上海高考数学试卷文解析版特别好

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上海高考数学试卷文解析版特别好

‎2015 年 普 通 高 等 学 校 招 生 全 国 统 一 考 试 上海•数学试卷(文史类)‎ 一、填空题(本大题共有14题,满分56分)考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果,每个空格填对得4分,否则一律得零分.‎ ‎1. 函数的最小正周期为 .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】据题意可得,所以 ‎2. 设全集,若集合,则 .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据题意,可得,故.‎ ‎3. 若复数满足,其中为虚数单位,则 .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】设,根据题意,有,可把化简成 ‎,对于系数相等可得出,.‎ ‎4. 若为的反函数,则 .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】利用反函数与原函数的性质求解即可. 令,解得,即.‎ ‎5. 若线性方程组的增广矩阵为,解为,则 .‎ ‎【答案】16‎ ‎【解析】根据增广矩阵的定义可以还原成方程组 把代入,可得,.‎ ‎6. 若正三棱柱的所有棱长均为,且其体积为,则 .‎ ‎【答案】4‎ ‎【解析】根据正三棱柱的体积计算公式.‎ ‎7. 抛物线上的动点到焦点的距离的最小值为1,则 .‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】根据抛物线的性质,我们知道当且仅当动点运动到原点时,才与抛物线焦点的距离的最小,所以有.‎ ‎8.方程的解为 .‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】由题意可得 ‎,所以或,检验后只有符合.‎ ‎9. 若满足,则目标函数的最大值为 .‎ ‎【答案】3‎ ‎【解析】根据题意作出可行域,如图所示:‎ 由图可知,当直线过时有 的最大值为.‎ ‎10. 在报名的3名男教师和6名女教师中,选取5人参加义务献血,要求男、女教师都有,则不同的选取方法的种数为 .(结果用数值表示)‎ ‎【答案】120‎ ‎【解析】这里男女老师都要有的话,可以分男1、女4,男2、女3和男3、女4,‎ 所以有.‎ ‎11. 在的二项展开式中,常数项等于 .(结果用数值表示)‎ ‎【答案】240‎ ‎【解析】的二项展开式的通项公式,‎ 令,即,所以常数项为.‎ ‎12. 已知双曲线、的顶点重合,的方程为.若的一条渐近线的斜率是放入一条渐近线的斜率的2倍,则的方程为 .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】设的方程为,可得的一条渐近线方程为,的一条渐近线方程为. 由题意可知,故的方程为.‎ ‎13.已知平面向量满足,且,则的最大值是 .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】令,,如图所示,‎ 当与方向相同时有取最大值,又,‎ 经计算可知,当,时有的最大值为.‎ ‎14.已知函数,若存在满足,且,则的最小值为 .‎ ‎【答案】8;‎ ‎【解析】对任意的,,‎ 欲使取最小值,尽可能多的让取最值点,考虑到,,按照下图所示取值可以满足条件 所以的最小值为8;‎ 二、选择题(本大题共有4题,满分20分)考生应在答题纸相应编号位置填涂,每题只有一个正确选项,选对得5分,否则一律得零分.‎ ‎15.设,则“、均为实数”是“是实数”的( )‎ A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.既非充分也非必要条件 ‎【答案】A;‎ ‎【解析】充分性成立,“、均为实数”可以推出“是实数”;‎ 必要性不成立,采用反证法,若是实数,可设,,显然、均为虚数,选择A.‎ ‎16. 下列不等式中,与不等式解集相同的是( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】因为恒成立,‎ 所以由不等式的性质可得,选择B.‎ ‎17.已知点的坐标为,将绕坐标原点逆时针转至,则的纵坐标为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】由题意可知,所以、,‎ 由任意角三角比的定义可知:‎ ‎,‎ 选择D.‎ ‎18.设是直线与圆在第一象限的交点,则极限( )‎ A. B. C.1 D.2‎ ‎【答案】A ‎【解析】采用极限思想求解 ‎【法一】当时,直线趋向于,直线与圆的交点趋向于,可以理解为过点所作的圆的切线的斜率,设切线方程为,结合,即,解之,即.‎ ‎【法二】在上,可得,‎ 同【法一】可得趋向于,所以选择A.‎ 三、解答题(本题共有5题,满分74分)解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.‎ ‎19. (本题满分12分)‎ P 如图,圆锥的顶点为,底面圆心为,底面的一条直径为,为半圆弧的中点,为劣弧的中点. 已知,. 求三棱锥的体积,并求异面直线与所成的角的大小.‎ ‎【答案】,异面直线与所成的角为.‎ ‎【解析】‎ ‎(1)∵为半圆弧的中点, ∴,‎ ‎ ∴,∴;‎ ‎(2)由题意可知,∴,‎ P ‎∴的大小即为异面直线与所成的角或其补角的大小, ‎ 易知,,‎ ‎,‎ 在中,由余弦定理可得:‎ ‎,‎ 即异面直线与所成的角为.‎ ‎20. (本题满分14分)本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分.‎ 已知函数,其中为常数.‎ ‎(1)根据的不同取值,判断函数的奇偶性,并说明理由;‎ ‎(2)若,判断函数在上的单调性,并说明理由.‎ ‎【答案】(1)当时,为奇函数;当时,为非奇非偶函数. (2)增函数.‎ ‎【解析】‎ ‎(1)由题意可知,关于原点对称.‎ ‎①为偶函数对任意 恒成立,‎ 显然,∴不可能为偶函数;‎ ‎②为奇函数 对任意恒成立,‎ 显然有时,对任意恒成立,‎ ‎∴当时,为奇函数;‎ 综上可知,当时,为奇函数;当时,为非奇非偶函数.‎ ‎(2)在上为增函数,理由如下:‎ 任取,‎ 则,‎ 由和,‎ ‎∴,又,‎ ‎∴,‎ 故在上为增函数.‎ ‎21.(本题满分14分)本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分 如图,三地有直道相通,千米,千米,千米. 现甲、乙两警员同时从地出发匀速前往地,经过小时,他们之间的距离为(单位:千米),甲的路线是,速度为千米/小时,乙的路线是,速度为千米/小时,乙到达地后在原地等待,设时,乙到达地;时,乙到达地.‎ ‎(1)求与的值;‎ ‎(2)已知警员的对讲机的有效通话距离是千米,当时,‎ 求的表达式,并判断在上的最大值是否超过?说明理由.‎ ‎【答案】(1),;(2),;最大值没有超过3.‎ ‎【解析】‎ ‎(1),‎ 此时,设甲所在位置为,则,如图所示 ‎∴ ;‎ ‎(2)在上的最大值不超过,理由如下:‎ 设甲、乙所在位置分别为、. 易知,.‎ 如图所示:,,‎ 当即时,‎ ‎,‎ 即,‎ 而函数的对称轴,且,‎ ‎∴当时有,‎ ‎∴所以在上的最大值没有超过3.‎ ‎22.(本题满分16分)本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分6分.‎ 已知椭圆,过原点的两条直线和分别与椭圆交于点和,记的面积为.‎ ‎(1)设,用的坐标表示点到直线的距离,并证明 ‎;‎ ‎(2)设,,,求的值;‎ ‎(3)设与的斜率之积为,求的值,并使得无论与如何变动,面积保持不变.‎ ‎【答案】(1)到直线的距离为;证明见解析;‎ ‎(2)或;(3)时,此时面积为定值.‎ ‎【解析】‎ ‎(1)由题意可知,的一个法向量,‎ ‎∴,‎ ‎∴点到直线的距离,‎ 故.‎ ‎(2)由(1)可得:,即,又 ‎∴,‎ 由此可得,即,‎ 解之或;‎ ‎(3)易知两直线的斜率分别为:,,由与的斜率之积为可得:‎ ‎,又,,‎ 所以,‎ 即,‎ 而 化简得,‎ 将代入得:‎ 欲使面积为定值,只需即可,此时面积.‎ ‎23.(本题满分18分)本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分8分 已知数列与满足.‎ ‎(1)若,且,求的通项公式;‎ ‎(2)设的第项是最大项,即,求证:的第项是最大项;‎ ‎(3)设,求的取值范围,使得对任意,且.‎ ‎【答案】(1);(2)证明见解析;(3);‎ ‎【解析】‎ ‎(1)由可得:,又,‎ 所以数列为以1为首项,6为公差的等差数列,‎ 即有.‎ ‎(2)‎ ‎【法一】由可得:‎ 将上述式子累加可得:,当时,左式也成立,‎ 所以,‎ 由此可得,‎ 由于为常数,‎ 所以当的第项是最大项时,最大,‎ 即的第项是最大项;‎ ‎【法二】任取,不妨设,‎ 由可得 即,‎ ‎∴,‎ 同理可证当时,.‎ 所以故对任意的,可得对任意的都有,‎ 故的第项是其最大项.‎ ‎(3)由和累加法可得,‎ 即,‎ 结合可得,‎ 若对任意,且,则要求数列各项符号相同,且的最大项与最小项之比属于,分三种情况进行讨论:‎ ‎①当时,则为偶数时,为奇数时,此情况不满足条件“数列各项符号相同”;‎ ‎②当时,当足够大时,中奇数项为负,偶数项为正,不满足条件“数列 各项符号相同”;‎ ‎③当时,‎ 此时为奇数时,为负,据题意要求为偶数时的也要恒为负,‎ 由于中偶数项单调递减,所以只需最大项即可,解之;‎ 又,‎ 当为奇数时,上式为正;当为偶数时,上式为负,‎ 即中数项递增,偶数项递减,‎ 又和可得:,‎ 故数列中小项为,最大项为,‎ ‎∴的最大项与最小项之比为,‎ 解之,‎ 综上可得符合条件的.‎
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