高考数学考点归纳之 简单的三角恒等变换

高考数学考点归纳之 简单的三角恒等变换

高考数学考点归纳之 简单的三角恒等变换 考点一 三角函数式的化简 [典例] (1)sin180°＋2α 1＋cos 2α · cos2α cos90°＋α 等于( ) A．－sin α B．－cos α C．sin α D．cos α (2)化简：sin2α＋β sin α －2cos(α＋β)． [解] (1)选 D 原式＝ －sin 2α·cos2α 2cos2α－sin α ＝－2sin αcos α·cos2α 2cos2α－sin α ＝cos α. (2)原式＝sin2α＋β－2sin αcosα＋β sin α ＝sin[α＋α＋β]－2sin αcosα＋β sin α ＝sin αcosα＋β＋cos αsinα＋β－2sin αcosα＋β sin α ＝cos αsinα＋β－sin αcosα＋β sin α ＝sin[α＋β－α] sin α ＝sin β sin α. [解题技法] [题组训练] 1．化简： sin 2α－2cos2α sin α－π 4 ＝________. 解析：原式＝2sin αcos α－2cos2α 2 2 sin α－cos α ＝2 2cos α. 答案：2 2cos α 2．化简： 2cos2α－1 2tan π 4 －α cos2 π 4 －α . 解：原式＝ cos 2α 2sin π 4 －α cos π 4 －α ＝ cos 2α sin π 2 －2α ＝cos 2α cos 2α ＝1. 考点二 三角函数式的求值 考法(一) 给角求值 [典例] cos 10°1＋ 3tan 10° cos 50° 的值是________． [解析] 原式＝cos 10°＋ 3sin 10° cos 50° ＝2sin10°＋30° cos 50° ＝2sin 40° sin 40° ＝2. [答案] 2 [解题技法] 三角函数给角求值问题的解题策略 一般所给出的角都是非特殊角，要观察所给角与特殊角间的关系，利用三角变换转化为 求特殊角的三角函数值问题，另外此类问题也常通过代数变形(比如：正负项相消、分子分 母相约等)的方式来求值． 考法(二) 给值求值 [典例] 已知 sin α＋π 4 ＝ 2 10 ，α∈ π 2 ，π . 求：(1)cos α的值； (2)sin 2α－π 4 的值． [解] (1)由 sin α＋π 4 ＝ 2 10 ， 得 sin αcosπ 4 ＋cos αsinπ 4 ＝ 2 10 ， 化简得 sin α＋cos α＝1 5 ，① 又 sin2α＋cos2α＝1，且α∈ π 2 ，π ② 由①②解得 cos α＝－3 5. (2)∵α∈ π 2 ，π ，cos α＝－3 5 ，∴sin α＝4 5 ， ∴cos 2α＝1－2sin2α＝－ 7 25 ，sin 2α＝2sin αcos α＝－24 25 ， ∴sin 2α－π 4 ＝sin 2αcosπ 4 －cos 2αsinπ 4 ＝－17 2 50 . [解题技法] 三角函数给值求值问题的基本步骤 (1)先化简所求式子或已知条件； (2)观察已知条件与所求式子之间的联系(从三角函数的名及角入手)； (3)将已知条件代入所求式子，化简求值． 考法(三) 给值求角 [典例] 若 sin 2α＝ 5 5 ，sin(β－α)＝ 10 10 ，且α∈ π 4 ，π ，β∈ π，3π 2 ，则α＋β的值是( ) A.7π 4 B.9π 4 C.5π 4 或7π 4 D.5π 4 或9π 4 [解析] ∵α∈ π 4 ，π ，∴2α∈ π 2 ，2π ， ∵sin 2α＝ 5 5 ，∴2α∈ π 2 ，π . ∴α∈ π 4 ，π 2 且 cos 2α＝－2 5 5 . 又∵sin(β－α)＝ 10 10 ，β∈ π，3π 2 ， ∴β－α∈ π 2 ，5π 4 ，cos(β－α)＝－3 10 10 ， ∴cos(α＋β)＝cos[(β－α)＋2α] ＝cos(β－α)cos 2α－sin(β－α)sin 2α ＝ －3 10 10 × －2 5 5 － 10 10 × 5 5 ＝ 2 2 ， 又∵α＋β∈ 5π 4 ，2π ，∴α＋β＝7π 4 . [答案] A [解题技法] 三角函数给值求角问题的解题策略 (1)根据已知条件，选取合适的三角函数求值． ①已知正切函数值，选正切函数； ②已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数．若角的范围是 0，π 2 ，选正、余弦函数皆 可；若角的范围是(0，π)，选余弦函数较好；若角的范围是 －π 2 ，π 2 ，选正弦函数较好． (2)注意讨论所求角的范围，及解题过程中角的范围． [题组训练] 1．求值： cos 20° cos 35° 1－sin 20° ＝( ) A．1 B．2 C. 2 D. 3 解析：选 C 原式＝ cos 20° cos 35°|sin 10°－cos 10°| ＝ cos210°－sin210° cos 35°cos 10°－sin 10° ＝cos 10°＋sin 10° cos 35° ＝ 2 2 2 cos 10°＋ 2 2 sin 10° cos 35° ＝ 2cos45°－10° cos 35° ＝ 2cos 35° cos 35° ＝ 2. 2．已知α为第二象限角，sin α＋cos α＝ 3 3 ，则 cos 2α＝( ) A．－ 5 3 B．－ 5 9 C. 5 9 D. 5 3 解析：选 A 法一：因为 sin α＋cos α＝ 3 3 ，所以(sin α＋cos α)2＝1 3 ，即 2sin αcos α＝－ 2 3 ，即 sin 2α＝－2 3. 又因为α为第二象限角且 sin α＋cos α＝ 3 3 >0， 所以 sin α>0，cos α<0，cos α－sin α<0，cos 2α＝cos2α－sin2α＝(cos α＋sin α)(cos α－ sin α)<0. 所以 cos 2α＝－ 1－sin22α＝－ 1－ －2 3 2＝－ 5 3 . 法二：由 cos 2α＝cos2α－sin2α＝(cos α＋sin α)(cos α－sin α)，且α为第二象限角，得 cos α－sin α<0， 因为 sin α＋cos α＝ 3 3 ， 所以(sin α＋cos α)2＝1 3 ＝1＋2sin αcos α， 得 2sin αcos α＝－2 3 ，从而(cos α－sin α)2＝1－2sin αcos α＝5 3 ，则 cos α－sin α＝－ 15 3 ， 所以 cos 2α＝ 3 3 × － 15 3 ＝－ 5 3 . 3．已知锐角α，β满足 sin α＝ 5 5 ，cos β＝3 10 10 ，则α＋β等于( ) A.3π 4 B.π 4 或3π 4 C.π 4 D．2kπ＋π 4(k∈Z) 解析：选 C 由 sin α＝ 5 5 ，cos β＝3 10 10 ，且α，β为锐角， 可知 cos α＝2 5 5 ，sin β＝ 10 10 ， 故 cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝2 5 5 ×3 10 10 － 5 5 × 10 10 ＝ 2 2 ， 又 0<α＋β<π，故α＋β＝π 4. 考点三 三角恒等变换的综合应用 [典例] (2018·北京高考)已知函数 f(x)＝sin2x＋ 3sin xcos x. (1)求 f(x)的最小正周期； (2)若 f(x)在区间 －π 3 ，m 上的最大值为3 2 ，求 m 的最小值． [解] (1)因为 f(x)＝sin2x＋ 3sin xcos x ＝1 2 －1 2cos 2x＋ 3 2 sin 2x ＝sin 2x－π 6 ＋1 2 ， 所以 f(x)的最小正周期为 T＝2π 2 ＝π. (2)由(1)知 f(x)＝sin 2x－π 6 ＋1 2. 由题意知－π 3 ≤x≤m， 所以－5π 6 ≤2x－π 6 ≤2m－π 6. 要使 f(x)在区间 －π 3 ，m 上的最大值为3 2 ， 即 sin 2x－π 6 在区间 －π 3 ，m 上的最大值为 1， 所以 2m－π 6 ≥π 2 ，即 m≥π 3. 所以 m 的最小值为π 3. [解题技法] 三角恒等变换综合应用的解题思路 (1)将 f(x)化为 asin x＋bcos x 的形式； (2)构造 f(x)＝ a2＋b2 a a2＋b2·sin x＋ b a2＋b2·cos x ； (3)和角公式逆用，得 f(x)＝ a2＋b2sin(x＋φ)(其中φ为辅助角)； (4)利用 f(x)＝ a2＋b2sin(x＋φ)研究三角函数的性质； (5)反思回顾，查看关键点、易错点和答题规范． [题组训练] 1．已知ω>0，函数 f(x)＝sin ωxcos ωx＋ 3cos2ωx－ 3 2 的最小正周期为π，则下列结论正 确的是( ) A．函数 f(x)的图象关于直线 x＝π 3 对称 B．函数 f(x)在区间 π 12 ，7π 12 上单调递增 C．将函数 f(x)的图象向右平移π 6 个单位长度可得函数 g(x)＝cos 2x 的图象 D．当 x∈ 0，π 2 时，函数 f(x)的最大值为 1，最小值为－ 3 2 解析 ：选 D 因为 f(x)＝sin ωxcos ωx ＋ 3 cos2ωx － 3 2 ＝1 2 sin 2ωx ＋ 3 2 cos 2ωx ＝ sin 2ωx＋π 3 ，所以 T＝2π 2ω ＝π，所以ω＝1，所以 f(x)＝sin 2x＋π 3 .对于 A，因为 f π 3 ＝0，所 以不正确；对于 B，当 x∈ π 12 ，7π 12 时，2x＋π 3 ∈ π 2 ，3π 2 ，所以函数 f(x)在区间 π 12 ，7π 12 上单 调递减，故不正确；对于 C，将函数 f(x)的图象向右平移π 6 个单位长度所得图象对应的函数 y ＝f x－π 6 ＝sin 2 x－π 6 ＋π 3 ＝sin 2x，所以不正确；对于 D，当 x∈ 0，π 2 时，2x＋π 3 ∈ π 3 ，4π 3 ， 所以 f(x)∈ － 3 2 ，1 ，故正确．故选 D. 2．已知函数 f(x)＝4sin xcos x－π 3 － 3. (1)求函数 f(x)的单调区间； (2)求函数 f(x)图象的对称轴和对称中心． 解：(1)f(x)＝4sin xcos x－π 3 － 3 ＝4sin x 1 2cos x＋ 3 2 sin x － 3 ＝2sin xcos x＋2 3sin2x－ 3 ＝sin 2x＋ 3(1－cos 2x)－ 3 ＝sin 2x－ 3cos 2x ＝2sin 2x－π 3 . 令 2kπ－π 2 ≤2x－π 3 ≤2kπ＋π 2(k∈Z)， 得 kπ－ π 12 ≤x≤kπ＋5π 12(k∈Z)， 所以函数 f(x)的单调递增区间为 kπ－ π 12 ，kπ＋5π 12 (k∈Z)． 令 2kπ＋π 2 ≤2x－π 3 ≤2kπ＋3π 2 (k∈Z)， 得 kπ＋5π 12 ≤x≤kπ＋11π 12 (k∈Z)， 所以函数 f(x)的单调递减区间为 kπ＋5π 12 ，kπ＋11π 12 (k∈Z)． (2)令 2x－π 3 ＝kπ＋π 2(k∈Z)，得 x＝kπ 2 ＋5π 12(k∈Z)， 所以函数 f(x)的对称轴方程为 x＝kπ 2 ＋5π 12(k∈Z)． 令 2x－π 3 ＝kπ(k∈Z)，得 x＝kπ 2 ＋π 6(k∈Z)， 所以函数 f(x)的对称中心为 kπ 2 ＋π 6 ，0 (k∈Z)． [课时跟踪检测] A 级 1．已知 sin π 6 －α ＝cos π 6 ＋α ，则 tan α＝( ) A．1 B．－1 C.1 2 D．0 解析：选 B ∵sin π 6 －α ＝cos π 6 ＋α ， ∴1 2cos α－ 3 2 sin α＝ 3 2 cos α－1 2sin α， 即 3 2 －1 2 sin α＝ 1 2 － 3 2 cos α， ∴tan α＝sin α cos α ＝－1. 2．化简： cos 40° cos 25° 1－sin 40° ＝( ) A．1 B. 3 C. 2 D．2 解析：选 C 原式＝ cos220°－sin220° cos 25°cos 20°－sin 20° ＝cos 20°＋sin 20° cos 25° ＝ 2cos 25° cos 25° ＝ 2. 3．(2018·唐山五校联考)已知α是第三象限的角，且 tan α＝2，则 sin α＋π 4 ＝( ) A．－ 10 10 B. 10 10 C．－3 10 10 D.3 10 10 解析：选 C 因为α是第三象限的角，tan α＝2， 所以 sin α cos α ＝2， sin2α＋cos2α＝1， 所以 cos α＝－ 5 5 ，sin α＝－2 5 5 ， 则 sin α＋π 4 ＝sin αcosπ 4 ＋cos αsinπ 4 ＝－2 5 5 × 2 2 － 5 5 × 2 2 ＝－3 10 10 . 4．(2019·咸宁模拟)已知 tan(α＋β)＝2，tan β＝3，则 sin 2α＝( ) A. 7 25 B.14 25 C．－ 7 25 D．－14 25 解析：选 C 由题意知 tan α＝tan[(α＋β)－β]＝ tanα＋β－tan β 1＋tanα＋βtan β ＝－1 7 ， 所以 sin 2α＝ 2sin αcos α sin2α＋cos2α ＝ 2tan α tan2α＋1 ＝－ 7 25. 5．已知 cos 2π 3 －2θ ＝－7 9 ，则 sin π 6 ＋θ 的值为( ) A.1 3 B．±1 3 C．－1 9 D.1 9 解析：选 B ∵cos 2π 3 －2θ ＝－7 9 ， ∴cos π－ π 3 ＋2θ ＝－cos π 3 ＋2θ ＝－cos 2 π 6 ＋θ ＝－ 1－2sin2 π 6 ＋θ ＝－7 9 ， 解得 sin2 π 6 ＋θ ＝1 9 ，∴sin π 6 ＋θ ＝±1 3. 6．若 sin(α－β)sin β－cos(α－β)cos β＝4 5 ，且α为第二象限角，则 tan α＋π 4 ＝( ) A．7 B.1 7 C．－7 D．－1 7 解析：选 B ∵sin(α－β)sin β－cos(α－β)cos β＝4 5 ，即－cos(α－β＋β)＝－cos α＝4 5 ， ∴cos α＝－4 5.又∵α为第二象限角，∴tan α＝－3 4 ，∴tan α＋π 4 ＝1＋tan α 1－tan α ＝1 7. 7．化简：2sinπ－α＋sin 2α cos2α 2 ＝________. 解析：2sinπ－α＋sin 2α cos2α 2 ＝2sin α＋2sin αcos α 1 2 1＋cos α ＝4sin α1＋cos α 1＋cos α ＝4sin α. 答案：4sin α 8．(2018·洛阳第一次统考)已知 sin α＋cos α＝ 5 2 ，则 cos 4α＝________. 解析：由 sin α＋cos α＝ 5 2 ，得 sin2α＋cos2α＋2sin αcos α＝1＋sin 2α＝5 4 ，所以 sin 2α＝ 1 4 ，从而 cos 4α＝1－2sin22α＝1－2× 1 4 2＝7 8. 答案：7 8 9．若锐角α，β满足 tan α＋tan β＝ 3－ 3tan αtan β，则α＋β＝________. 解析：由已知可得 tan α＋tan β 1－tan αtan β ＝ 3， 即 tan(α＋β)＝ 3. 又因为α＋β∈(0，π)，所以α＋β＝π 3. 答案：π 3 10．函数 y＝sin xcos x＋π 3 的最小正周期是________． 解析：y＝sin xcos x＋π 3 ＝1 2sin xcos x－ 3 2 sin2x＝1 4sin 2x－ 3 2 ·1－cos 2x 2 ＝1 2sin 2x＋π 3 － 3 4 ，故函数 f(x)的最小正周期 T＝2π 2 ＝π. 答案：π 11．化简：(1) 3tan 12°－3 sin 12°4cos212°－2 ； (2) cos2α 1 tan α 2 －tan α 2 . 解：(1)原式＝ 3sin 12° cos 12° －3 22cos212°－1sin 12° ＝ 3sin 12°－3cos 12° 2sin 12°cos 12°cos 24° ＝2 3sin 12°cos 60°－cos 12°sin 60° sin 24°cos 24° ＝4 3sin12°－60° sin 48° ＝－4 3. (2)法一：原式＝ cos2α cosα 2 sinα 2 － sinα 2 cosα 2 ＝ cos2 α cos2 α 2 －sin2 α 2 sinα 2cosα 2 ＝ cos2αsinα 2cosα 2 cos2 α 2 －sin2 α 2 ＝cos2αsinα 2cosα 2 cos α ＝sinα 2cosα 2cos α＝1 2sin αcos α＝1 4sin 2α. 法二：原式＝ cos2αtanα 2 1－tan2 α 2 ＝1 2cos2α· 2tanα 2 1－tan2 α 2 ＝1 2cos2α·tan α＝1 2cos αsin α＝1 4sin 2α. 12．已知函数 f(x)＝2sin xsin x＋π 6 . (1)求函数 f(x)的最小正周期和单调递增区间； (2)当 x∈ 0，π 2 时，求函数 f(x)的值域． 解：(1)因为 f(x)＝2sin x 3 2 sin x＋1 2cos x ＝ 3×1－cos 2x 2 ＋1 2sin 2x＝sin 2x－π 3 ＋ 3 2 ， 所以函数 f(x)的最小正周期为 T＝π. 由－π 2 ＋2kπ≤2x－π 3 ≤π 2 ＋2kπ，k∈Z， 解得－ π 12 ＋kπ≤x≤5π 12 ＋kπ，k∈Z， 所以函数 f(x)的单调递增区间是 － π 12 ＋kπ，5π 12 ＋kπ ，k∈Z. (2)当 x∈ 0，π 2 时，2x－π 3 ∈ －π 3 ，2π 3 ， sin 2x－π 3 ∈ － 3 2 ，1 ，f(x)∈ 0，1＋ 3 2 . 故 f(x)的值域为 0，1＋ 3 2 . B 级 1．(2018·大庆中学期末)已知 tan α， 1 tan α 是关于 x 的方程 x2－kx＋k2－3＝0 的两个实根， 且 3π<α<7π 2 ，则 cos α＋sin α＝( ) A. 3 B. 2 C．－ 2 D．－ 3 解析：选 C ∵tan α， 1 tan α 是关于 x 的方程 x2－kx＋k2－3＝0 的两个实根，∴tan α＋ 1 tan α ＝k，tan α· 1 tan α ＝k2－3. ∵3π<α<7π 2 ，∴k>0，∴k＝2， ∴tan α＝1，∴α＝3π＋π 4 ， 则 cos α＝－ 2 2 ，sin α＝－ 2 2 ，∴cos α＋sin α＝－ 2. 2．在△ABC 中，sin(C－A)＝1，sin B＝1 3 ，则 sin A＝________. 解析：∵sin(C－A)＝1， ∴C－A＝90°，即 C＝90°＋A， ∵sin B＝1 3 ， ∴sin B＝sin(A＋C)＝sin(90°＋2A)＝cos 2A＝1 3 ， 即 1－2sin2A＝1 3 ，∴sin A＝ 3 3 . 答案： 3 3 3．已知角α的顶点在坐标原点，始边与 x 轴的正半轴重合，终边经过点 P(－3， 3)． (1)求 sin 2α－tan α的值； (2)若函数 f(x)＝cos(x－α)cos α－sin(x－α)sin α，求函数 g(x)＝ 3f π 2 －2x －2f 2(x)在区间 0，2π 3 上的值域． 解：(1)∵角α的终边经过点 P(－3， 3)， ∴sin α＝1 2 ，cos α＝－ 3 2 ，tan α＝－ 3 3 . ∴sin 2α－tan α＝2sin αcos α－tan α＝－ 3 2 ＋ 3 3 ＝－ 3 6 . (2)∵f(x)＝cos(x－α)cos α－sin(x－α)sin α＝cos x， ∴g(x)＝ 3cos π 2 －2x －2cos2x＝ 3sin 2x－1－cos 2x＝2sin 2x－π 6 －1. ∵0≤x≤2π 3 ， ∴－π 6 ≤2x－π 6 ≤7π 6 . ∴－1 2 ≤sin 2x－π 6 ≤1， ∴－2≤2sin 2x－π 6 －1≤1， 故函数 g(x)＝ 3f π 2 －2x －2f2(x)在区间 0，2π 3 上的值域是[－2,1]．