：存在过点 P 的两条互相垂的直线 l1 与 l2，l1 的斜 率为 2，它们分别与圆 C1 和圆 C2 相交，且直线 l1 被圆 C1 截得的弦长与直线 l2 被圆 C2 截得 的弦长相等，试求满足条件的 a，b 的关系式． 【考点】直线的一般式方程；直线和圆的方程的应用．菁优网版权所有 【专题】直线与圆． 【分析】（I ）因为直线 l 过点 A（4，0），故可以设出直线 l 的点斜式方程，又由直线被 圆 C1 截得的弦长为 ，根据半弦长、半径、弦心距满足勾股定理，我们可以求出弦心距 ，即圆心到直线的距离，得到一个关于直线斜率 k 的方程，解方程求出 k 值，代入即得直线 l 的方程． （II）根据题意，可以设出过 P 点的直线 l1 与 l2 的点斜式方程，分析可得圆 C1 的圆心到直 线 l1 的距离和圆 C2 的圆心到直线 l2 的距离相等，即可以得到一个关于 a、b 的方程，整理 变形可得答案． 【解答】解：（Ⅰ）若直线 l 的斜率不存在，则直线 x=4 与圆 C1 不相交， 故直线 l 的斜率存在，不妨设为 k，则直线 l 的方程为 y=k（x﹣4）， 即 kx﹣y﹣4k=0 圆 C1 圆心（﹣3，1）到直线的距离 ， 直线 l 被圆 C1 截得的弦长为 ，则 =1， 联立以上两式可得 k=0 或 ， 故所求直线 l 方程为 y=0 或 ． （Ⅱ）依题意直线的方程可设为 l1：y﹣b=2（x﹣a），l2： ， 因为两圆半径相等，且分别被两直线截得的弦长相等， 故圆 C1 的圆心到直线 l1 的距离和圆 C2 的圆心到直线 l2 的距离相等， 即 ， 解得：a﹣3b+21=0 或 3a+b﹣7=0． 【点评】在解决与圆相关的弦长问题时，我们有三种方法：一是直接求出直线与圆的交点坐 标，再利用两点间的距离公式得出；二是不求交点坐标，用一元二次方程根与系数的关系得 出，即设直线的斜率为 k，直线与圆联立消去 y 后得到一个关于 x 的一元二次方程再利用弦 长公式求解，三是利用圆中半弦长、弦心距及半径构成的直角三角形来求．对于圆中的弦长 问题，一般利用第三种方法比较简捷．本题所用方法就是第三种方法． 　 19．（16 分）（2009•江苏）照某学者的理论，假设一个人生产某产品单件成本为 a 元，如 果他卖出该产品的单价为 m 元，则他的满意度为 ；如果他买进该产品的单价为 n 元， 则他的满意度为 ．如果一个人对两种交易（卖出或买进）的满意度分别为 h1 和 h2，则 他对这两种交易的综合满意度为 ． 现假设甲生产 A、B 两种产品的单件成本分别为 12 元和 5 元，乙生产 A、B 两种产品的单 件成本分别为 3 元和 20 元，设产品 A、B 的单价分别为 mA 元和 mB 元，甲买进 A 与卖出 B 的综合满意度为 h 甲，乙卖出 A 与买进 B 的综合满意度为 h 乙． （1）求 h 甲和 h 乙关于 mA、mB 的表达式；当 mA= mB 时，求证：h 甲=h 乙； （2）设 mA= mB，当 mA、mB 分别为多少时，甲、乙两人的综合满意度均最大？最大的综 合满意度为多少？ （3）记（2）中最大的综合满意度为 h0，试问能否适当选取 mA、mB 的值，使得 h 甲≥h0 和 h 乙≥h0 同时成立，但等号不同时成立？试说明理由． 【考点】函数模型的选择与应用．菁优网版权所有 【专题】函数的性质及应用． 【分析】（1）表示出甲和乙的满意度，整理出最简形式，在条件 mA= mB 时，表示出要证 明的相等的两个式子，得到两个式子相等． （2）在上一问表示出的结果中，整理出关于变量的符合基本不等式的形式，利用基本不等 式求出两个人满意度最大时的结果，并且写出等号成立的条件． （3）先写出结论：不能由（2）知 h0=h0= ．因为 h 甲 h 乙≤ ，不能取到 mA，mB 的值，使 得 h 甲≥h0 和 h 乙≥h0 同时成立，但等号不同时成立． 【解答】解：（1）甲：买进 A 的满意度为 hA1= ，卖出 B 的满意度为 hB1= ； 所以，甲买进 A 与卖出 B 的综合满意度为 h 甲= = ； 乙：卖出 A 的满意度为：hA2= ，买进 B 的满意度为：hB2= ； 所以，乙卖出 A 与买进 B 的综合满意度 h 乙= = ； 当 mA= mB 时，h 甲= ，h 乙= ，所以 h 甲 =h 乙 （2）设 mB=x（其中 x＞0），当 mA= mB 时， h 甲=h 乙= = ≤ ； 当且仅当 x= ，即 x=10 时，上式“=”成立，即 mB=10，mA= ×10=6 时， 甲、乙两人的综合满意度均最大，最大综合满意度为 ； （3）不能由（2）知 h0= ．因为 h 甲 h 乙≤ 因此，不能取到 mA，mB 的值，使得 h 甲≥h0 和 h 乙≥h0 同时成立，但等号不同时成立． 【点评】本题考查函数模型的选择和应用，本题解题的关键是理解题意，这是最主要的一点 ，题目中所用的知识点不复杂，只要注意运算就可以． 　 20．（16 分）（2009•江苏）设 a 为实数，函数 f（x）=2x2+（x﹣a）|x﹣a|． （1）若 f（0）≥1，求 a 的取值范围； （2）求 f（x）的最小值； （3）设函数 h（x）=f（x），x∈（a，+∞），求不等式 h（x）≥1 的解集． 【考点】二次函数的性质；一元二次不等式的解法．菁优网版权所有 【专题】函数的性质及应用；不等式的解法及应用． 【分析】（1）f（0）≥1⇒﹣a|a|≥1 再去绝对值求 a 的取值范围， （2）分 x≥a 和 x＜a 两种情况来讨论去绝对值，再对每一段分别求最小值，借助二次函数的 对称轴及单调性．最后综合即可． （3）h（x）≥1 转化为 3x2﹣2ax+a2﹣1≥0，因为不等式的解集由对应方程的根决定，所以再 对其对应的判别式分三种情况讨论求得对应解集即可． 【解答】解：（1）若 f（0）≥1，则﹣a|a|≥1⇒ ⇒a≤﹣1 （2）当 x≥a 时，f（x）=3x2﹣2ax+a2，∴ ， 如图所示： 当 x≤a 时，f（x）=x2+2ax﹣a2， ∴ ． 综上所述： ． （3）x∈（a，+∞）时，h（x）≥1， 得 3x2﹣2ax+a2﹣1≥0，△=4a2﹣12（a2﹣1）=12﹣8a2 当 a≤﹣ 或 a≥ 时，△≤0，x∈（a，+∞）； 当﹣ ＜a＜ 时，△＞0，得： 即 进而分 2 类讨论： 当﹣ ＜a＜﹣ 时，a＜ ， 此时不等式组的解集为（a， ]∪[ ，+∞）； 当﹣ ≤x≤ 时， ＜a＜ ； 此时不等式组的解集为[ ，+∞）． 综上可得， 当 a∈（﹣∞，﹣ ）∪（ ，+∞）时，不等式组的解集为（a，+∞）； 当 a∈（﹣ ，﹣ ）时，不等式组的解集为（a， ]∪[ ，+∞）； 当 a∈[﹣ ， ]时，不等式组的解集为[ ，+∞）． 【点评】本题考查了分段函数的最值问题．分段函数的最值的求法是先对每一段分别求最值 ，最后综合最大的为整个函数的最大值，最小的为整个函数的最小值．