浙江省杭州市高考数学二模试卷理含解析

浙江省杭州市高考数学二模试卷理含解析

‎2015年浙江省杭州市高 考数学二模试卷（理科）‎ ‎1．下列函数中，既是偶函数又在（0，+∞）单调递增的是（　　）‎ ‎　 A． B． y=cosx C． y=ex D． y=ln|x|　‎ ‎2．命题“存在x0∈R，2x0≤‎0”‎的否定是（　　）‎ ‎　 A． 不存在x0∈R，2x0＞0 B． 存在x0∈R，2x0≥0‎ ‎　 C． 对任意的x∈R，2x＜0 D． 对任意的x∈R，2x＞0‎ ‎3．设等比数列{an}的各项均为正数，若+=+，+=+，则a‎1a5=（　　）‎ ‎　 A． 24 B． ‎8 C． 8 D． 16‎ ‎4．设函数y=sinax+b（a＞0）的图象如图所示，则函数y=loga（x+b）的图象可能是（　　）‎ ‎　 A． B． C． D． ‎ ‎6．已知ABC﹣A1B‎1C1是所有棱长均相等的直三棱柱，M是B‎1C1的中点，则下列命题正确的是（　　）‎ ‎　 A． 在棱AB上存在点N，使MN与平面ABC所成的角为45°‎ ‎　 B． 在棱AA1上存在点N，使MN与平面BCC1B1所成的角为45°‎ ‎　 C． 在棱AC上存在点N，使MN与AB1平行 ‎　 D． 在棱BC上存在点N，使MN与AB1垂直 ‎7．设P是双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）右支上的任意一点，已知A（a，b），B（a，﹣b），若=λ+μ（O为坐标原点），则λ2+μ2的最小值为（　　）‎ ‎　 A． ab B． C． ab D． ‎ ‎8．设f0（x）=|x|﹣10，fn（x）=|fn﹣1（x）|﹣1（n∈N*），则函数y=f20（x）的零点个数为（　　）‎ ‎　 A． 19 B． ‎20 C． 21 D． 22‎ 二、填空题（本大题共7小题，第9-12题每小题6分，第13-15题每题4分，共36分）‎ ‎9．设集合{（x，y）|（x﹣1）2+（y﹣2）2≤10}所表示的区域为A，过原点O的直线l将A分成两部分，当这两部分面积相等时，直线l的方程为　　　　　　；当这两部分面积之差最大时，直线l的方程为　　　　　　，此时直线l落在区域A内的线段长为　　　　　　．‎ ‎　‎ ‎10．若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体中最长的棱长等于　　　　　　，体积等于　　　　　　．‎ ‎　‎ ‎11．设直线l：y=kx+1经过抛物线x2=2py（p＞0）的焦点F，则p=　　　　　　；已知Q，M分别是抛物线及其准线上的点，若=2，则|MF|=　　　　　　．‎ ‎　‎ ‎12．设非负实数x，y满足（m＜0），则不等式所表示的区域的面积等于　　　　　　（用m表示）；若z=2x﹣y的最大值与最小值之和为19，则实数m=　　　　　　．‎ ‎　‎ ‎13．在正四面体ABCD中，M是AB的中点，N是棱CD上的一个动点，若直线MN与BD所成的角为α，则cosα的取值范围是　　　　　　．‎ ‎　‎ ‎14．在△ABC中，||=3，||=5，M是BC的中点，=λ（λ∈R），若=+，则△ABC的面积为　　　　　　．‎ ‎15．已知单位正方形的四个顶点A（0，0），B（1，0），C（1，1）和D（0，1），从A点向边CD上的点P（，1）发出一束光线，这束光线被正方形各边反射（入射角等于反射角），直到经过正方形某个顶点后射出，则这束光线在正方形内经过的路程长度为　　　　　　．‎ ‎　‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共5小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）‎ ‎16．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知c=6，sinA﹣sinC=sin（A﹣B）．‎ ‎（Ⅰ）若b=2，求△ABC的面积；‎ ‎（Ⅱ）若1≤a≤6，求sinC的取值范围．‎ ‎　‎ ‎18．已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左焦点为F（﹣c，0），点D（0，b），直线DF的斜率为．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆C的离心率； ‎ ‎（Ⅱ）设过点F的直线交椭圆于A，B两点，过点P（﹣‎4c，0）作与直线AB的倾斜角互补的直线l，交椭圆C于M，N两点，问：是否为定值，若是，求出此定值，若不是，说明理由．‎ ‎　‎ ‎20．设a＞0，b＞0，函数f（x）=ax2﹣bx﹣a+b．‎ ‎（Ⅰ）（i）求不等式f（x）＜f（1）的解集；‎ ‎ （ii）若f（x）在[0，1]上的最大值为b﹣a，求的取值范围；‎ ‎（Ⅱ）当x∈[0，m]时，对任意的正实数a，b，不等式f（x）≤（x+1）|2b﹣a|恒成立，求实数m的最大值．‎ ‎　‎ ‎　‎ ‎2015年浙江省杭州市高考数学二模试卷（理科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）‎ ‎1．下列函数中，既是偶函数又在（0，+∞）单调递增的是（　　）‎ ‎　 A． B． y=cosx C． y=ex D． y=ln|x|‎ 考点： 函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断．‎ 专题： 函数的性质及应用．‎ 分析： 根据函数的单调性、奇偶性的定义逐项判断即可．‎ 解答： 解：y=在（0，+∞）上递增，但不具有奇偶性，排除A；‎ y=cosx为偶函数，但在（0，+∞）上不单调，排除B；‎ y=ex在（0，+∞）上递增，但不具有奇偶性，排除C；‎ y=ln|x|的定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），关于原点对称，‎ 且ln|﹣x|=ln|x|，故y=ln|x|为偶函数，‎ 当x＞0时，y=ln|x|=lnx，在（0，+∞）上递增，‎ 故选D．‎ 点评： 本题考查函数的奇偶性、单调性的判断，属基础题，定义是解决问题的基本方法．‎ ‎　‎ ‎2．命题“存在x0∈R，2x0≤‎0”‎的否定是（　　）‎ ‎　 A． 不存在x0∈R，2x0＞0 B． 存在x0∈R，2x0≥0‎ ‎　 C． 对任意的x∈R，2x＜0 D． 对任意的x∈R，2x＞0‎ 考点： 命题的否定．‎ 专题： 简易逻辑．‎ 分析： 直接利用特称命题的否定是全称命题，写出结果即可．‎ 解答： 解：因为特称命题的否定是全称命题，‎ 所以命题“存在x0∈R，2x0≤‎0”‎的否定是：对任意的x∈R，2x＞0．‎ 故选：D．‎ 点评： 本题考查命题的否定，全称命题与特称命题的否定关系，基本知识的考查．‎ ‎　‎ ‎3．设等比数列{an}的各项均为正数，若+=+，+=+，则a‎1a5=（　　）‎ ‎　 A． 24 B． ‎8 C． 8 D． 16‎ 考点： 等比数列的通项公式．‎ 专题： 等差数列与等比数列．‎ 分析： 化简整理利用等比数列的通项公式即可得出．‎ 解答： 解：∵+=+，‎ ‎∴，‎ ‎∵等比数列{an}的各项均为正数，‎ ‎∴a‎1a2=4，‎ 同理可得：a‎3a4=16．‎ ‎∴q4=4，解得，．‎ 则a‎1a5==4q3=8．‎ 故选：C．‎ 点评： 本题考查了等比数列的通项公式，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎4．设函数y=sinax+b（a＞0）的图象如图所示，则函数y=loga（x+b）的图象可能是（　　）‎ ‎　 A． B． C． D． ‎ 考点： 正弦函数的图象．‎ 专题： 三角函数的图像与性质．‎ 分析： 根据条件求出a、b的范围，可得函数y=loga（x+b）的单调性以及图象经过的定点，结合所给的选项得出结论．‎ 解答： 解：有函数的图象可得0＜b＜1，=＞2π﹣π，∴0＜a＜1．‎ 故函数y=loga（x+b）为减函数，且图象经过点（1﹣b，0），（0，logab），logab＞0．‎ 结合所给的选项，‎ 故选：C．‎ 点评： 本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象特征，对数函数的图象和性质，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎5．设平行于y轴的直线分别与函数y1=log2x及y2=log2x+2的图象交于B，C两点，点A（m，n）位于函数y2的图象上，若△ABC为正三角形，则m•2n=（　　）‎ ‎　 A． 8 B． ‎12 C． 12 D． 15‎ 考点： 函数的图象．‎ 专题： 函数的性质及应用．‎ 分析： 根据题意，设出A、B、C的坐标，由线段BC∥y轴，△ABC是等边三角形，得出AB、AC与BC的关系，求出p、q的值，计算出结果 解答： 解：根据题意，设A（m，n），B（x0，log2x0），C（x0，2+log2x0），‎ ‎∵线段BC∥y轴，△ABC是等边三角形，‎ ‎∴BC=2，2+log‎2m=n，‎ ‎∴m=2n﹣2，‎ ‎∴‎4m=2n；‎ 又x0﹣m=，‎ ‎∴m=x0﹣，‎ ‎∴x0=m+；‎ 又2+log2x0﹣n=1，‎ ‎∴log2x0=n﹣1，x0=2n﹣1=；‎ ‎∴m+=；‎2m+2=2n=‎4m，‎ ‎∴m=，2n=4；‎ ‎∴m•2n=×4=12；‎ 故选：B 点评： 本题考查了指数函数与对数函数的图象与性质的应用问题，也考查了指数，对数的运算问题，是较难的题目．‎ ‎　‎ ‎6．已知ABC﹣A1B‎1C1是所有棱长均相等的直三棱柱，M是B‎1C1的中点，则下列命题正确的是（　　）‎ ‎　 A． 在棱AB上存在点N，使MN与平面ABC所成的角为45°‎ ‎　 B． 在棱AA1上存在点N，使MN与平面BCC1B1所成的角为45°‎ ‎　 C． 在棱AC上存在点N，使MN与AB1平行 ‎　 D． 在棱BC上存在点N，使MN与AB1垂直 考点： 棱柱的结构特征．‎ 专题： 空间位置关系与距离．‎ 分析： 根据题意画出图形，如图所示，连接A‎1M，AM，根据直三棱柱得到侧棱与底面垂直，在直角三角形AA‎1M中，利用锐角三角函数定义求出tan∠AMA1的值，判断出∠AMA1与45°大小判断即可．‎ 解答： 解：根据题意画出图形，如图所示，连接A‎1M，AM，‎ 由题意得到AA1⊥面A1B‎1C1，‎ ‎∴AA1⊥A‎1M，‎ 在Rt△AA‎1M中，设AA1=1，则有A1B1=A‎1C1=B‎1C1=1，A‎1M=，‎ ‎∴tan∠AMA1==＞1，‎ ‎∴∠AMA1＞45°，‎ 则在棱AA1上存在点N，使MN与平面BCC1B1所成的角为45°，‎ 故选：B．‎ 点评： 此题考查了棱柱的结构特征，直线与面垂直的性质，锐角三角函数定义，以及正弦函数的性质，熟练掌握性质是解本题的关键．‎ ‎　‎ ‎7．设P是双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）右支上的任意一点，已知A（a，b），B（a，﹣b），若=λ+μ（O为坐标原点），则λ2+μ2的最小值为（　　）‎ ‎　 A． ab B． C． ab D． ‎ 考点： 双曲线的简单性质．‎ 专题： 综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．‎ 分析： 确定A，B的坐标，根据=λ+μ，确定坐标之间的关系，可得4λμ=1，利用基本不等式，即可得出结论．‎ 解答： 解：由题意，设P（x，y），则 ‎∵=λ+μ，‎ ‎∴x=（λ+μ）a，y=（λ﹣μ）b ‎∵P为双曲线C右支上的任意一点，‎ ‎∴（λ+μ）2﹣（λ﹣μ）2=1‎ ‎∴4λμ=1‎ ‎∴λ2+μ2≥2λμ=‎ ‎∴λ2+μ2的最小值为．‎ 故选：D．‎ 点评： 本题考查向量知识的运用，考查基本不等式的运用，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎8．设f0（x）=|x|﹣10，fn（x）=|fn﹣1（x）|﹣1（n∈N*），则函数y=f20（x）的零点个数为（　　）‎ ‎　 A． 19 B． ‎20 C． 21 D． 22‎ 考点： 根的存在性及根的个数判断；函数零点的判定定理．‎ 专题： 函数的性质及应用．‎ 分析： 令fn（x）=|fn﹣1（x）|﹣1=0，则|fn﹣1（x）|=1，问题转化为方程|fn﹣1（x）|=1的根的个数，依次递推下去即得结果．‎ 解答： 解：令fn（x）=|fn﹣1（x）|﹣1=0，则|fn﹣1（x）|=1，‎ 即方程fn（x）=0有两个解fn﹣1（x）=±1；‎ 又∵fn﹣1（x）=|fn﹣2（x）|﹣1=±1，∴|fn﹣2（x）|=0或者2，‎ 所以方程fn（x）=0有3个解：fn﹣2（x）=0或±2；‎ 又∵fn﹣2（x）=|fn﹣3（x）|﹣1=0或±2，∴|fn﹣3（x）|=1或3，‎ 所以方程fn（x）=0有4个解：fn﹣3（x）=±1或±3；‎ 又∵fn﹣3（x）=|fn﹣4（x）|﹣1=±1或±3，‎ ‎∴方程fn（x）=0有5个解：fn﹣4（x）=0，±2或±4；‎ 又∵fn﹣4（x）=|fn﹣5（x）|﹣1=0，±2或±4，‎ ‎∴方程fn（x）=0有6个解：fn﹣5（x）=±1，±3或±5；‎ 又∵fn﹣5（x）=|fn﹣6（x）|﹣1=±1，±3或±5，‎ ‎∴方程fn（x）=0有7个解：fn﹣6（x）=0，±2，±4或±6；‎ ‎…‎ 类似地，最终得出方程fn（x）=0有n+1个解，‎ 从而函数y=f20（x）=0有21个解，‎ 故选：C．‎ 点评： 本题考查求函数零点的个数，注意条件中的递推关系，属于中档题．‎ ‎　‎ 二、填空题（本大题共7小题，第9-12题每小题6分，第13-15题每题4分，共36分）‎ ‎9．设集合{（x，y）|（x﹣1）2+（y﹣2）2≤10}所表示的区域为A，过原点O的直线l将A分成两部分，当这两部分面积相等时，直线l的方程为　2x﹣y=0　；当这两部分面积之差最大时，直线l的方程为　x+2y=0　，此时直线l落在区域A内的线段长为　2　．‎ 考点： 简单线性规划．‎ 专题： 计算题；作图题；不等式的解法及应用；直线与圆．‎ 分析： 作出集合{（x，y）|（x﹣1）2+（y﹣2）2≤10}表示的区域A，再结合直线与圆的位置关系确定直线的方程，并求线段的长度即可．‎ 解答： 解：集合{（x，y）|（x﹣1）2+（y﹣2）2≤10}表示的区域A如下，‎ 故过圆心E（1，2）时，两部分面积相等；‎ 此时直线l的方程为y=x，‎ 即2x﹣y=0；‎ 当直线l与OE垂直时，两部分面积之差最大；‎ 此时直线l的方程为y=﹣x；‎ 即x+2y=0；‎ 此时与圆相交于C、D两点，‎ CO==；‎ 故CD=2；‎ 故答案为：2x﹣y=0，x+2y=0，2．‎ 点评： 本题考查了学生的作图能力，同时考查了直线与圆的位置关系的应用，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎10．若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体中最长的棱长等于　　，体积等于　　．‎ 考点： 由三视图求面积、体积．‎ 专题： 空间位置关系与距离．‎ 分析： 可以得出空间几何体是如下图：面PAD⊥面ABCD，PA⊥面ABCD，DC⊥AD，是 四棱锥，运用空间几何体的性质，求解边长，面积体积，计算准确，可以得出答案．‎ 解答： 解：某几何体的三视图如图所示 可以得出空间几何体是如下图：面PAD⊥面ABCD，PA⊥面ABCD，DC⊥AD，‎ PA=4，AD=1，DC=4，‎ 运用三视图得出：AC==，AB=，‎ 根据这个几何体得出：PB==，PC==，PD==，‎ ‎∴这个几何体中最长的棱长等于，‎ 底面积为：4×2=5‎ 体积为：（4×2×1×2）×4=‎ 故答案为：，．‎ 点评： 本题考查了运用几何体的三视图求解棱长，体积，属于计算题，关键是运用三视图恢复空间几何体的原图．‎ ‎　‎ ‎11．设直线l：y=kx+1经过抛物线x2=2py（p＞0）的焦点F，则p=　2　；已知Q，M分别是抛物线及其准线上的点，若=2，则|MF|=　4　．‎ 考点： 抛物线的简单性质．‎ 专题： 圆锥曲线的定义、性质与方程．‎ 分析： 由直线方程求出直线所过定点的坐标，从而得到抛物线的焦点坐标，则p可求；作出抛物线图形，数形结合得到|MF|=2p，则答案可求．‎ 解答： 解：∵直线l：y=kx+1过定点（0，1），即抛物线x2=2py（p＞0）的焦点F为（0，1），‎ ‎∴，则p=2；‎ 则抛物线方程为x2=4y，如图，‎ ‎∵=2，‎ ‎∴|MQ|=2|QE|，则∠EMQ=30°，‎ ‎∴|MF|=2p=4．‎ 故答案为：2；4．‎ 点评： 本题考查了抛物线的简单性质，考查了数形结合的解题思想方法和数学转化思想方法，是中档题．‎ ‎　‎ ‎12．设非负实数x，y满足（m＜0），则不等式所表示的区域的面积等于　　（用m表示）；若z=2x﹣y的最大值与最小值之和为19，则实数m=　﹣10　．‎ 考点： 简单线性规划．‎ 专题： 不等式的解法及应用．‎ 分析： 作出不等式组对应的平面区域，求出交点坐标，利用数形结合即可得到结论．‎ 解答： 解：作出不等式组对应的平面区域如图：‎ 当y=0时，x=﹣m，‎ 由，解得，即A（，﹣），‎ 则三角形OAB的面积S=（﹣m）（﹣）=，‎ 由z=2x﹣y得y=2x﹣z，‎ 平移直线y=2x﹣z，由图象可知当直线y=2x﹣z经过点A（，﹣）时，直线y=2x﹣z的截距最大，此时z最小．即最小值z=2×（）﹣（﹣）=，‎ 当直线y=2x﹣z经过点B（﹣m，0）时，直线y=2x﹣z的截距最小，此时z最大，‎ 即最大值z=﹣‎2m，‎ ‎∵z=2x﹣y的最大值与最小值之和为19，‎ ‎∴﹣‎2m+=19，‎ 即m=﹣10．‎ 故答案为：，﹣10．‎ 点评： 本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合求出相应的交点坐标是解决本题的关键．‎ ‎　‎ ‎13．在正四面体ABCD中，M是AB的中点，N是棱CD上的一个动点，若直线MN与BD所成的角为α，则cosα的取值范围是　[]　．‎ 考点： 直线与平面所成的角．‎ 专题： 空间角．‎ 分析： 首先①当N点与C点重合时，线段MN与BD所成的角最大，进一步利用解三角形知识利用余弦定理求出角的余弦值．‎ ‎②当N点与C点重合时，线段MN与BD所成的角最大，直接在△MBD中，线段MD与BD所成角为30°，求出夹角的余弦值．最后求出角的余弦值的范围．‎ 解答： 解：在正四面体ABCD中，M是AB的中点，N是棱CD上的一个动点，‎ 则：①当N点与C点重合时，线段MN与BD所成的角最大，‎ 设：正四面体的边长为2，‎ 取AD的中点，连接MN、NG，‎ 利用勾股定理得：CM=，‎ M、G是AB和AD的中点，所以：MG=1，‎ 同理解得：CG=，‎ 在△CMG中，利用余弦定理得：，‎ 即：所成角的余弦值最小为．‎ ‎②当N点与C点重合时，线段MN与BD所成的角最大，‎ 连接DM，在△MBD中，线段MD与BD所成角为30°，‎ 所以：cos，‎ 即所成角的余弦值最大为．‎ 所以：cosα的范围为：[]．‎ 故答案为：[]‎ 点评： 本题考查的知识要点：异面直线的夹角的应用，余弦定理的应用，主要考查学生的应用能力和空间想象能力．‎ ‎　‎ ‎14．在△ABC中，||=3，||=5，M是BC的中点，=λ（λ∈R），若=+，则△ABC的面积为　　．‎ 考点： 平面向量的基本定理及其意义．‎ 专题： 平面向量及应用．‎ 分析： 在△ABC的顶点A作边BC的垂线BO，垂足为O，这样可表示出cosB=，cosC=，从而得到，而根据已知条件及中线向量的表示即可得到，所以便得出O是BC的中点，即M，O重合．所以在Rt△ABM中可以求出sinB，所以根据三角形的面积公式可求出△ABC的面积．‎ 解答： 解：如图所示，过A作边BC的垂线，垂足为O，则：‎ cosB=，cosC=；‎ ‎∴；‎ 根据题意知λ≠0；‎ ‎∴；‎ ‎∴；‎ ‎∴；‎ 即O是边BC的中点，M与O重合；‎ ‎∴在Rt△ABM中，；‎ ‎∴；‎ ‎∴．‎ 故答案为：．‎ 点评： 考查余弦函数的定义，向量加法的平行四边形法则，以及直角三角形三边的关系，三角形的面积公式：S=．‎ ‎　‎ ‎15．已知单位正方形的四个顶点A（0，0），B（1，0），C（1，1）和D（0，1），从A点向边CD上的点P（，1）发出一束光线，这束光线被正方形各边反射（入射角等于反射角），直到经过正方形某个顶点后射出，则这束光线在正方形内经过的路程长度为　5　．‎ 分析： 由题意，画出图形，根据入射光线和反射光线的对称性以及正方形的性质得到I，J的坐标，利用两点之间的距离公式可得．‎ 解答： 解：从A点向边CD上的点P（，1）发出一束光线，经过各边发射后最后由B点射出，如图，‎ 因为已知是单位正方形，这束光线在正方形内经过的路程如图，‎ 由对称性可以得到OP=FI=HE=FJ=，‎ 所以这束光线在正方形内经过的路程的长度为=5；‎ 故答案为：5．‎ 点评： 本题考查了点关于直线的对称以及两点之间的距离公式的运用；关键是画出图形．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共5小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）‎ ‎16．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知c=6，sinA﹣sinC=sin（A﹣B）．‎ ‎（Ⅰ）若b=2，求△ABC的面积；‎ ‎（Ⅱ）若1≤a≤6，求sinC的取值范围．‎ 解答： 解：（Ⅰ）∵sinA﹣sinC=sin（A﹣B），‎ ‎∴sinA=sinC+sin（A﹣B）=sin（A+B）+sin（A﹣B）‎ ‎=sinAcosB+cosAsinB+sinAcosB﹣cosAsinB=2sinAcosB，‎ ‎∴cosB=，‎ 由余弦定理可得（2）2=a2+62﹣12acos，即a2﹣‎6a+8=0，‎ 解得a=2或a=4．‎ 当a=2时，△ABC的面积S=acsinB=×2×6sin=3；‎ 当a=4时，△ABC的面积S=acsinB=×4×6sin=6；…8分 ‎（Ⅱ）当a=3∈[1，6]时，sinC=1，‎ 当a=1时，b2=a2+c2﹣2accosB=1+36﹣2×=31，‎ ‎∴b=，‎ 于是，从而：sinC=，‎ 当a=6时，△ABC为等边三角形，则sinC=，因为，‎ 从而得到sinC的取值范围是：[，1]…15分．‎ ‎18．已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左焦点为F（﹣c，0），点D（0，b），直线DF的斜率为．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆C的离心率；‎ ‎（Ⅱ）设过点F的直线交椭圆于A，B两点，过点P（﹣‎4c，0）作与直线AB的倾斜角互补的直线l，交椭圆C于M，N两点，问：是否为定值，若是，求出此定值，若不是，说明理由．‎ 分析： （Ⅰ）运用直线的斜率公式和离心率公式，结合a，b，c的关系，即可得到；‎ ‎（Ⅱ）设直线AB：x=ty﹣c，直线MN：x=﹣ty﹣‎4c，设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4），将直线方程分别代入椭圆方程，运用韦达定理，再由两点的距离公式，化简整理，即可得到定值．‎ 解答： 解：（Ⅰ）由题意可得，kDF==，a==‎2c，‎ 则椭圆的离心率为e==；‎ ‎（Ⅱ）设直线AB：x=ty﹣c，直线MN：x=﹣ty﹣‎4c，‎ 设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4），‎ 将直线x=ty﹣c代入椭圆方程+=1，可得 ‎（3t2+4）y2﹣6tcy﹣‎9c2=0，‎ 则y1y2=﹣，‎ 再将直线x=﹣ty﹣‎4c代入椭圆方程+=1，可得 ‎（3t2+4）y2+24tcy+‎36c2=0，‎ 则y3y4=，‎ 即有=‎ ‎===．‎ 故为定值．‎ 点评： 本题考查椭圆的方程和性质，主要是离心率的运用，同时考查直线方程和椭圆方程联立，运用韦达定理，以及两点的距离公式的运用，正确设出直线方程是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎19．数列{an}与{bn}满足：①a1=a＜0，b1=b＞0，②当k≥2时，若ak﹣1+bk﹣1≥0，则ak=ak﹣1，bk=；若ak﹣1+bk﹣1＜0，则ak=，bk=bk﹣1．‎ ‎（Ⅰ）若a=﹣1，b=1，求a2，b2，a3，b3的值；‎ ‎（Ⅱ）设Sn=（b1﹣a1）+（b2﹣a2）+…+（bn﹣an），求Sn（用a，b表示）；‎ ‎（Ⅲ）若存在n∈N*，对任意正整数k，当2≤k≤n时，恒有bk﹣1＞bk，求n的最大值（用a，b表示）．‎ ‎（Ⅱ）分情况计算bk﹣ak，得{bk﹣ak}是以b1﹣a1=b﹣a为首项，为公比的等比数列，从而可得Sn；‎ ‎（Ⅲ）由bk﹣1＞bk，数列{an}与{bn}满足的关系倒推出对任意正整数k，当2≤k≤n时，恒有ak=a，结合（Ⅱ）知，解之即可．‎ 解答： 解：（Ⅰ）a2=﹣1，b2=0，a3=，b3=0；‎ ‎（Ⅱ）∵=，=，‎ ‎∴无论是ak﹣1+bk﹣1≥0，还是ak﹣1+bk﹣1＜0，都有bk﹣ak=，‎ 即{bk﹣ak}是以b1﹣a1=b﹣a为首项，为公比的等比数列，‎ 所以Sn=（b1﹣a1）+（b2﹣a2）+…+（bn﹣an）=；‎ ‎（Ⅲ）∵bk﹣1＞bk，及数列{an}与{bn}满足的关系，‎ ‎∴ak﹣1+bk﹣1≥0，∴ak=ak﹣1，‎ 即对任意正整数k，当2≤k≤n时，恒有ak=a，‎ 由（Ⅱ）知bk﹣ak=，∴bk=a+，‎ 所以ak﹣1+bk﹣1=，解得，‎ 所以n的最大值为不超过的最大整数．‎ ‎20．设a＞0，b＞0，函数f（x）=ax2﹣bx﹣a+b．‎ ‎（Ⅰ）（i）求不等式f（x）＜f（1）的解集；‎ ‎ （ii）若f（x）在[0，1]上的最大值为b﹣a，求的取值范围；‎ ‎（Ⅱ）当x∈[0，m]时，对任意的正实数a，b，不等式f（x）≤（x+1）|2b﹣a|恒成立，求实数m的最大值．‎ 分析： （Ⅰ）（i）（x﹣1）（ax+a﹣b）＜0，分类讨论得出：当b＞‎2a时，解集为（1，），当b＜‎2a时，解集为（，1），当b=‎2a时，解集为∅‎ ‎（ii）分类得出①当0时，②当时，≥1，判断结果是不是符合题意．‎ ‎（Ⅱ）把不等式f（x）≤（x+1）|2b﹣a|，得ax2﹣（b+|2b﹣a|）x﹣a+b﹣|2b﹣a|≤0，即x2﹣（+|2﹣1|）x﹣1﹣|2﹣1|≤0，‎ 令t=，则x2﹣（t+|2t﹣1|）xt﹣1﹣|2t﹣1|≤0，当△=（t+|2t﹣1|）2﹣4（t﹣1﹣|2t﹣1|）＞0，时，求解不等式，分类讨论即可．‎ ‎（1）当t时，只需m≤恒成立．即m≤1‎ ‎2）当0时，只需要m≤=恒成立，转化为函数最值即可．‎ 解答： 解：（Ⅰ）（i）求不等式f（x）＜f（1），即f（x）＜0，‎ 即（x﹣1）（ax+a﹣b）＜0，‎ 当b＞‎2a时，解集为（1，）‎ 当b＜‎2a时，解集为（，1），‎ 当b=‎2a时，解集为∅‎ ‎（ii）∵a＞0，b＞0，∴＞0，‎ ‎①当0时，即0＜b＜a时，f（0）=b﹣a＜0=f（1），不符合题意，‎ ‎②当时，即b≥a时，f（0）=b﹣a≥0=f（1），符合题意，‎ ‎≥1，‎ ‎∴的取值范围：[1，∞）‎ ‎（Ⅱ）由不等式f（x）≤（x+1）|2b﹣a|，得ax2﹣（b+|2b﹣a|）x﹣a+b﹣|2b﹣a|≤0，‎ 则x2﹣（+|2﹣1|）x﹣1﹣|2﹣1|≤0，‎ 令t=，则x2﹣（t+|2t﹣1|）x+t﹣1﹣|2t﹣1|≤0，‎ 当△=（t+|2t﹣1|）2﹣4（t﹣1﹣|2t﹣1|）＞0，时，‎ 解得 ‎≤x≤，‎ ‎（1）当t时，≤x≤，‎ 又因为＜0，≥1，‎ 只需m≤恒成立．即m≤1‎ ‎（2）当0时，≤x≤，‎ 显然＜0，且y==在（0，）上递减，所以＞1，‎ 所以只需要m≤=恒成立，‎ 即m≤1，‎ 综上，m的最大值为1．‎ 点评： 本题综合考查了函数的性质，不等式的求解，分类讨论，利用好方程的根，与不等式解集的关系，难度较大，属于难题，关键是确定根，写解集．‎ ‎　‎