2009江苏高考数学立体几何二轮复习材料

2009江苏高考数学立体几何二轮复习材料

立体几何二轮复习材料 ‎【课程目标】‎ 本模块的内容包括：立体几何初步、平面解析几何初步。‎ 通过立体几何初步的教学，使学生经历直观感知、操作确认、思辨论证、度量计算等方法认识和探索几何图形及其性质的过程；使学生直观认识和理解空间点、线、面的位置关系，能用数学语言表述有关平行、垂直的性质与判定，并对某些结论进行论证，了解一些简单几何体的表面积与体积的计算方法；培养和发展学生的空间想像能力、推理论证能力、运用图形语言进行交流的能力以及几何直观能力；使学生感受、体验从整体到局部、从具体到抽象，由浅入深、由表及里、由粗到细等认识事物的一般科学方法。‎ ‎【学习要求】‎ ‎1．立体几何初步 ‎（1）空间几何体 直观了解柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征；能运用这些结构特征描述现实生活中简单物体的结构。‎ 能画出简单空间图形（棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、球等的简易组合）的三视图，能识别上述的三视图所表示的立体模型；能使用纸板等材料制作简单空间图形（例如长方体、圆柱、圆锥等）的模型，会用斜二测法画出它们的直观图。‎ 了解空间图形的两种不同表示形式（三视图和直观图），了解三视图、直观图与它们所表示的立体模型之间的内在联系。‎ 会画某些简单实物的三视图与直观图（在不影响图形特征的基础上，直观图的尺寸、线条等不作严格要求）。‎ ‎（2）点、线、面之间的位置关系 理解空间点、线、面的位置关系；会用数学语言规范地表述空间点、线、面的位置关系。了解如下可以作为推理依据的4条公理、3条推论和1条定理：‎ ‎◆公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。‎ ‎◆公理2：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。‎ ‎◆公理3：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。‎ 推论1：经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面。‎ 推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面。‎ 推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面。‎ ‎◆公理4：平行于同一条直线的两条直线平行。‎ ‎◆定理：空间中如果两个角的两条边分别对应平行，并且方向相同，那么这两个角相等。‎ 了解空间线面平行、垂直的有关概念；能正确地判断空间线线、线面与面面的位置关系；理解如下的4条关于空间中线面平行、垂直的判定定理：‎ ‎◆平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。‎ ‎◆一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。‎ ‎◆一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，则该直线与此平面垂直。‎ ‎◆一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。‎ 并能用图形语言和符号语言表述这些判定定理（这4条定理的证明，这里不作要求）。‎ 理解如下的4条关于空间中线面平行、垂直的性质定理：‎ ‎◆一条直线与一个平面平行，则过该直线的任一个平面与此平面的交线与该直线平行。‎ ‎◆两个平面平行，则任意一个平面与这两个平面相交所得的交线相互平行。‎ ‎◆垂直于同一个平面的两条直线平行。‎ ‎◆两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。‎ 能用图形语言和符号语言表述这些性质定理，并能加以证明。‎ 能运用上述4条公理、3条推论和9条定理证明一些空间位置关系的简单命题。‎ 了解异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角及其平面角的概念；了解点到平面的距离、平行于平面的直线到平面的距离、两个平行平面间的距离的概念（上述角与距离的计算不作要求）。‎ ‎（3）柱、锥、台、球的表面积和体积 了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式（不要求记忆公式），会求直棱柱、正棱锥、正棱台、圆柱、圆锥、圆台和球的表面积和体积。‎ ‎ ‎ ‎2008江苏高考数学科考试说明 对知识的考查要求依次分为了解、理解、掌握三个层次（在下表中分别用A、B、C表示）。‎ 了解：要求对所列知识的含义有最基本的认识，并能解决相关的简单问题。‎ 理解：要求对所列知识有较深刻的认识，并能解决有一定综合性的问题。‎ 掌握：要求系统地掌握知识的内在联系，并能解决综合性较强的或较为困难的问题。‎ 具体考查要求如下 内 容 要 求 A B C ‎14．空间几何体 柱、锥、台、球及其简单组成体 ‎√‎ 三视图与直视图 ‎√‎ 柱、锥、台、球的表面积和体积 ‎√‎ ‎15．点、线、面之间的位置关系 平面及其基本性质 ‎√‎ 直线与平面平行、垂直的判定与性质 ‎√‎ 两平面平行、垂直的判定与性质 ‎√‎ B C A F D E ‎16．(08江苏卷)（14分）在四面体中，，且E、F分别是AB、BD的中点，‎ 求证：（1）直线EF//面ACD ‎（2）面EFC⊥面BCD ‎【解析】：本小题考查空间直线于平面、平面与平面的位置 关系的判定，考查空间想象能力、推理论证能力。‎ ‎（1）∵E、F分别是AB、BD的中点 ∴EF是△ABD的中位线 ‎∴EF//AD 又∵面ACD，AD面ACD∴直线EF//面ACD ‎（2）‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎19．(08山东文科)（本小题满分12分）A B C M P D 如图，在四棱锥中，平面平面，，是等边三角形，已知，．‎ ‎（Ⅰ）设是上的一点，证明：平面平面；‎ ‎（Ⅱ）求四棱锥的体积．‎ ‎（Ⅰ）证明：在中，‎ 由于，，，‎ A B C M P D O 所以．‎ 故．‎ 又平面平面，平面平面，‎ 平面，‎ 所以平面，‎ 又平面，‎ 故平面平面．‎ ‎（Ⅱ）解：过作交于，‎ 由于平面平面，‎ 所以平面．‎ 因此为四棱锥的高，‎ 又是边长为4的等边三角形．‎ 因此．‎ 在底面四边形中，，，‎ 所以四边形是梯形，在中，斜边边上的高为，‎ 此即为梯形的高，‎ 所以四边形的面积为．‎ 故．‎ ‎12．(08宁夏卷)已知平面平面，，点，，直线，直线，直线，则下列四种位置关系中，不一定成立的是（ D ）‎ A． B． C． D．‎ ‎18．(08宁夏卷)（本小题满分12分）如下的三个图中，上面的是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图．它的正视图和俯视图在下面画出（单位：cm）‎ ‎（Ⅰ）在正视图下面，按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图；‎ ‎（Ⅱ）按照给出的尺寸，求该多面体的体积；‎ ‎（Ⅲ）在所给直观图中连结，证明：面．‎ ‎4‎ ‎6‎ ‎4‎ ‎2‎ ‎2‎ E D A B C F G ‎2‎ 解：（Ⅰ）如图 ‎4‎ ‎6‎ ‎4‎ ‎2‎ ‎2‎ ‎2‎ ‎4‎ ‎6‎ ‎2‎ ‎2‎ ‎（俯视图）‎ ‎（正视图）‎ ‎（侧视图）‎ ‎ 3分 A B C D E F G ‎（Ⅱ）所求多面体体积 ‎． 7分 ‎（Ⅲ）证明：在长方体中，‎ 连结，则．‎ 因为分别为，中点，‎ 所以，‎ 从而．又平面，‎ 所以面． 12分 ‎7．(08广东卷)将正三棱柱截去三个角（如图1所示A，B，C分别是△CHI三边的中点）得到几何体如图2，则该几何体按图2所示方向的侧视图（或称左视图）为A E F D I A H G B C E F D A B C 侧视 图1‎ 图2‎ B E A．‎ B E B．‎ B E C．‎ B E D．‎ ‎18. (08广东卷)（本小题满分14分）‎ 如图5所示，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是半径为R的圆的内接四边形，其中BD是圆的直径，∠ABD=60°,∠BDC=45°,△ADP～△BAD.‎ ‎(1)求线段PD的长；‎ C P A B 图5‎ D ‎(2)若PC=R，求三棱锥P-ABC的体积. ‎ 解：（1）因为是圆的直径，所以 ‎ 又△ADP～△BAD.‎ ‎ 所以 ‎ ‎ （2）在中，‎ ‎ 因为 ‎ ‎ 所以 又 ‎ 所以底面 ‎ ‎ ‎ 三棱锥体积为 ‎11．（06江苏卷）两相同的正四棱锥组成如图1所示的几何体，可放棱长为1‎ 的正方体内，使正四棱锥的底面ABCD与正方体的某一个平面平行，且各顶点均在正方体的面上，则这样的几何体体积的可能值有(D)‎ ‎（A）1个　　（B）2个 （C）3个　　（D）无穷多个 ‎73.（06天津卷）如图，在五面体中，点是矩形的对角线的交点，面是等边三角形，棱．‎ ‎（1）证明//平面；‎ ‎（2）设，证明平面．‎ A B C D A1‎ B1‎ C1‎ D1‎ A1‎ ‎33．（06安徽卷）多面体上，位于同一条棱两端的顶点称为相邻的，如图，正方体的一个顶点A在平面α内，其余顶点在α的同侧，正方体上与顶点A相邻的三个顶点到α的距离分别为1，2和4，P是正方体的其余四个顶点中的一个，则P到平面α的距离可能是：_①③④⑤_____（写出所有正确结论的编号） ①3； ②4； ③5； ④6； ⑤7‎ A B C D A1‎ ‎34．（06安徽卷）平行四边形的一个顶点A在平面α内，其余顶点在α的同侧，已知其中有两个顶点到的距离分别为1和2 ，那么剩下的一个顶点到平面的距离可能是：①1； ②2； ③3； ④4； ‎ 以上结论正确的为_____①③_________。（写出所有正确结论的编号）‎ A C B C1‎ B1‎ A1‎ P ‎36.（06广东卷）棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为____‎ ‎37.（06湖南卷）过三棱柱 ABC－A1B1C1 的任意两条棱的中点作直线，其中与平面ABB1A1平行的直线共有　　　6　　条.‎ C1‎ C B A1‎ ‎ 38.（06江西卷）如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，底面为直角三角形，ÐACB＝90°，AC＝6，BC＝CC1＝，P是BC1上一动点，则CP＋PA1的最小值是___________‎ ‎39.（06江西卷）如图，已知正三棱柱ABC－A1B1C1的底面边长为1，高为8，一质点自A点出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达点的最短路线的长为 10.‎ A B C P D E F ‎41.（06辽宁卷）如图，半径为2的半球内有一内接正六棱锥，则此正六棱锥的侧面积是_______‎ ‎43.（06全国II）圆是以R为半径的球O的小圆，若圆的面积和球O的表面积S的比为，则圆心到球心O的距离与球半径的比＿＿＿＿‎ ‎49.（06四川卷）m、n是空间两条不同直线，α、β是空间两条不同平面，下面有四个命题：‎ ‎①m⊥α，n∥β，α∥βm⊥n　　　　②m⊥n，n∥β，m⊥αn∥β ‎③m⊥n，α∥β，m∥αn⊥β　　　　④m⊥α，m∥n，α∥βn⊥β 其中真命题的编号是________（写出所有真命题的编号）。①、④.‎ ‎52.（06上海春）正四棱锥底面边长为4，侧棱长为3，则其体积为 .．‎ ‎4．(07江苏)已知两条直线，两个平面．给出下面四个命题：‎ ‎①，；②，，；‎ ‎③，；④，，．‎ 其中正确命题的序号是（　Ｃ　）‎ Ａ．①、③ Ｂ．②、④ Ｃ．①、④ Ｄ．②、③‎ ‎18．(07江苏)如图，已知是棱长为的正方体，‎ 点在上，点在上，且．‎ ‎（1）求证：四点共面；（4分）‎ ‎（2）若点在上，，点在上，‎ ‎，垂足为，求证：平面；（4分）‎ 本小题主要考查平面的基本性质、线线平行、线面垂直、二面角等基础知识和基本运算，考查空间想象能力、逻辑推理能力和运算能力．满分12分．‎ 解法一：‎ ‎（1）如图，在上取点，使，连结，，则，．‎ 因为，，所以四边形，‎ 都为平行四边形．‎ 从而，．‎ 又因为，所以，故四边形是平行四边形，由此推知，从而．‎ 因此，四点共面．‎ ‎（2）如图，，又，所以，‎ ‎．‎ 因为，所以为平行四边形，从而．‎ 又平面，所以平面．‎ ‎3．(07山东)下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是（ D ）‎ ‎①正方形 ‎②圆锥 ‎③三棱台 ‎④正四棱锥 A．①② B．①③ C．①④ D．②④‎ ‎20．(07山东)（本小题满分12分）如图，在直四棱柱中，‎ 已知，．‎ B C D A ‎（1）求证：；‎ ‎（2）设是上一点，试确定的位置，使平面 ‎，并说明理由．‎ ‎（1）证明：在直四棱柱中，‎ ‎ 连结，，‎ ‎ 四边形是正方形．．‎ ‎ 又，，‎ B C D A M E ‎ 平面， 平面，‎ ‎ ．‎ ‎ 平面，‎ ‎ 且，平面，‎ ‎ 又平面，．‎ ‎（2）连结，连结，‎ ‎ 设，‎ ‎ ，连结，‎ ‎ 平面平面，‎ ‎ 要使平面，须使，‎ ‎ 又是的中点．是的中点．‎ ‎ 又易知 ．‎ ‎ 即是的中点．综上所述，当是的中点时，可使平面．‎ ‎19．(07广东卷)（本小题满分14分）如图6所示，等腰的底边，高，点是线段上异于点的动点，点在边上，且，现沿将折起到的位置，使，记，表示四棱锥的体积．‎ ‎（1）求的表达式；‎ 图6‎ P E D F B C A ‎（2）当为何值时，取得最大值？‎ ‎（3）当取得最大值时，求异面直线与所成角的余弦值．‎ ‎（1）由折起的过程可知，PE⊥平面ABC，‎ ‎，‎ V(x)=（）‎ ‎（2），所以时， ，‎ V(x)单调递增；时 ，V(x)单调递减；‎ 因此x=6时，V(x)取得最大值；‎ ‎（3）过F作MF//AC交AD与M,‎ 则，PM=，‎ ‎，‎ 在△PFM中， ，∴异面直线AC与PF所成角的余弦值为；‎ ‎（15）(07浙江卷)如图，已知球O点面上四点A、B、C、D，DA平面ABC，ABBC，DA=AB=BC=，则球O点体积等于 。‎ ‎（关键是找出球心，从而确定球的半径。由题意，三角形DAC,‎ 三角形DBC都是直角三角形，且有公共斜边。所以DC边的中点就是 球心（到D、A、C、B四点距离相等），所以球的半径就是线段DC长度 的一半。）　‎ ‎　‎ ‎2008～2009江苏各地考试试卷 ‎16．（15分）已知等腰梯形PDCB中（如图1），PB=3，DC=1，PB=BC=，A为PB边上一点，且PA=1，将△PAD沿AD折起，使面PAD⊥面ABCD（如图2）.‎ ‎（1）证明：平面PAD⊥PCD；‎ ‎（2）试在棱PB上确定一点M，使截面AMC把几何体分成的两部分；‎ ‎（3）在M满足（2）的情况下，判断直线PD是否平行面AMC.‎ ‎（1）证明：依题意知：‎ ‎ …………2分 ‎ …4分 ‎ （2）由（1）知平面ABCD ‎ ‎ ∴平面PAB⊥平面ABCD. …………5分 ‎ 在PB上取一点M，作MN⊥AB，则MN⊥平面ABCD，‎ ‎ 设MN=h ‎ 则 ‎ …………8分 ‎ 要使 ‎ 即M为PB的中点. …………10分 ‎ （3）连接BD交AC于O，因为AB//CD，AB=2，CD=1，由相似三角形易得BO=2OD ‎∴O不是BD的中心……………………10分 又∵M为PB的中点 ‎∴在△PBD中，OM与PD不平行 ‎∴OM所以直线与PD所在直线相交 又OM平面AMC ‎∴直线PD与平面AMC不平行.……………………15分 ‎16．已知ABCD是矩形，AD＝4，AB＝2，E、F分别是线段AB、BC的中点，PA⊥平面ABCD．‎ ‎(Ⅰ)求证：PF⊥FD；(Ⅱ)问棱PA上是否存在点G，使EG//平面PFD，若存在，确定点G的位置，若不存在，请说明理由．‎ P A B C D F E ‎（Ⅰ）证明:连结AF,在矩形ABCD中,因为 AD=4,AB=2,点F是BC的中点,所以∠AFB=∠DFC=45°.‎ 所以∠AFD=90°,即AF⊥FD.‎ 又PA⊥平面ABCD,所以PA⊥FD. ‎ 所以FD⊥平面PAF. ‎ 故PF⊥FD. ‎ ‎（Ⅱ）过E作EH//FD交AD于H,则EH//平面PFD,且 AH=AD. 再过H作HG//PD交PA于G,则GH//平面PFD,且 AG=PA. 所以平面EHG//平面PFD,则EG//平面PFD, ‎ 从而点G满足AG=PA. ‎ ‎18、在直三棱柱中，，，‎ 是的中点，是上一点，且．‎ ‎（1）求证： 平面；‎ ‎（2）求三棱锥的体积；‎ ‎（3）试在上找一点，使得平面．‎ ‎（1）证明：为中点 ，又直三棱柱中：底面 底面，，平面，平面 ‎ ．在 矩形中：，‎ ‎ ， ，‎ 即， ，平面； ----------5分 ‎（2）解：平面 ‎ ‎ =； -------10分 ‎（3）当时，平面．‎ 证明：连，设，连， 为矩形，为中点，为中点，，平面，平面 ‎ ‎ 平面． ------16分 ‎17、已知直角梯形中, ,过作 ‎,垂足为,的中点,现将沿折叠,使得.‎ ‎（1）求证：；（5分）（2）求证：；（5分）‎ ‎（3）在线段上找一点,使得面面,并说明理由. （5分）‎ A B C D E G F ‎·‎ ‎·‎ A B C D E G F 解：（1）证明：由已知得：, …………（2分）‎ ‎ , ,……………………（5分）‎ ‎（2）证明：取中点，连接,,‎ ‎ ， , ， ……………（7分）‎ ‎ , …………………………（10分）‎ ‎（3）分析可知，点满足时， ……………………（11分）‎ ‎ 证明：取中点，连结、、、、‎ ‎ 容易计算,‎ ‎ 在中,可知,‎ ‎ ∴在中, ,∴……………………………（13分）‎ ‎ 又在中,,‎ ‎, ………………………………………（15分）‎ ‎（说明:若设,通过分析,利用推算出,亦可,不必再作证明）‎ ‎16．在几何体ABCDE中，∠BAC=，DC⊥平面ABC，EB⊥平面ABC，F是BC的中点，AB=AC=BE=2，CD=1‎ ‎（1）求证：DC∥平面ABE；‎ ‎（2）求证：AF⊥平面BCDE；‎ ‎（3）求证：平面AFD⊥平面AFE．‎ 解：(Ⅰ) ∵DC⊥平面ABC，EB⊥平面ABC ‎∴DC//EB，又∵DC平面ABE，EB平面ABE，∴DC∥平面ABE……（4分）‎ ‎(Ⅱ)∵DC⊥平面ABC，∴DC⊥AF，又∵AF⊥BC，∴AF⊥平面BCDE……（8分）‎ ‎(Ⅲ)由(2)知AF⊥平面BCDE，∴AF⊥EF，在三角形DEF中，由计算知DF⊥EF，‎ ‎∴EF⊥平面AFD，又EF平面AFE，∴平面AFD⊥平面AFE．……（14分）‎ ‎17．一个多面体的直观图及三视图如图所示：（其中M、N分别是AF、BC的中点）. ‎ ‎（1）求证：MN∥平面CDEF； （2）求多面体A—CDEF的体积. ‎ 解：由三视图可知，该多面体是底面为直角三角形的直三棱住ADE—BCF， ‎ ‎ 且AB=BC=BF=2，DE=CF=2‎ ‎ ∴∠CBF=‎ 取BF中点G，连MG、NG，‎ 由M、N分别为AF、BC的中点可得，‎ NG∥CF，MG∥EF， ‎ ‎ ∴平面MNG∥平面CDEF ‎∴MN∥平面CDEF.‎ ‎（2）取DE的中点H.∵AD=AE，∴AH⊥DE，在直三棱柱ADE—BCF中，平面ADE⊥平面CDEF，面ADE∩面CDEF=DE.∴AH⊥平面CDEF. ∴多面体A—CDEF是以AH为高，以矩形CDEF为底面的棱锥，在△ADE中，AH=，‎ ‎∴棱锥A—CDEF的体积为 ‎17 A B C D E F G 如图，矩形中，，，为上的点，且，AC、BD交于点G.‎ ‎（1）求证：（6分）；‎ ‎（2）求证；（6分）；‎ ‎（3）求三棱锥的体积（4分）.‎ ‎17 解.（1）证明：，‎ ‎ ∴，‎ ‎ AE平面ABE, ∴‎ A B C D E F G 又，∴‎ 又∵BC∩BF=B，‎ ‎∴ ………………… 6分 ‎ （Ⅱ）证明：依题意可知：是中点 ‎ 则，而 ‎ ∴是中点 , ‎ ‎ 在中，，且FG平面BFD,AE平面BFD.‎ ‎∴ …………… 12分 ‎ ‎（Ⅲ）解：‎ ‎ ∴，而 ‎ ∴ ∴‎ ‎ 是中点 ‎ ∴是中点 ∴且 ‎ ‎ ‎ ∴‎ ‎ ∴中，‎ ‎ ∴ ‎ ‎ ∴ ………………… 16分 ‎(其它求法一样给分)‎ ‎16． 如图为正方体ABCD-A1B1C1D1切去一个三棱锥B1—A1BC1后得到的几何体．‎ ‎（1） 画出该几何体的正视图；‎ ‎（2） 若点O为底面ABCD的中心，求证：直线D1O∥平面A1BC1；‎ ‎（3）． 求证：平面A1BC1⊥平面BD1D．‎ 解：（1）该几何体的正视图为：------------------3分 ‎（2）将其补成正方体ABCD-A1B1C1D1，设B1D1和A1C1交于点O1，连接O1B，‎ 依题意可知，D1O1∥OB，且D1O1=OB，即四边形D1OB O1为平行四边形，--6分 ‎ 则D1O∥O1B，因为BO1平面BA1C1，D1O平面BA1C1，‎ ‎ 所以有直线D1O∥平面BA1C1；-------------------------------------------------------8分 ‎（3）在正方体ABCD-A1B1C1D1中，DD1⊥平面A1B1C1D1，‎ ‎ 则DD1⊥A1C1，---------------------------------------------------10分 ‎ 另一方面，B1D1⊥A1C1，---------------------------------------------------------12分 ‎ 又∵DD1∩B1D1= D1，∴A1C1⊥平面BD1D，‎ ‎∵A1C1平面A1BC1，则平面A1BC1⊥平面BD1D．-------------------14分 ‎6、如图是利用斜二测画法画出的的直观图,已知=4,‎ 且的面积为16,过作轴,则的 长为 . ‎ ‎17、一个多面体的直观图和三视图如图所示，其中M、N分别是AB、AC的中点，G是DF上的一动点.‎ ‎（1）求证：（7分）‎ ‎（2）当FG=GD时，在棱AD上确定一点P，使得GP//平面FMC,并给出证明.（8分）‎ 证明：由三视图可得直观图为直三棱柱且底面ADF中AD⊥DF,DF=AD=DC ‎ (1)连接DB，可知B、N、D共线，且AC⊥DN ‎ 又FD⊥AD FD⊥CD，‎ FD⊥面ABCD ‎ FD⊥AC ‎ AC⊥面FDN ‎ ‎ GN⊥AC ‎ （2）点P在A点处 证明：取DC中点S，连接AS、GS、GA ‎ G是DF的中点，GS//FC,AS//CM ‎ 面GSA//面FMC ‎ ‎ ‎ GA//面FMC 即GP//面FMC ‎17．如图所示,在直四棱柱中,, M A B C D A1‎ B1‎ C1‎ D1‎ ,点是棱上一点.‎ ‎(Ⅰ)求证：面；(5分)‎ ‎(Ⅱ)求证：；(5分)‎ ‎(Ⅲ)试确定点的位置,使得平面平面. ‎ ‎(Ⅰ)证明：由直四棱柱,得,‎ 所以是平行四边形,所以 …(3分)‎ ‎ 而,,‎ 所以面 …(5分)‎ M A B C D A1‎ B1‎ C1‎ D1‎ N N1‎ O ‎(Ⅱ)证明：因为, 所以 ………(7分)‎ 又因为,且，所以 ‎ 而，所以 ……(10分)‎ ‎(Ⅲ)当点为棱的中点时,平面平面 取DC的中点N,,连结交于,连结.因为N是DC中点,BD=BC,所以；又因为DC是面ABCD与面的交线,而面ABCD⊥面,所以……………(13分)‎ 又可证得,是的中点,所以BM∥ON且BM=ON,即BMON是平行四边形,所以BN∥OM,所以OM平面,因为OM面DMC1,所以平面平面……………(15分)‎ A C B D S A A B D S 主视图 左视图 俯视图 ‎2已知一几何体的三视图如图，主视图与左视图为全等的等腰直角三角形，直角边长为6，俯视图为正方形，（1）求点A到面SBC的距离；（2）有一个小正四棱柱内接于这个几何体，棱柱底面在面ABCD内，其余顶点在几何体的棱上，当棱柱的底面边长与高取何值时，棱柱的体积最大，并求出这个最大值。‎ ‎（1）3；‎ ‎（2）底面边长为4、高为2时体积最大，最大体积为32‎ ‎17． 如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，棱长为a,E为棱CC1上的的动点．‎ ‎（1）求证：A1E⊥BD；‎ ‎（2）当E恰为棱CC1的中点时，求证：平面A1BD⊥平面EBD；‎ ‎（3）在（2）的条件下，求。‎ 证明：（1）连AC,A1C1‎ ‎ 正方体AC1中，AA1平面ABCD AA1BD ‎ 正方形ABCD， ACBD且ACAA1=A BD平面ACC1A1 且ECC1 ‎ A1E平面ACC1A1 BDA1E 4分 ‎ （2）设ACBD=O，则O为BD的中点，连A1O,EO ‎ 由（1）得BD平面A1ACC1 BDA1O,BDEO ‎ 即为二面角A1-BD-E的平面角 6分 ‎ AB=a，E为CC1中点 A1O= A1E= EO=‎ ‎ A1O2+OE2=A1E2 A1OOE ‎ ‎ 平面A1BD平面BDE 10分 ‎(3)由（2）得A1O平面BDE 且A1O= ‎ ‎ V= 14分 ‎16.一个多面体的直观图和三视图如下:‎ ‎ ‎ ‎(其中分别是中点) (1)求证:平面;‎ ‎(2)求多面体的体积.‎ ‎(1)由三视图知,该多面体是底面为直角三角形的直三棱柱,且,‎ ‎,∴.‎ ‎(1)取中点,连,由分别是中点,可设:,‎ ‎∴面面 ∴面.‎ ‎(2)作于,由于三棱柱为直三棱柱 ‎ ‎∴面,且 ∴,‎ ‎17．（本题满分14分）如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面,,,为的中点.‎ ‎（1）求证：PB||平面EAC；‎ ‎（2）求证：平面PBD 平面PAC ；‎ ‎（3）在侧面上找一点，使面。‎ ‎21． 如图，在棱长为2的正方体中，‎ ‎、分别为、的中点．‎ ‎（1）求证：//平面；‎ ‎（2）求证：；‎ ‎（3）求三棱锥的体积．‎ 解：（1）连接，已知、分别为、的中点．‎ EF是三角形BD1D的中位线，EF//BD1；…(3分)‎ 又，，EF//面BD1C1…(5分)‎ ‎（2）连接、BC1，‎ 正方体中，D1C1^面BCC1B1，BC1Ì面BCC1B1，所以D1C1^ B1C……………………………6分 在正方形BCCB中，两对角线互相垂直，即BC1^B1C，………………7分 D1C1 、BC1Ì面BC1D1，所以B1C^面BC1D1…(8分)‎ BD1Ì面BC1D1，所以有B1C^ BD1，…(9分)‎ 在（1）已证：EF//BD1，所以EF^B1C．………………………10分 ‎（3）连接B1D1，在各直角三角形中，计算得：‎ EB1=3，EF=，FB1=，FC=，B1C=， …………………………………12分 ‎………………………………14分