高考天津卷理科数学真题及答案

高考天津卷理科数学真题及答案

‎2018年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）‎ 数学（理工类）‎ 本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页。‎ 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题考上，并在规定位置粘贴考试用条形码。答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。‎ 祝各位考生考试顺利！‎ 第I卷 注意事项：‎ ‎1．每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。‎ ‎2．本卷共8小题，每小题5分，共40分。‎ 参考公式：‎ 如果事件A，B互斥，那么 .‎ 如果事件A，B相互独立，那么 .‎ 棱柱的体积公式，其中表示棱柱的底面面积，表示棱柱的高.‎ 棱锥的体积公式，其中表示棱锥的底面面积，表示棱锥的高.‎ 一.‎ ‎ 选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎(1)设全集为R，集合，，则 ‎ ‎(A) (B) ‎ ‎(C) (D) ‎ ‎(2)设变量x，y满足约束条件 则目标函数的最大值为 ‎ ‎(A) 6 (B) 19 (C) 21 (D) 45‎ ‎(3)阅读如图的程序框图，运行相应的程序，若输入N的值为20，则输出T的值为 ‎ ‎(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4‎ ‎(4)设，则“”是“”的 ‎ ‎(A)充分而不必要条件 ‎(B)必要而不充分条件 ‎(C)充要条件 ‎(D)既不充分也不必要条件 ‎(5)已知，，，则a，b，c的大小关系为 ‎ ‎(A) (B) (C) (D) ‎ ‎(6)将函数的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数 ‎ ‎(A)在区间上单调递增 (B)在区间上单调递减 ‎(C)在区间上单调递增 (D)在区间上单调递减 ‎(7)已知双曲线的离心率为2，过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点. 设A，B到双曲线同一条渐近线的距离分别为和，且，则双曲线的方程为 ‎ ‎ (A) (B) ‎ ‎(C) (D) ‎ ‎(8)如图，在平面四边形ABCD中，，，，. 若点E为边CD上的动点，则的最小值为 ‎ ‎(A) (B) (C) (D) ‎ 第Ⅱ卷 注意事项：‎ ‎1. 用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。‎ ‎2. 本卷共12小题，共110分。‎ 二. 填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。‎ ‎(9) i是虚数单位，复数 .‎ ‎(10) 在的展开式中，的系数为 .‎ ‎(11) 已知正方体的棱长为1，除面外，该正方体其余各面的中心分别为点E，F，G，H，M(如图)，则四棱锥的体积为 .‎ ‎(12)已知圆的圆心为C，直线(为参数)与该圆相交于A，B两点，则的面积为 . ‎ ‎(13)已知，且，则的最小值为 . ‎ ‎(14)已知，函数若关于的方程恰有2个互异的实数解，则的取值范围是 . ‎ 三.解答题：本大题共6小题，共80分. ‎ 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.‎ ‎（15）（本小题满分13分）‎ 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知.‎ ‎（I）求角B的大小； ‎ ‎（II）设a=2，c=3，求b和的值.‎ ‎(16)(本小题满分13分)‎ 已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24，16，16. 现采用分层抽样的方法从中抽取7人，进行睡眠时间的调查.‎ ‎（I）应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？‎ ‎（II）若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查.‎ ‎（i）用X表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数，求随机变量X的分布列与数学期望；‎ ‎ （ii）设A为事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工”，求事件A发生的概率.‎ ‎(17)(本小题满分13分)‎ ‎ 如图，且AD=2BC，,且EG=AD，且CD=2FG，，DA=DC=DG=2.‎ ‎（I）若M为CF的中点，N为EG的中点，求证：；‎ ‎（II）求二面角的正弦值； ‎ ‎（III）若点P在线段DG上，且直线BP与平面ADGE 所成的角为60°，求线段DP的长.‎ ‎(18)(本小题满分13分)‎ 设是等比数列，公比大于0，其前n项和为，是等差数列. 已知，，，.‎ ‎（I）求和的通项公式；‎ ‎（II）设数列的前n项和为，‎ ‎ （i）求；‎ ‎ （ii）证明.‎ ‎(19)(本小题满分14分)‎ 设椭圆(a>b>0)的左焦点为F，上顶点为B. 已知椭圆的离心率为，点A的坐标为，且.‎ ‎（I）求椭圆的方程；‎ ‎（II）设直线l：与椭圆在第一象限的交点为P，且l与直线AB交于点Q. ‎ 若(O为原点) ，求k的值.‎ ‎(20)(本小题满分14分)‎ 已知函数，，其中a>1.‎ ‎（I）求函数的单调区间；‎ ‎（II）若曲线在点处的切线与曲线在点 处的切线平行，证明；‎ ‎（III）证明当时，存在直线l，使l是曲线的切线，也是曲线的切线.‎ 参考答案：‎ 一、选择题：本题考查基本知识和基本运算．每小题5分，满分40分．‎ ‎（1）B （2）C （3）B （4）A ‎（5）D （6）A （7）C （8）A 二、填空题：本题考查基本知识和基本运算．每小题5分，满分30分．‎ ‎（9）4–i （10） （11） ‎ ‎（12） （13） （14） ‎ 三、解答题 ‎（15）本小题主要考查同角三角函数的基本关系，两角差的正弦与余弦公式，二倍角的正弦与余弦公式，以及正弦定理、余弦定理等基础知识，考查运算求解能力．满分13分．‎ ‎（Ⅰ）解：在△ABC中，由正弦定理，可得，又由，得，即，可得．又因为，可得B=．‎ ‎（Ⅱ）解：在△ABC中，由余弦定理及a=2，c=3，B=，有，故b=．‎ 由，可得．因为a=，于是sin=．‎ 所以，二面角E–BC–F的正弦值为．‎ ‎（Ⅲ）解：设线段DP的长为h（h∈［0，2］），则点P的坐标为（0，0，h），可得．‎ 易知，=（0，2，0）为平面ADGE的一个法向量，故 ‎，‎ 由题意，可得=sin60°=，解得h=∈［0，2］．‎ 所以线段的长为.‎ ‎（18）本小题主要考查等差数列的通项公式，等比数列的通项公式及前n项和公式等基础知识.考查等差数列求和的基本方法和运算求解能力.满分13分.‎ ‎（I）解：设等比数列的公比为q.由可得.‎ 因为，可得，故.‎ 设等差数列的公差为d，由，可得由，‎ 可得 从而 故 ‎ 所以数列的通项公式为，数列的通项公式为 ‎（II）（i）由（I），有，故 ‎.‎ ‎（ii）证明：因为 ‎，‎ 所以，.‎ ‎（19）本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程等基础知识．考查用代数方法研究圆锥曲线的性质．考查运算求解能力，以及用方程思想解决问题的能力．满分14分．‎ ‎（Ⅰ）解：设椭圆的焦距为2c，由已知知，又由a2=b2+c2，可得2a=3b．由已知可得，，，由，可得ab=6，从而a=3，b=2．‎ 所以，椭圆的方程为．‎ ‎（Ⅱ）解：设点P的坐标为（x1，y1），点Q的坐标为（x2，y2）．由已知有y1>y2>0，故．又因为，而∠OAB=，故．由，可得5y1=9y2．‎ 由方程组消去x，可得．易知直线AB的方程为x+y–2=0，由方程组 消去x，可得．由5y1=9y2，可得5（k+1）=，‎ 两边平方，整理得，解得，或．‎ 所以，k的值为 ‎ ‎（20）本小题主要考查导数的运算、导数的几何意义、运用导数研究指数函数与对数函数的性质等基础知识和方法.考查函数与方程思想、化归思想.考查抽象概括能力、综合分析问题和解决问题的能力.满分14分.‎ ‎（I）解：由已知，，有.‎ 令，解得x=0.‎ 由a>1，可知当x变化时，，的变化情况如下表：‎ x ‎0‎ ‎0‎ ‎+‎ 极小值 所以函数的单调递减区间，单调递增区间为.‎ ‎（II）证明：由，可得曲线在点处的切线斜率为.‎ 由，可得曲线在点处的切线斜率为.‎ 因为这两条切线平行，故有，即.‎ 两边取以a为底的对数，得，所以.‎ ‎（III）证明：曲线在点处的切线l1：‎ ‎.‎ 曲线在点处的切线l2：.‎ 要证明当时，存在直线l，使l是曲线的切线，也是曲线的切线，只需证明当时，存在，，使得l1和l2重合. ‎ 即只需证明当时，方程组有解，‎ 由①得，代入②，得. ③‎ 因此，只需证明当时，关于x1的方程③有实数解.‎ 设函数，即要证明当时，函数存在零点.‎ ‎，可知时，；时，单调递减，又 ‎，，故存在唯一的x0，且x0>0，使得，即 ‎.‎ 由此可得在上单调递增，在上单调递减. 在处取得极大值.‎ 因为，故，‎ 所以.‎ 下面证明存在实数t，使得.‎ 由（I）可得，‎ 当时，‎ 有，‎ 所以存在实数t，使得 因此，当时，存在，使得.‎ 所以，当时，存在直线l，使l是曲线的切线，也是曲线的切线.#‎