对高考数学上海卷理科第22题的深入研究

对高考数学上海卷理科第22题的深入研究

对 2009 年高考数学上海卷理科第 22 题的深入研究 卫福山（上海市松江二中） 2009 年高考数学上海卷理科第 22 题如下： 已知函数 y=f-1(x)是 y=f(x)的反函数。定义：若对给定的实数 a(a≠0)，函数 y=f(x+a)与 y=f-1(x+a)互为反函数，则称 y=f(x)满足“a 和性质”。若函数 y=f(ax)与 y=f-1(ax)互为反函数， 则称 y=f(x)满足“a 积性质”。 （1）判断函数 g(x)=x2+1(x＞0)是否满足“1 和性质”，并说明理由； （2）求所有满足“2 和性质”的一次函数； （3）设函数 y=f(x)(x＞0)对任何 a＞0 满足“a 积性质”，求 y=f(x)的表达式。 这道题目的得分率很低，特别是第（3）问的得分率低于 0.1，算是一道难度偏大的题。 但从数学研究的角度，笔者对这道题进行了较深入的研究，觉得还是有一定的价值的，对中 学数学教师的教学有一定的启示。 一、对题目的理解 本题算是一道概念学习型问题，是从反函数的概念引发而来的，对高中生而言并不陌生， 但反函数是学生学习中的难点。学生解答本题时暴露出的问题是对题目的理解不深、不透。 1．关于题设的理解 （1）从代数角度，由于 y=f-1(x+a)的反函数为 y=f(x)-a，故函数 y=f(x+a)与 y=f-1(x+a)互 为反函数即满足 f(x+a)=f(x)-a。同理，函数 y=f(ax)与 y=f-1(ax)互为反函数，则 。 （2）从几何角度，不妨假定 a＞0，由于函数 y=f(x+a)的图象是由函数 y=f(x)的图象向 左平行移动 a 个单位得到的，函数 y=f-1(x+a)的图象是由函数 y=f-1(x)的图象向左平行移动 a 个单位得到的，所以函数 y=f(x+a)与 y=f-1(x+a)的图象关于直线 y=x+a 对称。同理，函数 y=f(ax)与 y=f-1(ax)的图象关于直线 y=ax 对称。 2．关于问题的理解 试题的第（1）问和第（2）问是让考生研究满足“a 和性质”的特殊函数，这里起点很低， 一个是给定一个具体函数，让考生按照定义去验证，一个是让考生利用待定系数法求出一类 满足“a 和性质”的函数（即一次函数）。第（3）问要求很高，让考生探求满足“a 积性质”的 函数表达式,这里要深刻理解“给定”与“任何”的差异。对给定的实数 a(a≠0)，则 a 视为（常） 参数；对任何 a＞0，则 a 视为（变）参数，因此第（2）问和第（3）问对参数 a 的要求不 同。 二、对问题的深入思考 关于第（2）问，给出前提“一次函数”，解决起来问题不大。但是反问一下：满足“2 和 性质”的函数是否一定是一次函数呢？或者更一般地，满足“a 和性质”的函数是否一定是一次 函数呢？这里题目中“给定”两字尤为重要。事实上，对给定的实数 a(a≠0)，函数 f(x)不一定 是一次函数，如满足“1 和性质”的函数可以是 f(x)=-x+b(b∈R)、f(x)=[-x]等，满足“2 和性质” 的函数可以是 f(x)=-x+b(b∈R)、f(x)= (c∈R)等，即满足“a 和性质”的函数不一 定是一次函数。 如果对任何实数 a，函数 f(x)满足“a 和性质”，结果如何呢？笔者经过研究发现结果是肯 定的，有如下的命题。 命题：设 y=f(x),x∈R 是初等函数，且对任何实数 a(a≠0)有 f(x+a)=f(x)-a，则 f(x)=-x+b （b 为任何实数）。 1( ) ( )f ax f xa = 23 22 x x c− + 证法 1：令 a=1 有 f(x+1)-f(x)=-1。 当 x∈N*时，有： f(2)-f(1)=-1, f(3)-f(2)=-1, …… f(n)-f(n-1)=-1, 相加得 f(n)=-n+f(1)+1。 因此，当 x∈N*时，有 f(x)=-x+f(1) +1。 令 a= (n∈N*)，则有 ，于是： 相加得 ，即 。 同样， （n∈N* ,m∈N*）。 于是对任何正有理数 x，f(x)=-x+f(1) +1。 用-x 代替 x 有 f(-x+a)=f(-x)-a，同样得对任何负有理数 x，f(x)=-x+f(1) +1。 于是对任何有理数 x，有 f(x)=-x+f(1) +1。 对任何 x∈R，利用实数的稠密性，存在一串有理数{xn}，使得 利用初等函数的连续性，有 f(x)= 。 又由已知条件 f(1)的值无法确定，是（常）参数，令 f(1)+1=b(b∈R)，得 f(x) =-x+b。 证法 2：令 x=1 有 f(1+a)=f(1)-a。 由于 a 为任何实数，令 1+a=x，则 x∈R,a=x-1， 于是有 f(x)=f(1)-(x-1)=-x+f(1)+1。 令 f(1)+1=b(b∈R)，得 f(x)=-x+b。 证法 3：由于方程 f(x+a)=f(x)-a 对任何 a∈R,x∈R 成立， 不妨先将 x 看作参数，a 看成是变量， 于是 f(x+a)=-(x+a)+f(x)+x，且此时 f(x)+x 看成是参数。 记 f(x)+x=b(b∈R)，即 f(x+a)=-(x+a)+b， 再用 x 代替 x+a 有 f(x)=-x+b(b∈R)。 【评注】对任何实数 a，则视 a 为变参数，这就是证法 1 中可以令 a=1,a= ,以及证法 2 中令 1+a=x，x∈R 的原因。证法 3 就是辨证看待变元 a、x，使解题简单。 关于第（3）问，有了第（2）问的深入理解就很简单了。简解如下. 1 n 1 1( )f x f xn n  + − =−   1 1 1 1( ) ( ) 2 1 2 1( ) ( ) 1 1 2 1 1( ) ( ) f fn n n n f fn n n n n nf fn n n n n + − = − + − = − − −+ − + = − ， ， … … ， 1 1(1) ( ) nf f n n −− = − 1 1( ) (1) 1f fn n = − + + ( ) (1) 1m mf fn n = − + + lim ,nn x x→∞ = (lim ) lim ( ) lim( (1) 1) (1) 1n n nn n n f x f x x f x f→∞ →∞ →∞ = = − + + = − + + 1 2 解：由于函数 y=f(x)(x＞0)对任何 a＞0 满足“a 积性质”，即 ，视 x 为参 数，a 为变量，将方程改写成 ，这里 a＞0, x＞0，显然 ，否则与 f(x) 存 在 反 函 数 矛 盾 ， 由 于 x 为 参 数 ， 不 妨 令 xf(x)=k 。 用 x 代 替 ax ， 有 。 三、对试题编制的想法 笔者认为这样一道高考试题的想法很好，将反函数的概念与函数图象的平移、伸缩变换 结合起来，又涉及到最基本又最重要的加法、乘法运算，而进一步的研究又发现本题涉及含 参数的问题中参数与变量的辩证看待。学生在学习反函数时，常常不能正确区分记号“f”与 “f-1”，事实上，若 f(x)存在反函数，则 f(a)=ba=f-1(b)。y=f(x+a)的反函数是 y=f-1(x)-a，y=f(ax) 的反函数是 ，从中我们或许能感受反函数的“反”。从函数 f(x)与 f-1(x)互为反函 数出发编制与 f(x)及 f-1(x)均有关的试题，学生在平时的解题中也会遇到，如求满足 f(x)= f-1(x) （即自反函数）的函数表达式，这样的函数很多，比如 y=x， ， …… 结合自己对问题的深入思考，笔者有以下的一些想法。 （1）对给定的实数 a，满足“a 和性质”的函数不一定是一次函数，如前面的反例，但如 果结合高等数学有关连续的知识后，若要求函数是连续函数时结果如何呢？即问题 1. 问题 1：若函数 f(x), x∈R 是连续函数，且对给定的实数 a(a≠0)，有 f(x+a)=f(x)-a，则 f(x) =-x+b（b 为任何实数）是否成立？ 对满足“a 和性质”有完全类似的想法，即问题 2. 问题 2：若函数 f(x), x＞0 是连续函数，且对给定的实数 a(a＞0)，有 ， 则 是否成立？ 1、 （2）受到本题理解上的启发，我们也可以研究对给定的实数 a(a≠0)，函数 y= f(x+a)与 y=f-1(x-a)互为反函数及函数 y= f(ax)与 互为反函数的函数的 相关性质，在此不一一写出，有兴趣的读者可以去尝试。对格式的要求 知网学位论文检测为整篇上传，上传论文后，系统会自动检 测该论文的章节信息，如果有自动生成的目录信息，那么系统会 将论文按章节分段检测，否则会自动按每一万字左右分段检测。 格式对检测结果可能会造成影响，需要将最终交稿格式提交检测， 将影响降到最小，此影响为几十字的小段可能检测不出。都不会 1( ) ( )f ax f xa = ( )( ) xf xf ax ax = ( ) 0f x ≡ ( ) ( 0, 0)kf x x kx = > ≠ 11 ( )y f xa −= 1y x = 1 1 xy x += − 1( ) ( )f ax f xa = ( ) ( 0, 0)kf x x kx = > ≠ 1 xy f a −  =    影响通过。系统的算法比较复杂，每次修改论文后再测可能会有 第一次没测出的小段抄袭（经 2 年实践经验证明，该小段不会超 过 200 字，并且二次修 改后论文一般会大大降低抄袭率）