- 2021-05-13 发布 |
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文档介绍
高考数学复习好题精选数列求和
数列求和 题组一 分组转化求和 1.数列a1+2,…,ak+2k,…,a10+20共有十项,且其和为240,则a1+…+ak+…+a10之值为 ( ) A.31 B.120 C.130 D.185 解析:a1+…+ak+…+a10=240-(2+…+2k+…+20)=240-=240-110=130. 答案:C 2.已知数列{an}的通项公式是an=,其前n项和Sn=,则项数n等于 ( ) A.13 B.10 C.9 D.6 解析:∵an=1-, ∴Sn=(1-)+(1-)+(1-)+…+(1-) =n-(+++…+) =n-=n-1+, 由Sn==n-1+, 观察可得出n=6. 答案:D 3.已知数列{an}中,a1=2,点(an-1,an)(n>1,且n∈N*)满足y=2x-1,则a1+a2+…+a10=________. 解析:∵an=2an-1-1,∴an-1=2(an-1-1) ∴{an-1}为等比数列,则an=2n-1+1, ∴a1+a2+…+a10=10+(20+21+…+29) =10+=1 033. 答案:1 033 题组二 裂项相消求和 4.设函数f(x)=xm+ax的导函数f′(x)=2x+1,则数列{}(n∈N*)的前n项和是 ( ) A. B. C. D. 解析:f′(x)=mxm-1+a=2x+1,∴a=1,m=2, ∴f(x)=x(x+1), ==-,用裂项法求和得Sn=. 答案:A 5.数列an=,其前n项之和为,则在平面直角坐标系中,直线(n+1)x+y+n=0在y轴上的截距为 ( ) A.-10 B.-9 C.10 D.9 解析:数列的前n项和为 ++…+=1-==, 所以n=9, 于是直线(n+1)x+y+n=0即为10x+y+9=0, 所以在y轴上的截距为-9. 答案:B 6.在数列{an}中,an=++…+,又bn=,求数列{bn}的前n项的和. 解:由已知得:an=(1+2+3+…+n)=, bn==8(-), ∴数列{bn}的前n项和为 Sn=8 =8(1-)=. 题组三 错位相减法求和 7.求和:Sn=+++…+. 解:当a=1时,Sn=1+2+3+…+n=; 当a≠1时,Sn=+++…+, Sn=+++…++, 两式相减得,(1-)Sn=+++…+-=-, 即Sn=, ∴Sn= 8.(2010·昌平模拟)设数列{an}满足a1+3a2+32a3+…+3n-1an=,n∈N*. (1)求数列{an}的通项公式; (2)设bn=,求数列{bn}的前n项和Sn. 解:(1)∵a1+3a2+32a3+…+3n-1an=, ① ∴当n≥2时,a1+3a2+32a3+…+3n-2an-1=. ② ①-②得3n-1an=,an=. 在①中,令n=1,得a1=,适合an=, ∴an=. (2)∵bn=,∴bn=n3n. ∴Sn=3+2×32+3×33+…+n3n, ③ ∴3Sn=32+2×33+3×34+…+n3n+1.④ ④-③得2Sn=n3n+1-(3+32+33+…+3n), 即2Sn=n3n+1-, ∴Sn=+. 题组四 数列求和的综合应用 9.(2010·长郡模拟)数列{an},已知对任意正整数n,a1+a2+a3+…+an=2n-1,则a+a+a+…+a等于 ( ) A.(2n-1)2 B.(2n-1) C.(4n-1) D.4n-1 解析:∵a1+a2+a3+…+an=2n-1, ∴a1+a2+a3+…+an-1=2n-1-1, ∴an=2n-2n-1=2n-1,∴a=4n-1, ∴a+a+a+…+a==(4n-1). 答案:C 10.已知数列{an}的通项公式为an=log2(n∈N*),设其前n项和为Sn,则使Sn<-5成立的自然数n ( ) A.有最大值63 B.有最小值63 C.有最大值32 D.有最小值32 解析:法一:依题意有an=log2=log2(n+1)-log2(n+2),所以Sn=log22-log23+log23-log24+…+log2(n+1)-log2(n+2)=log22-log2(n+2)=1-log2(n+2),令1-log2(n+2)<-5,解得n>62,故使Sn<-5成立的自然数n有最小值63. 法二:Sn=log2+log2+…+log2 =log2(××…×)=log2, 所以由Sn<-5,得log2<-5,解得n>62, 故使Sn<-5成立的自然数n有最小值63. 答案:B 11.对于数列{an},定义数列{an+1-an}为数列{an}的“差数列”,若a1=2,{an}的“差数列”的通项为2n,则数列{an}的前n项和Sn=________. 解析:∵an+1-an=2n, ∴an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1 =2n-1+2n-2+…+22+2+2 =+2=2n-2+2=2n. ∴Sn==2n+1-2. 答案:2n+1-2 12.(文)(2009·湖北高考改编)已知数列{an}的前n项和Sn=-an-()n-1+2(n∈N*). (1)令bn=2nan,求证数列{bn}是等差数列,并求数列{an}的通项公式; (2)令cn=an,求Tn=c1+c2+…+cn的值. 解:(1)在Sn=-an-()n-1+2中, 令n=1,可得S1=-a1-1+2=a1,即a1=. 当n≥2时,Sn-1=-an-1-()n-2+2, ∴an=Sn-Sn-1=-an+an-1+()n-1, ∴2an=an-1+()n-1,即2nan=2n-1an-1+1. ∵bn=2nan,∴bn=bn-1+1, 即当n≥2时,bn-bn-1=1. 又b1=2a1=1, ∴数列{bn}是首项和公差均为1的等差数列. 于是bn=1+(n-1)·1=n=2nan, ∴an=. (2)由(1)得cn=an=(n+1)()n,所以 Tn=2×+3×()2+4×()3+…+(n+1)·()n, ① Tn=2×()2+3×()3+…+n·()n+(n+1)·()n+1, ② 由①-②得Tn=1+()2+()3+…+()n-(n+1)·()n+1 =1+-(n+1)()n+1 =-. ∴Tn=3-. (理)已知数列{an}是首项为a1=,公比q=的等比数列,设bn+2=3logan(n∈N*),数列{cn}满足cn=an·bn. (1)求证:{bn}是等差数列; (2)求数列{cn}的前n项和Sn; (3)若cn≤m2+m-1对一切正整数n恒成立,求实数m的取值范围. 解:(1)证明:由题意知,an=()n(n∈N*). ∵bn=3logan-2,b1=3loga1-2=1, ∴bn+1-bn=3logan+1-3logan=3log=3logq=3, ∴数列{bn}是首项为b1=1,公差为d=3的等差数列. (2)由(1)知,an=()n,bn=3n-2(n∈N*), ∴cn=(3n-2)×()n,(n∈N*), ∴Sn=1×+4×()2+7×()3+…+(3n-5)×()n-1+(3n-2)×()n, 于是Sn=1×()2+4×()3+7×()4+…+(3n-5)×()n+(3n-2)×()n+1, 两式相减得 Sn=+3-(3n-2)×()n+1=-(3n+2)×()n+1, ∴Sn=-·()n(n∈N*). (3)∵cn+1-cn=(3n+1)·()n+1-(3n-2)·()n =9(1-n)·()n+1,(n∈N*). ∴当n=1时,c2=c1=, 当n≥2时,cn+1<cn,即c1=c2>c3>c4>…>cn, ∴cn取得的最大值是. 又cn≤m2+m-1对一切正整数n恒成立, ∴m2+m-1≥,即m2+4m-5≥0, 得m≥1或m≤-5.查看更多