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第九章　平面解析几何第7课时　椭　 圆(2)‎ ‎1. 已知椭圆G的中心在坐标原点，长轴在x轴上，离心率为，且G上一点到G的两个焦点的距离之和为12，则椭圆G的方程为______________．‎ 答案：＋＝1‎ 解析：e＝，2a＝12，a＝6，b＝3，则所求椭圆方程为＋＝1.‎ ‎2. 已知F1、F2是椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的两个焦点，P为椭圆C上一点，且⊥.若△PF1F2的面积为9，则b＝________. ‎ 答案：3‎ 解析：依题意，有 可得4c2＋36＝4a2，即a2－c2＝9，故b＝3.‎ ‎3. 已知F是椭圆C的一个焦点，B是短轴的一个端点，线段BF的延长线交C于点D, 且＝2，则C的离心率为________．‎ 答案： 解析：(解法1)如图，|BF|＝＝a.作DD1⊥y轴于点D1，则由＝2，得＝＝，所以|DD1|＝|OF|＝c，即xD＝，由椭圆的第二定义得|FD|＝e＝a－.又由|BF|＝2|FD|，得a＝2a－，即e＝.‎ ‎(解法2)设椭圆方程为＋＝1(a＞b，b＞0)，设D(x2，y2)，F分 BD所成的比为2，xF＝x2＝xF＝c；yF＝y2＝＝＝－，代入·＋·＝1e＝.‎ ‎4. F1，F2是椭圆＋y2＝1的左右焦点，点P在椭圆上运动．则· 的最大值是________．‎ 答案：1‎ 解析：设P(x，y)，依题意得F1(－，0)，F2(，0)，·＝(－－x)(－x)＋y2＝x2＋y2－3＝x2－2.∵ 0≤x2≤4，∴ －2≤x2－2≤1.∴ ·的最大值是1.‎ ‎5. 已知F1、F2为双曲线C：x2－y2＝1的左、右焦点，点P在C上，∠F1PF2＝60°，则|PF1|·|PF2|＝________．‎ 答案：4‎ 解析：由余弦定理得 cos∠F1PF2＝ cos60°＝ ＝，‎ 即|PF1|·|PF2|＝4.‎ ‎1. 椭圆的第二定义 平面内动点P到定点F的距离和它到定直线l的距离的比是常数e(点F不在直线l上)的点的轨迹是椭圆．定点F是焦点，定直线l是准线，常数e是离心率．‎ ‎2. 椭圆的焦半径 ‎(1) 对于焦点在x轴上的椭圆＋＝1(a＞b＞0)，设P(x，y)是椭圆上任一点，则|PF1|＝a＋ex；|PF2|＝a－ex．‎ ‎(2) 对于焦点在y轴上的椭圆＋＝1(a＞b＞0)，设P(x，y)是椭圆上任一点，则|PF1|＝a＋ey；|PF2|＝a－ey.‎ 题型1　求综合情况下椭圆的基本量 例1　如图，F1、F2是椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，点M在x轴上，且＝，过点F2的直线与椭圆交于A、B两点，且AM⊥x轴，·＝0.‎ ‎(1) 求椭圆的离心率；‎ ‎(2) 若△ABF1的周长为4，求椭圆的方程．‎ 解：(1) 设F1(－c，0)，F2(c，0)，A(x0，y0)，椭圆的离心率为e，则M，x0＝c.‎ ‎∵ ＝e，∴ |AF1|＝a＋ex0.同理，|AF2|＝a－ex0.‎ ‎∵ ·＝0，∴ AF1⊥AF2，‎ ‎∴ |AF1|2＋|AF2|2＝|F1F2|2，‎ ‎∴ (a＋ex0)2＋(a－ex0)2＝4c2, 即a2＋e2x＝2c2.‎ ‎∵ x0＝c，∴ a2＋e2·c2＝2c2, ‎ ‎∴ 1＋e4＝2e2，即3e4－8e2＋4＝0，‎ ‎∴ e2＝或2(舍)，∴ 椭圆的离心率e＝.‎ ‎ (2) ∵ △ABF2的周长为4，∴ 4a＝4，‎ ‎∴ a＝.又＝，∴ c＝2, ∴ b2＝2.‎ ‎∴ 椭圆方程为＋＝1.‎ 已知椭圆的右焦点F，左、右准线分别为l1：x＝－m－1，l2：x＝m＋1，且l1、l2分别与直线y＝x相交于A、B两点．‎ ‎(1) 若离心率为，求椭圆的方程；‎ ‎(2) 当·<7时，求椭圆离心率的取值范围．‎ 解：(1) 由已知，得c＝m，＝m＋1，‎ 从而a2＝m(m＋1)，b2＝m.‎ 由e＝，得b＝c，从而m＝1.‎ 故a＝，b＝1，得所求椭圆方程为＋y2＝1.‎ ‎(2)易得A(－m－1，－m－1)，B(m＋1，m＋1)，‎ 从而＝(2m＋1，m＋1)，＝(1，m＋1)，‎ 故·＝2m＋1＋(m＋1)2＝m2＋4m＋2<7，得0b>0)的左、右顶点，椭圆长半轴的长等于焦距，且直线x＝4是它的右准线．‎ ‎(1) 求椭圆的方程；‎ ‎(2) 设P为椭圆右准线上不同于点(4，0)的任意一点，若直线BP与椭圆相交于两点B、N，求证：∠NAP为锐角．‎ ‎(1) 解：依题意，得解得从而b＝，故椭圆的方程为＋＝1 .‎ ‎(2) 证明：由(1)得A(－2，0)，B(2，0)，设N(x0，y0)，‎ ‎∵ N点在椭圆上，∴ y＝(4－x)．又N点异于顶点A、B，‎ ‎∴ －20，y0≠0，∴ ·>0，于是∠NAP为锐角．‎ 如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左焦点为F，右顶点为A，动点M 为右准线上一点(异于右准线与x轴的交点)，设线段FM交椭圆C于点P，已知椭圆C的离心率为，点M的横坐标为.‎ ‎(1) 求椭圆C的标准方程；‎ ‎(2) 设直线PA的斜率为k1，直线MA的斜率为k2，求k1·k2的取值范围．‎ 解：(1) 由已知，得解得∴ ‎∴椭圆C的标准方程为＋＝1. ‎ ‎(2) 设点P(x1，y1)(－20)在直线x＝(a为长半轴，c为半焦距)上．‎ ‎(1) 求椭圆的标准方程；‎ ‎(2) 求以OM为直径且被直线3x－4y－5＝0截得的弦长为2的圆的方程；‎ ‎(3) 设F是椭圆的右焦点，过点F作OM的垂线与以OM为直径的圆交于点N，求证：线段ON的长为定值，并求出这个定值．‎ ‎(1) 解：由点M在准线上，得＝2，故＝2，∴ c＝1，从而a＝，所以椭圆方程为＋y2＝1.‎ ‎(2) 解：以OM为直径的圆的方程为x(x－2)＋y(y－t)＝0，即(x－1)2＋＝＋1，其圆心为，半径r＝，因为以OM为直径的圆被直线3x－4y－5＝0截得的弦长为2，所以圆心到直线3x－4y－5＝0的距离d＝＝，所以＝，解得t＝4，所求圆的方程为(x－1)2＋(y－2)2＝5.‎ ‎(3) 证明：设N(x0，y0)，则＝(x0－1，y0)，＝(2，t)，＝(x0－2，y0－t)，＝(x0，y0)．‎ ‎∵ ⊥，∴ 2(x0－1)＋ty0＝0，∴ 2x0＋ty0＝2.‎ ‎∵ ⊥，∴ x0(x0－2)＋y0(y0－t)＝0，∴ x＋y＝2x0＋ty0＝2，∴ ||＝＝为定值．‎ 已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)，点A、B分别是椭圆C的左顶点和上顶点，直线AB与圆G：x2＋y2＝(c是椭圆的半焦距)相离，P是直线AB上一动点，过点P作圆G的两切线，切点分别为M、N.‎ ‎(1) 若椭圆C经过两点、，求椭圆C的方程；‎ ‎(2) 当c为定值时，求证：直线MN经过一定点E，并求·的值(O是坐标原点)；‎ ‎(3) 若存在点P使得△PMN为正三角形，试求椭圆离心率的取值范围．‎ ‎(1) 解：令椭圆mx2＋ny2＝1，其中m＝，n＝，得所以m＝，n＝，即椭圆方程为＋＝1.‎ ‎(2) 证明：直线AB：＋＝1，设点P(x0，y0)，则OP的中点为，所以点O、M、P、N所在的圆的方程为＋＝，化简为x2－x0x＋y2－y0y＝0，与圆x2＋y2＝作差，即直线MN：x0x＋y0y＝.‎ 因为点P(x0，y0)在直线AB上，得＋＝1，‎ 所以x0＋＝0，即 得x＝－，y＝，故定点E，‎ ·＝·＝.‎ ‎(3) 解：由直线AB与圆G：x2＋y2＝(c是椭圆的焦半距)相离，则＞，即4a2b2＞c2(a2＋b2)，4a2(a2－c2)＞c2(2a2－c2)，得e4－6e2＋4＞0.因为0＜e＜1，所以0＜e2＜3－　①.连结ON、OM、OP，若存在点P使△PMN为正三角形，则在Rt△OPN中，OP＝2ON＝2r＝c，所以≤c，a2b2≤c2(a2＋b2)，a2(a2－c2)≤c2(2a2－c2)，得e4－3e2＋1≤0.因为0＜e＜1，所以≤e2＜1　②.‎ 由①②得≤e2＜3－，所以≤e＜.‎ ‎【示例】(本题模拟高考评分标准，满分14分)‎ 已知曲线C：(5－m)x2＋(m－2)y2＝8(m∈R)．‎ ‎(1) 若曲线C是焦点在x轴上的椭圆，求m的取值范围；‎ ‎(2) 设m＝4，曲线C与y轴的交点为A，B(点A位于点B的上方)，直线y＝kx＋4与曲线C交于不同的两点M，N，直线y＝1与直线BM交于点G.求证：A，G，N三点共线．‎ 学生错解：解：(1) 曲线C是焦点在x轴上的椭圆，当且仅当解得2＜m＜5，所以m的取值范围是(2，5)．‎ ‎(2) 当m＝4时，曲线C的方程为x2＋2y2＝8，点A，B的坐标分别为(0，2)，(0，－2)．‎ 由得(1＋2k2)x2＋16kx＋24＝0.‎ 设点M，N的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则y1＝kx1＋4，y2＝kx2＋4，x1＋x2＝，x1x2＝.‎ 直线BM的方程为y＋2＝x，点G的坐标为.‎ 因为直线AN和直线AG的斜率分别为kAN＝，kAG＝－，所以kAN－kAG＝＋＝＋＝k＋＝k＋＝0.‎ 即kAN＝kAG.‎ 故A，G，N三点共线．‎ 审题引导： (1) 方程的曲线是焦点在x轴上的椭圆；‎ ‎(2) 证明三点共线的常用方法．‎ 规范解答： 解：(1) 曲线C是焦点在x轴上的椭圆，当且仅当(3分)‎ 解得＜m＜5，所以m的取值范围是.(4分)‎ ‎(2) 当m＝4时，曲线C的方程为x2＋2y2＝8，点A，B的坐标分别为(0，2)，(0，－2)．(5分)‎ 由得(1＋2k2)x2＋16kx＋24＝0.(6分)‎ 因为直线与曲线C交于不同的两点，所以Δ＝(16k)2－4(1＋2k2)×24＞0，即k2＞.(7分)‎ 设点M，N的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则y1＝kx1＋4，y2＝kx2＋4，‎ x1＋x2＝，x1x2＝.(8分)‎ 直线BM的方程为y＋2＝x，‎ 点G的坐标为.(9分)‎ 因为直线AN和直线AG的斜率分别为kAN＝，kAG＝－，(11分)‎ 所以kAN－kAG＝＋＝＋＝k＋＝k＋＝0.‎ 即kAN＝kAG.(13分)‎ 故A，G，N三点共线．(14分)‎ 错因分析： 易忽视焦点在x轴上，漏掉＞这一条件，从而失误．联立消元后易忽视Δ＞0这一前提条件．‎ ‎1. 已知直线l经过点(1，0)且一个方向向量d＝(1，1)．椭圆C：＋＝1(m>1)的左焦点为F1.若直线l与椭圆C交于A，B两点，满足·＝0，求实数m的值．‎ 解：由已知可得直线l的方程：y＝x－1，左焦点F1(－1，0)，设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，整理得：(2m－1)x2－2mx＋2m－m2＝0.当m>1时，Δ＝4m(2m2－4m＋2)>0恒成立．‎ 因为＝(x1＋1，y1)，＝(x2＋1，y2)，‎ 所以(x1＋1)(x2＋1)＋y1y2＝0.(*)‎ 因为y1＝x1－1，y2＝x2－1，‎ 所以(*)式化简得：x1x2＋1＝0.‎ 由此可得＋1＝0，(m>1)，由此解得m＝2＋.‎ ‎2. 如图，已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，且过点A(0，1)．‎ ‎(1) 求椭圆的方程；‎ ‎(2) 过点A作两条互相垂直的直线分别交椭圆于点M、N，求证：直线MN恒过定点P.‎ ‎(1) 解：由题意知：e＝＝，b＝1，a2－c2＝1，解得a＝2，所以椭圆的标准方程为＋y2＝1.‎ ‎(2) 证明：设直线AM的方程为y＝kx＋1(k≠0)，由方程组得(4k2＋1)x2＋8kx＝0，解得x1＝－，x2＝0，所以xM＝－，yM＝.用－代替上面的k，可得xN＝，yN＝.因为kMP＝＝＝，kNP＝＝＝，所以kMP＝kNP，因为MP、NP共点于P，所以M、N、P三点共线，故直线MN恒过定点P.‎ ‎3. 如图，在平面直角坐标系xOy中，已知F1，F2分别是椭圆E：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，A，B分别是椭圆E的左、右顶点，且＋5＝0.‎ ‎(1) 求椭圆E的离心率；‎ ‎(2) 已知点D(1，0)为线段OF2的中点，M为椭圆E上的动点(异于点A、B)，连结MF1并延长交椭圆E于点N，连结MD、ND并分别延长交椭圆E于点P、Q，连结PQ，设直线MN、PQ的斜率存在且分别为k1、k2，试问是否存在常数λ，使得k1＋λk2＝0恒成立？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．‎ 解：(1) ∵ ＋5＝0，∴ ＝5.∴ a＋c＝5(a－c)，化简得2a＝3c，故椭圆E的离心率为.‎ ‎(2) 存在满足条件的常数λ，λ＝－.点D(1，0)为线段OF2的中点，∴ c＝2，从而a＝3，b＝，左焦点F1(－2，0)，椭圆E的方程为＋＝1，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，P(x3，y3)，Q(x4，y4)，则直线MD的方程为x＝y＋1，代入椭圆方程＋＝1，整理得，y2＋y－4＝0.∵ y1＋y3＝，∴ y3＝.从而x3＝，故点P.同理，点Q.∵ 三点M、F1、N共线，∴ ＝，从而x1y2－x2y1＝2(y1－y2)．从而k2＝＝＝＝＝，故k1－＝0，从而存在满足条件的常数λ＝－.‎ ‎4. 如图，正方形ABCD内接于椭圆＋＝1(a＞b＞0)，且它的四条边与坐标轴平行，正方形MNPQ的顶点M、N在椭圆上，顶点P、Q在正方形的边AB上，且A、M都在第一象限．‎ ‎(1) 若正方形ABCD的边长为4，且与y轴交于E、F两点，正方形MNPQ的边长为2.‎ ‎① 求证：直线AM与△ABE的外接圆相切；‎ ‎② 求椭圆的标准方程；‎ ‎(2) 设椭圆的离心率为e，直线AM的斜率为k，求证：2e2－k是定值．‎ ‎(1) 证明：① 依题意：A(2，2)，M(4，1)，E(0，－2)，∴ ＝(2，－1)，＝(－2，－4)，∴ ·＝0，∴ AM⊥AE.‎ ‎∵ AE为Rt△ABE外接圆直径，∴ 直线AM与△ABE的外接圆相切．‎ ‎② 解：由解得椭圆标准方程为＋＝1.‎ ‎(2) 证明：设正方形ABCD的边长为2s，正方形MNPQ的边长为2t，则A(s，s)，M(s＋2t，t)，代入椭圆方程＋＝1，‎ 得　即 ‎∴ e2＝1－＝.‎ ‎∵ k＝＝，‎ ‎∴ 2e2－k＝2为定值．‎ ‎5. 已知椭圆＋＝1(a>b>0)的离心率为，且过点P，A为上顶点，F为右焦点．点Q(0，t)是线段OA(除端点外)上的一个动点，过Q作平行于x轴的直线交直线AP于点M，以QM为直径的圆的圆心为N.‎ ‎(1) 求椭圆方程；‎ ‎(2) 若圆N与x轴相切，求圆N的方程；‎ ‎(3) 设点R为圆N上的动点，点R到直线PF的最大距离为d，求d的取值范围．‎ 解：(1) ∵ e＝，不妨设c＝3k，a＝5k，则b＝4k，其中k>0，故椭圆方程为＋＝1(a>b>0)，∵ P在椭圆上，∴ ＋＝1，解得k＝1，∴ 椭圆方程为＋＝1.‎ ‎(2) kAP＝＝－，则直线AP的方程为y＝－x＋4，令y＝t(0b>0)经过点M(－2，－1)，离心率为.过点M作倾斜角互补的两条直线分别与椭圆C交于异于M的另外两点P、Q.‎ ‎(1) 求椭圆C的方程；‎ ‎(2) 试判断直线PQ的斜率是否为定值，证明你的结论．‎ 解：(1) 由题设，得＋＝1，①‎ 且＝，②‎ 由①、②解得a2＝6，b2＝3，‎ 故椭圆C的方程为＋＝1.‎ ‎(2) 设直线MP的斜率为k，则直线MQ的斜率为－k，‎ 假设∠PMQ为直角，则k·(－k)＝－1，即k＝±1.‎ 若k＝1，则直线MQ的方程为y＋1＝－(x＋2)，‎ 与椭圆C方程联立，得x2＋4x＋4＝0，‎ 该方程有两个相等的实数根－2，不合题意；‎ 同理，若k＝－1也不合题意．‎ 故∠PMQ不可能为直角．‎ 记P(x1，y1)、Q(x2，y2)．‎ 设直线MP的方程为y＋1＝k(x＋2)，与椭圆C的方程联立，得(1＋2k2)x2＋(8k2－4k)x＋8k2－8k－4＝0，‎ 则－2，x1是该方程的两根，则－2x1＝，‎ 即x1＝.‎ 设直线MQ的方程为y＋1＝－k(x＋2)，‎ 同理得x2＝.‎ 因y1＋1＝k(x1＋2)，y2＋1＝－k(x2＋2)，‎ 故kPQ＝＝＝ ‎＝＝1，‎ 因此直线PQ的斜率为定值．‎ ‎3. 已知椭圆＋＝1(a>b>0)的离心率e＝，连结椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4.‎ ‎(1) 求椭圆的方程；‎ ‎(2) 设直线l与椭圆相交于不同的两点A，B.已知点A的坐标为(－a，0)．若|AB|＝，求直线l的倾斜角．‎ 解：(1) 由e＝＝，解得3a2＝4c2.‎ 再由c2＝a2－b2，解得a＝2b.‎ 由题意可知×2a×2b＝4，即ab＝2.‎ 解方程组得 所以椭圆的方程为＋y2＝1.‎ ‎(2) 由(1) 可知点A(－2，0)，设点B的坐标为(x1，y1)，直线l的斜率为k，则直线l的方程为y＝k(x＋2)．‎ 于是A、B两点的坐标满足方程组 消去y并整理，得(1＋4k2)x2＋16k2x＋(16k2－4)＝0，‎ 由－2x1＝，得x1＝，从而y1＝，‎ 故|AB|＝＝.‎ 由|AB|＝，得＝.‎ 整理得32k4－9k2－23＝0，‎ 即(k2－1)(32k2＋23)＝0，解得k＝±1.‎ 所以直线l的倾斜角为或.‎ ‎4. 如图，已知△OFQ的面积为S，且·＝1.设||＝c(c≥2)，S＝c.若以O为中心，F为一个焦点的椭圆经过点Q，当||取最小值时，求椭圆的方程．‎ 解：以O为原点，所在直线为x轴建立平面直角坐标系．‎ 设椭圆方程为＋＝1(a＞b＞0)，Q(x，y)．　‎ ＝(c，0)，则＝(x－c，y)．‎ ‎∵||·y＝c，∴y＝.‎ 又∵·＝c(x－c)＝1，∴x＝c＋.‎ 则||＝＝(c≥2)．‎ 可以证明：当c≥2时，函数t＝c＋为增函数，‎ ‎∴当c＝2时，||min＝＝，‎ 此时Q.将Q的坐标代入椭圆方程，‎ 得解得∴椭圆方程为＋＝1.‎ ‎1. 解决与椭圆几何性质有关的问题时：一是要注意定义的应用；二是要注意数形结合；三是要注意－a≤x≤a，－b≤y≤b，0＜e＜1等几何性质在建立不等关系或求最值时的关键作用．2. 直线与椭圆位置关系的判断 将直线的方程和椭圆的方程联立，通过讨论此方程组的实数解的组数来确定，即用消元后的关于x(或y)的一元二次方程的判断式Δ的符号来确定：当Δ>0时，直线和椭圆相交；当Δ＝0时，直线和椭圆相切；当Δ<0时，直线和椭圆相离．‎ ‎3. 直线与椭圆相交时的常见处理方法 当直线与椭圆相交时：涉及弦长问题，常用“根与系数的关系”，设而不求计算弦长；涉及求平行弦中点的轨迹、求过定点的弦中点的轨迹和求被定点平分的弦所在的直线方程问题，常用“点差法”设而不求，将动点的坐标、弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来，相互转化