高考数学复习好题精选数列求和

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高考数学复习好题精选数列求和

数列求和 题组一 分组转化求和 ‎1.数列a1+2,…,ak+2k,…,a10+20共有十项,且其和为240,则a1+…+ak+…+a10之值为 (  )‎ A.31 B.‎120 ‎‎ C.130 D.185‎ 解析:a1+…+ak+…+a10=240-(2+…+2k+…+20)=240-=240-110=130.‎ 答案:C ‎2.已知数列{an}的通项公式是an=,其前n项和Sn=,则项数n等于 (  )‎ A.13 B.‎10 ‎‎ C.9 D.6‎ 解析:∵an=1-,‎ ‎∴Sn=(1-)+(1-)+(1-)+…+(1-)‎ ‎=n-(+++…+)‎ ‎=n-=n-1+,‎ 由Sn==n-1+,‎ 观察可得出n=6.‎ 答案:D ‎3.已知数列{an}中,a1=2,点(an-1,an)(n>1,且n∈N*)满足y=2x-1,则a1+a2+…+a10=________.‎ 解析:∵an=2an-1-1,∴an-1=2(an-1-1)‎ ‎∴{an-1}为等比数列,则an=2n-1+1,‎ ‎∴a1+a2+…+a10=10+(20+21+…+29)‎ ‎=10+=1 033.‎ 答案:1 033‎ 题组二 裂项相消求和 ‎4.设函数f(x)=xm+ax的导函数f′(x)=2x+1,则数列{}(n∈N*)的前n项和是 (  )‎ A. B. C. D. 解析:f′(x)=mxm-1+a=2x+1,∴a=1,m=2,‎ ‎∴f(x)=x(x+1),‎ ==-,用裂项法求和得Sn=.‎ 答案:A ‎5.数列an=,其前n项之和为,则在平面直角坐标系中,直线(n+1)x+y+n=0在y轴上的截距为 (  )‎ A.-10 B.-‎9 ‎‎ C.10 D.9‎ 解析:数列的前n项和为 ++…+=1-==,‎ 所以n=9,‎ 于是直线(n+1)x+y+n=0即为10x+y+9=0,‎ 所以在y轴上的截距为-9.‎ 答案:B ‎6.在数列{an}中,an=++…+,又bn=,求数列{bn}的前n项的和.‎ 解:由已知得:an=(1+2+3+…+n)=,‎ bn==8(-),‎ ‎∴数列{bn}的前n项和为 Sn=8‎ ‎=8(1-)=.‎ 题组三 错位相减法求和 ‎7.求和:Sn=+++…+.‎ 解:当a=1时,Sn=1+2+3+…+n=;‎ 当a≠1时,Sn=+++…+,‎ Sn=+++…++,‎ 两式相减得,(1-)Sn=+++…+-=-,‎ 即Sn=,‎ ‎∴Sn= ‎8.(2010·昌平模拟)设数列{an}满足a1+‎3a2+‎32a3+…+3n-1an=,n∈N*.‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式;‎ ‎(2)设bn=,求数列{bn}的前n项和Sn.‎ 解:(1)∵a1+‎3a2+‎32a3+…+3n-1an=, ①‎ ‎∴当n≥2时,a1+‎3a2+‎32a3+…+3n-2an-1=. ②‎ ‎①-②得3n-1an=,an=.‎ 在①中,令n=1,得a1=,适合an=,‎ ‎∴an=.‎ ‎(2)∵bn=,∴bn=n3n.‎ ‎∴Sn=3+2×32+3×33+…+n3n, ③‎ ‎∴3Sn=32+2×33+3×34+…+n3n+1.④‎ ‎④-③得2Sn=n3n+1-(3+32+33+…+3n),‎ 即2Sn=n3n+1-,‎ ‎∴Sn=+.‎ 题组四 数列求和的综合应用 ‎9.(2010·长郡模拟)数列{an},已知对任意正整数n,a1+a2+a3+…+an=2n-1,则a+a+a+…+a等于 (  )‎ A.(2n-1)2 B.(2n-1) C.(4n-1) D.4n-1‎ 解析:∵a1+a2+a3+…+an=2n-1,‎ ‎∴a1+a2+a3+…+an-1=2n-1-1,‎ ‎∴an=2n-2n-1=2n-1,∴a=4n-1,‎ ‎∴a+a+a+…+a==(4n-1).‎ 答案:C ‎10.已知数列{an}的通项公式为an=log2(n∈N*),设其前n项和为Sn,则使Sn<-5成立的自然数n (  )‎ A.有最大值63 B.有最小值63‎ C.有最大值32 D.有最小值32‎ 解析:法一:依题意有an=log2=log2(n+1)-log2(n+2),所以Sn=log22-log23+log23-log24+…+log2(n+1)-log2(n+2)=log22-log2(n+2)=1-log2(n+2),令1-log2(n+2)<-5,解得n>62,故使Sn<-5成立的自然数n有最小值63.‎ 法二:Sn=log2+log2+…+log2 ‎=log2(××…×)=log2,‎ 所以由Sn<-5,得log2<-5,解得n>62,‎ 故使Sn<-5成立的自然数n有最小值63.‎ 答案:B ‎11.对于数列{an},定义数列{an+1-an}为数列{an}的“差数列”,若a1=2,{an}的“差数列”的通项为2n,则数列{an}的前n项和Sn=________.‎ 解析:∵an+1-an=2n,‎ ‎∴an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1‎ ‎=2n-1+2n-2+…+22+2+2‎ ‎=+2=2n-2+2=2n.‎ ‎∴Sn==2n+1-2.‎ 答案:2n+1-2‎ ‎12.(文)(2009·湖北高考改编)已知数列{an}的前n项和Sn=-an-()n-1+2(n∈N*).‎ ‎(1)令bn=2nan,求证数列{bn}是等差数列,并求数列{an}的通项公式;‎ ‎(2)令cn=an,求Tn=c1+c2+…+cn的值.‎ 解:(1)在Sn=-an-()n-1+2中,‎ 令n=1,可得S1=-a1-1+2=a1,即a1=.‎ 当n≥2时,Sn-1=-an-1-()n-2+2,‎ ‎∴an=Sn-Sn-1=-an+an-1+()n-1,‎ ‎∴2an=an-1+()n-1,即2nan=2n-1an-1+1.‎ ‎∵bn=2nan,∴bn=bn-1+1,‎ 即当n≥2时,bn-bn-1=1.‎ 又b1=‎2a1=1,‎ ‎∴数列{bn}是首项和公差均为1的等差数列.‎ 于是bn=1+(n-1)·1=n=2nan,‎ ‎∴an=.‎ ‎(2)由(1)得cn=an=(n+1)()n,所以 Tn=2×+3×()2+4×()3+…+(n+1)·()n, ①‎ Tn=2×()2+3×()3+…+n·()n+(n+1)·()n+1, ②‎ 由①-②得Tn=1+()2+()3+…+()n-(n+1)·()n+1‎ ‎=1+-(n+1)()n+1‎ ‎=-.‎ ‎∴Tn=3-.‎ ‎(理)已知数列{an}是首项为a1=,公比q=的等比数列,设bn+2=3logan(n∈N*),数列{cn}满足cn=an·bn.‎ ‎(1)求证:{bn}是等差数列;‎ ‎(2)求数列{cn}的前n项和Sn;‎ ‎(3)若cn≤m2+m-1对一切正整数n恒成立,求实数m的取值范围.‎ 解:(1)证明:由题意知,an=()n(n∈N*).‎ ‎∵bn=3logan-2,b1=3loga1-2=1,‎ ‎∴bn+1-bn=3logan+1-3logan=3log=3logq=3,‎ ‎∴数列{bn}是首项为b1=1,公差为d=3的等差数列.‎ ‎(2)由(1)知,an=()n,bn=3n-2(n∈N*),‎ ‎∴cn=(3n-2)×()n,(n∈N*),‎ ‎∴Sn=1×+4×()2+7×()3+…+(3n-5)×()n-1+(3n-2)×()n,‎ 于是Sn=1×()2+4×()3+7×()4+…+(3n-5)×()n+(3n-2)×()n+1,‎ 两式相减得 Sn=+3-(3n-2)×()n+1=-(3n+2)×()n+1,‎ ‎∴Sn=-·()n(n∈N*).‎ ‎(3)∵cn+1-cn=(3n+1)·()n+1-(3n-2)·()n ‎=9(1-n)·()n+1,(n∈N*).‎ ‎∴当n=1时,c2=c1=,‎ 当n≥2时,cn+1<cn,即c1=c2>c3>c4>…>cn,‎ ‎∴cn取得的最大值是.‎ 又cn≤m2+m-1对一切正整数n恒成立,‎ ‎∴m2+m-1≥,即m2+‎4m-5≥0,‎ 得m≥1或m≤-5.‎
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