高考理科数学一轮复习题型归纳与变式演练基本不等式及应用

高考理科数学一轮复习题型归纳与变式演练基本不等式及应用

‎2020年高考理科数学一轮复习题型归纳与变式演练《基本不等式及应用》‎ ‎【题型一】：基本不等式的理解 ‎【题型二】：利用基本不等式求最值 ‎【题型三】：基本不等式应用 ‎【题型四】：基本不等式在实际问题中的应用 ‎【题型一】：基本不等式的理解 ‎【例1】. ，，给出下列推导，其中正确的有 （填序号）.‎ ‎ （1）的最小值为；‎ ‎（2）的最小值为；‎ ‎（3）的最小值为.‎ ‎【解析】（1）；（2）‎ ‎（1）∵，，∴（当且仅当时取等号）.‎ ‎（2）∵，，∴（当且仅当时取等号）.‎ ‎（3）∵，∴，‎ ‎（当且仅当即时取等号）‎ ‎∵，与矛盾，∴上式不能取等号，即 ‎【总结升华】在用基本不等式求函数的最值时，必须同时具备三个条件：一正二定三取等，缺一不可.‎ ‎【变式训练】：‎ ‎【变式1】给出下面四个推导过程：‎ ‎① ∵，∴； ‎ ‎② ∵，∴；‎ ‎③ ∵，，∴ ；‎ ‎④ ∵，，∴.‎ 其中正确的推导为（ ）‎ A.①② B.②③ C.③④ D.①④‎ ‎【解析】①∵，∴，符合基本不等式的条件，故①推导正确.‎ ‎②虽然，但当或时，是负数，∴②的推导是错误的.‎ ‎③由不符合基本不等式的条件，∴是错误的.‎ ‎④由得均为负数，但在推导过程中，将整体提出负号后，均变为正数，符合基本不等式的条件，故④正确.选D.‎ ‎【变式2】下列命题正确的是（ ）‎ A.函数的最小值为2. 　　 B.函数的最小值为2‎ C.函数最大值为 D.函数 的最小值为2‎ ‎【答案】C ‎【解析】A选项中，∵，∴当时由基本不等式；‎ 当时.∴选项A错误.‎ B选项中，∵的最小值为2‎ ‎（当且仅当时，成立）‎ 但是，∴这是不可能的. ∴选项B错误.‎ C选项中，∵，∴，故选项C正确。‎ ‎【题型二】：利用基本不等式求最值 ‎【例2】．设，则的最小值是 A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎【解析】‎ 当且仅当即时取等号.‎ ‎【答案】D ‎【变式训练】：‎ ‎【变式1】若,求的最大值.‎ ‎【解析】因为,所以, 由基本不等式得:‎ ‎,‎ ‎（当且仅当即时, 取等号）‎ 故当时,取得最大值.‎ ‎【变式2】已知，求的最大值.‎ ‎【解析】∵，∴，‎ ‎ ∴（当且仅当，即时，等号成立）‎ ‎∴（当且仅当，即时，等号成立）‎ 故当时，的最大值为4.‎ ‎【例3】.已知a＞0，b＞0，a＋b＝2，则y＝的最小值是 A． B．4 C． D．5‎ ‎【解析】∵,，‎ ‎∴‎ ‎【答案】选C ‎【变式训练】：‎ ‎【变式1】若,,且,求的最小值 .‎ ‎【解析】∵,，‎ ‎∴‎ ‎（当且仅当即，时，等号成立）‎ ‎∴（当且仅当，时，等号成立）‎ 故当，时，的最小值为64.‎ ‎【变式2】已知x＞0，y＞0，且，求x+y的最小值。‎ ‎【解析】∵，∴‎ ‎∵x＞0，y＞0，∴‎ ‎（当且仅当，即y=3x时，取等号）‎ 又，∴x=4，y=12‎ ‎∴当x=4，y=12时，x+y取最小值16。‎ ‎【题型三】：基本不等式应用 ‎【例4】. 设,,求证：‎ ‎【证明】‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 成立 ‎【变式训练】：‎ ‎【变式1】已知，求证:‎ ‎【解析】‎ ‎（当且仅当即,等号成立）.‎ ‎【例5】已知，且.‎ ‎(1)若则的值为 .‎ ‎(2)求证：‎ ‎【解析】(1)由题意可得带入计算可得 ‎(2)由题意和基本不等式可得，，‎ ‎【变式训练】：‎ ‎【变式】已知函数的定义域为R.‎ ‎(1)求实数m的取值范围.‎ ‎(2)若m的最大值为n，当正数a、b满足时，求7a+4b的最小值.‎ ‎【解析】(1)因为函数的定义域为R,‎ 恒成立 设函数则m不大于的最小值 即的最小值为4，‎ ‎(2)由(1)知n=4‎ 当且仅当时，即时取等号.‎ 的最小值为 ‎【题型四】：基本不等式在实际问题中的应用 ‎【例6】. 某农场有废弃的猪圈，留有一面旧墙长12m,现准备在该地区重新建立一座猪圈，平面图为矩形，面积为，预计（1）修复旧墙的费用是建造新墙费用的 ，（2）拆去旧墙用以改造建成新墙的费用是建新墙的，（3）为安装圈门，要在围墙的适当处留出的空缺。试问：这里建造猪圈的围墙应怎样利用旧墙，才能使所需的总费用最小？ ‎ ‎【解析】显然，使旧墙全部得到利用，并把圈门留在新墙处为好。‎ 设修复成新墙的旧墙为 ,则拆改成新墙的旧墙为，‎ 于是还需要建造新墙的长为 设建造新墙需用元，建造围墙的总造价为元，‎ 则 ‎（当且仅当即时，等号成立）‎ 故拆除改造旧墙约为米时，总造价最小.‎ ‎【变式训练】：‎ ‎【变式1】某游泳馆出售冬季学生游泳卡，每张卡240元.并规定不记名，每卡每次只限1人，每天只限1次.某班有48名学生，教师准备组织学生集体冬泳，除需要购买若干张游泳卡外，每次去游泳还要包一辆汽车，无论乘坐多少学生，每次的包车费为40元.要使每个学生游8次，每人最少交多少钱？‎ ‎【解析】设购买x张游泳卡，活动开支为y元， ‎ 则（当且仅当x=8时取“=”）‎ 此时每人最少交80元.‎