2015年高考湖北文科数学试题及答案(word解析版)

2015年高考湖北文科数学试题及答案(word解析版)

‎2015年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）‎ 数学（文科）‎ 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．‎ ‎（1）【2015年湖北，文1，5分】为虚数单位，（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）1‎ ‎【答案】A ‎【解析】，故选A．‎ ‎（2）【2015年湖北，文2，5分】我国古代数学名著《数书九章》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为（ ）‎ ‎（A）134石 （B）169石 （C）338石 （D）1365石 ‎【答案】B ‎【解析】依题意，这批米内夹谷约为石，故选B．‎ ‎（3）【2015年湖北，文3，5分】命题“，”的否定是（ ）‎ ‎（A）， （B），‎ ‎（C）， （D），‎ ‎【答案】C ‎【解析】由特称命题的否定为全称命题可知，所求命题的否定为，，故选C．‎ ‎（4）【2015年湖北，文4，5分】已知变量和满足关系，变量与正相关．下列结论中正确的 是（ ）‎ ‎（A）与负相关，与负相关 （B）与正相关，与正相关 ‎（C）与正相关，与负相关 （D）与负相关，与正相关 ‎【答案】A ‎【解析】因为变量和满足关系，其中，所以与成负相关；又因为变量与正相关，不妨设，则将代入即可得到：，所以与负相关，综上可知，故选A．‎ ‎（5）【2015年湖北，文5，5分】表示空间中的两条直线，若p：是异面直线；q：不相交，则（ ）‎ ‎ （A）p是q的充分条件，但不是q的必要条件 （B）p是q的必要条件，但不是q的充分条件 ‎ ‎ （C）p是q的充分必要条件 （D）p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】若p：是异面直线，由异面直线的定义知，不相交，所以q：不相交成立，即p是q的充分 条件；反过来，若q：不相交，则可能平行，也可能异面，所以不能推出是异面直线，即p 不是q的必要条件，故选A．‎ ‎（6）【2015年湖北，文6，5分】函数的定义域为（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【答案】C ‎【解析】由函数的表达式可知，函数的定义域应满足条件：，，解之得，，，即函数的定义域为，故选C．‎ ‎（7）【2015年湖北，文7，5分】设，定义符号函数，则（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【答案】D ‎【解析】对于选项A，右边，而左边，显然不正确；对于选项B，右边，而左边，显然不正确；对于选项C，右边，而左边，显然不正确；对于选项D，右边，而左边，显然正确，故选D．‎ ‎（8）【2015年湖北，文8，5分】在区间上随机取两个数，记为事件“”的概率，为事件 ‎“” 的概率，则（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【答案】B ‎【解析】由题意知，事件“”的概率为，事件“”的概率 ‎ ‎，其中，，所以 ‎，故选B．‎ ‎（9）【2015年湖北，文9，5分】将离心率为的双曲线的实半轴长和虚半轴长同时增加 个单位长度，得到离心率为的双曲线，则（ ）‎ ‎（A）对任意的， （B）当时，；当时， ‎ ‎（C）对任意的， （D）当时，；当时，‎ ‎【答案】D ‎【解析】依题意，，，‎ 因为，由于，，，‎ 当时，，，，，所以；‎ 当时，，，而，所以，所以．‎ 所以当时，，当时，，故选D．‎ ‎（10）【2015年湖北，文10，5分】已知集合，，定义集合，则中元素的个数为（ ）‎ ‎（A）77 （B）49 （C）45 （D）30‎ ‎【答案】C ‎【解析】因为集合，所以集合中有9个元素（即9个点），即、 ‎ 图中圆中的整点，集合 中有25个元素（即25个点）： ‎ 即图中正方形中的整点，集合 的元素可看作正方形中的整点（除去四个顶点），即个，故选C．‎ 二、填空题：共7小题，每小题5分，共35分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上答错位置，书写不清，模棱两可均不得分．‎ ‎（11）【2015年湖北，文11，5分】已知向量，，则 ．‎ ‎【答案】9‎ ‎【解析】因为，，．‎ ‎（12）【2015年湖北，文12，5分】若变量满足约束条件 则 的最大值是 ．‎ ‎【答案】10‎ ‎【解析】首先根据题意所给的约束条件画出其表示的平面区域如下图所示，然后 ‎ 根据图像可得: 目标函数过点取得最大值，即 ‎，故应填10．‎ ‎（13）【2015年湖北，文13，5分】函数的零点个数为 ．‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】函数的零点个数等价于方程 的根的个数，即函数与的 图像交点个数．于是，分别画出其函数图像如下图所示，由图可知，函数 与的图像有2个交点．‎ ‎（14）【2015年湖北，文14，5分】某电子商务公司对10000名网络购物者2014年度的消费情况进行统计，发现消费金额（单位：万元）都在区间内，其频率分布直方图如图所示． ‎ ‎ （Ⅰ）直方图中的_________；‎ ‎ （Ⅱ）在这些购物者中，消费金额在区间内的购物者的人数为_________． ‎ ‎【答案】（Ⅰ）3；（Ⅱ）6000‎ ‎【解析】由频率分布直方图及频率和等于1可得 ‎，解之 的．于是消费金额在区间内频率为，所以消费金 额在区间内的购物者的人数为：．‎ ‎（15）【2015年湖北，文15，5分】如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到处时测得公路北侧一山顶D在西偏北的方向上，行驶‎600m后到达处，测得此山顶在西偏北的方向上，仰角为，则此山的高度 m．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】依题意，，，在中，由，‎ 所以，因为，由正弦定理可得，即m，在中，‎ 因为，，所以，所以m．‎ ‎（16）【2015年湖北，文16，5分】如图，已知圆与轴相切于点，与轴正半轴 交于两点A，B（B在A的上方），且． ‎ ‎ （Ⅰ）圆的标准方程为_________；‎ ‎ （Ⅱ）圆在点处的切线在轴上的截距为_________．‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）‎ ‎【解析】（Ⅰ）设点的坐标为，则由圆与轴相切于点知，点的横坐标为，即，半 径．又因为，所以，即，所以圆的标准方程为 ‎．‎ ‎（Ⅱ）令得：．设圆在点处的切线方程为，则圆心到其距离为：‎ ‎，解之得．即圆在点处的切线方程为，于是令 可得，即圆在点处的切线在轴上的截距为．‎ ‎（17）【2015年湖北，文17，5分】a为实数，函数在区间上的最大值记为． 当_________时，的值最小．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】解法一：‎ 因为函数，所以分以下几种情况进行讨论：①当时，函数 在区间上单调递增，所以；②当时，此时，，而，所以；③当时，．综上可知，，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，所以当时，的值最小．‎ 解法二：‎ ‎①，；②，；‎ ‎③，；④，；‎ 综上所述，当时，取到最小值．‎ 三、解答题：共5题，共65分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．‎ ‎（18）【2015年湖北，文18，12分】某同学用“五点法”画函数在某一个周期 内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：‎ ‎0‎ ‎0‎ ‎5‎ ‎0‎ ‎（Ⅰ）请将上表数据补充完整，填写在答题卡上相应位置，并直接写出函数的解析式；‎ ‎（Ⅱ）将图象上所有点向左平行移动个单位长度，得到的图象． 求的图象离原点O最近的对称中心．‎ 解：（Ⅰ）根据表中已知数据，解得． 数据补全如下表：‎ ‎0‎ ‎0‎ ‎5‎ ‎0‎ ‎0‎ 且函数表达式为． ‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，因此 ．‎ 因为的对称中心为，． 令，解得，．‎ 即图象的对称中心为，，其中离原点O最近的对称中心为．‎ ‎（19）【2015年湖北，文19，12分】设等差数列的公差为前n项和为，等比数列的公比为q．已知 ‎，，，．‎ ‎（Ⅰ）求数列，的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）当时，记，求数列的前n项和．‎ 解：（Ⅰ）由题意知：，即，解得或，故或 ‎．‎ ‎（Ⅱ）由，知，，故，‎ 于是 ① ② ‎ 由①-②可得，故．‎ ‎（20）【2015年湖北，文20，13分】《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的 四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．如图，在阳马 中，侧棱底面，且，点是的中点，连接．‎ ‎（Ⅰ）证明：平面． 试判断四面体是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直 角（只需写出结论）；若不是，请说明理由；‎ ‎（Ⅱ）记阳马的体积为，四面体的体积为，求的值．‎ 解：（Ⅰ）因为底面，所以． 由底面为长方形，有，而，‎ 所以平面． 平面，所以． 又因为，点是的中点，‎ 所以． 而，所以平面． ‎ 由平面，平面，可知四面体的四个面都是直角三角形，‎ 即四面体是一个鳖臑，其四个面的直角分别是 ‎ ‎（Ⅱ）由已知，是阳马的高，所以；‎ 由（Ⅰ）知，是鳖臑的高， ，所以．‎ 在△中，因为，点是的中点，所以，‎ 于是 ‎ ‎（21）【2015年湖北，文21，14分】设函数，的定义域均为，且是奇函数，是偶函数，，其中为自然对数的底数．‎ ‎（Ⅰ）求，的解析式，并证明：当时，，；‎ ‎（Ⅱ）设，，证明：当时，．‎ 解：（Ⅰ）由, 的奇偶性及， ① ②‎ 联立①②解得，．当时，，，故 ③‎ 又由基本不等式，有，即 ④ ‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）得 ， ⑤‎ ‎ ， ⑥‎ 当时，等价于， ⑦‎ ‎ 等价于 ⑧‎ 设函数 ，‎ 由⑤⑥，有 ‎ 当时，‎ ‎（1）若，由③④，得，故在上为增函数，从而，‎ 即，故⑦成立．‎ ‎（2）若，由③④，得，故在上为减函数，从而，‎ 即，故⑧成立．‎ 综合⑦⑧，得 ． ‎ ‎（22）【2015年湖北，文22，14分】一种作图工具如图1所示．是滑槽的中点，短杆ON可绕O转动，长杆MN通过N处铰链与ON连接，MN上的栓子D可沿滑槽AB滑动，且，．当栓子D在滑槽AB内作往复运动时，带动N绕转动一周（D不动时，N也不动），M处的笔尖画出的曲线记为C．以为原点，所在的直线为轴建立如图2所示的平面直角坐标系．‎ ‎（Ⅰ）求曲线C的方程；‎ ‎（Ⅱ）设动直线与两定直线和分别交于 两点．若直线总与曲线有且只有一个公共点，试探究： ‎ ‎△OPQ的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若 不存在，说明理由．‎ 解：（Ⅰ）设点，，依题意，‎ ‎，且，‎ 所以，且 即且 由于当点不动时，点 也不动，所以不恒等于0，于是，故，‎ 代入，可得，即所求的曲线的方程为 ‎（Ⅱ）（1）当直线的斜率不存在时，直线为或，都有． ‎ ‎（2）当直线的斜率存在时，设直线，由 消去，可得．因为直线总与椭圆有且只有一个公共点，‎ 所以，即． ①‎ 又由 可得；同理可得．‎ 由原点到直线的距离为和，可得 ‎． ②‎ 将①代入②得，． ‎ 当时，；‎ 当时，．‎ 因，则，，所以，‎ 当且仅当时取等号．所以当时，的最小值为8．‎ 综合（1）（2）可知，当直线与椭圆在四个顶点处相切时，△OPQ的面积取得最小值8．‎