历年文科高考椭圆题带解析
第六节 椭圆
强化训练当堂巩固
1.若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列,则该椭圆的离心率是( )
A. B. C. D.
答案:B
解析:由2a,2b,2c成等差数列,所以2b=a+c.
又
所以.
所以.所以.
2.已知椭圆0)的左焦点为F,右顶点为A,点B在椭圆上,且轴,直线AB交y轴于点P.若,则椭圆的离心率是( )
A. B. C. D.
答案:D
解析:对于椭圆,∵,则,
∴a=2c.∴.
3.已知椭圆0)的左、右焦点分别为、若椭圆上存在一点P使则该椭圆的离心率的取值范围为 .
答案:
解析:因为在△中,由正弦定理得
则由已知,得即a||=c||.
由椭圆的定义知||+||=2a,
则||+||=2a,即||
由椭圆的几何性质知||
0)的右焦点与抛物线的焦点相同,离心率为则此椭圆的方程为( )
A. B.
C. D.
答案:B
解析:由题意可知:c=2,且焦点在x轴上.由可得m=4,∴.故选B.
题组二 椭圆的定义
4.设P是椭圆上的点.若是椭圆的两个焦点,则||+||等于( )
A.4 B.5
C.8 D.10
答案:D
解析:因为a=5,所以||+||=2a=10.
5.设直线l:2x+y-2=0与椭圆的交点为A、B,点P是椭圆上的动点,则使△PAB面积为的点P的个数为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
答案:D
解析:联立方程组 消去y整理解得: 或 |AB|
结合图象知P的个数为4.
题组三 椭圆的综合应用
6.已知椭圆G的中心在坐标原点,长轴在x轴上,离心率为且G上一点到G的两个焦点的距离之和为12,则椭圆G的方程为 .
答案:
解析:6,b=3,则所求椭圆方程为.
7.已知、是椭圆C:0)的两个焦点,P为椭圆C上一点,且.若△的面积为9,则b= .
答案:3
解析:依题意,有 可得即∴b=3.
8.在平面直角坐标系xOy中为椭圆0)的四个顶点,F为其右焦点,直线与直线相交于点T,线段OT与椭圆的交点M恰为线段OT的中点,则该椭圆的离心率为 .
答案:
解析:直线的方程为:;
直线的方程为:;二者联立解得点
则OT中点在椭圆0)上,
10e-3=0,
解得.
9.已知椭圆C:的两焦点为点满足则||+||的取值范围为,直线与椭圆C的公共点个数为 .
答案: 0
解析:延长交椭圆C于点M,故||||+||<||+||=2a,
即||+||;
当时直线为x=与椭圆C无交
点;
当时,直线为代入中有
.
∵
∴直线与椭圆无交点.
10.已知F是椭圆C的一个焦点,B是短轴的一个端点,线段BF的延长线交C于点D,且则椭圆C的离心率为 .
答案:
解析:如图,不妨设B(0,b)为上顶点,F(c,0)为右焦点,
设D(x,y).由得(c,-b)=2(x-c,y),
即 解得 .
由可得|||| ①
又由椭圆第二定义知,||. ②
由①②解得即∴.
11.如图,椭圆C:的顶点为焦点为||
.
(1)求椭圆C的方程;
(2)设n为过原点的直线,l是与n垂直相交于P点.与椭圆相交于A,B两点的直线,||=1.是否存在上述直线l使成立?若存在,求出直线l的方程;若不存在,请说明理由.
解:(1)由||知 ①
由知a=2c, ②
又 ③
由①②③,解得故椭圆C的方程为.
(2)设A,B两点的坐标分别为假设使成立的直线l存在,
①当l不垂直于x轴时,设l的方程为y=kx+m,
由l与n垂直相交于P点且||=1得
即.
由得.
将y=kx+m代入椭圆方程,得
由求根公式可得 ④
. ⑤
将④⑤代入上式并化简得
. ⑥
将代入⑥并化简得矛盾.
即此时直线l不存在.
②当l垂直于x轴时,满足||=1的直线l的方程为x=1或x=-1,
则A,B两点的坐标为或(-1
当x=1时;
当x=-1时
∴此时直线l也不存在.
综上可知,使成立的直线l不存在.
12.如图,已知椭圆（a>b>0)过点离心率为左 、右焦点分别为F 、F.点P为直线l:x+y=2上且不在x轴上的任意一点,直线和与椭圆的交点分别为A
(1)求椭圆的标准方程.
(2)设直线,PF的斜率分别为,k.
(ⅰ)证明:.
(ⅱ)问直线l上是否存在点P,使得直线OA k,k,k,k满足?若存在,求出所有满足条件的点P的坐标;存不存在,说明理由.
解:(1)因为椭圆过点
所以.
又
所以1.
故所求椭圆的标准方程为.
(2)(ⅰ)证明:方法一:由于,F,PF的斜率分别为,k且点P不在x轴上,
所以.
又直线的方程分别为
联立方程解得
所以.
由于点P在直线x+y=2上,
所以.
因此
即结论成立.
方法二:设则.
因为点P不在x轴上,所以.
又
所以.
因此结论成立.
(ⅱ)设.
联立直线与椭圆的方程得
化简得
因此
由于OA,OB的斜率存在,
所以因此.
因此
.
相似地,可以得到
故
.
若须有或.
①当时,结合(ⅰ)的结论,可得,所以解得点P的坐标为(0,2);
②当时,结合(ⅰ)的结论,解得或此时不满足舍去),此时直线CD的方程为y=3(x-1),联立方程x+y=2得.
因此.
综上所述,满足条件的点P的坐标分别为(0.
