2012届高考数学第二轮同步复习题9

2012届高考数学第二轮同步复习题9

专题3三角函数与平面向量 ‎1．(2011·湖南六校联考)已知在△ABC中，cosA＝，a，b，c分别是角A，B，C所对的边．‎ ‎(1)求tan‎2A的值；‎ ‎(2)若sin(＋B)＝，c＝2，求△ABC的面积．‎ ‎[解析]　(1)因为cosA＝，A∈(0，π)，‎ 所以sinA＝，则tanA＝.‎ 所以tan‎2A＝＝2.‎ ‎(2)由sin(＋B)＝，得cosB＝，‎ 又B∈(0，π)，所以sinB＝.‎ 则sinC＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB＝.‎ 由正弦定理知a＝＝2，所以△ABC的面积为 S＝acsinB＝.‎ ‎2．(2011·福建福州质检)已知向量m＝(1，cosA)，n＝(sinAcosB，sinB)，m·n＝sin‎2C，且A，B，C分别是△ABC的三边a，b，c所对的角．‎ ‎(1)求角C的大小；‎ ‎(2)设sinA，sinC，sinB成等比数列，且·(－)＝8，求边c的值．‎ ‎[解析]　(1)由题知，m·n＝sinAcosB＋sinBcosA ‎＝sin(A＋B)＝sin(π－C)＝sinC.‎ 又m·n＝sin‎2C，∴sin‎2C＝sinC，‎ ‎∴sinC(2cosC－1)＝0，∵00，其中ω>0，若函数f(x)＝m·n的周期为π.‎ ‎(1)求ω的值；‎ ‎(2)求函数f(x)在区间[－，]上的最大值和最小值．‎ ‎[解析]　(1)由题意知，f(x)＝m·n＝2sincos－cos2＋sin2 ‎＝sinωx－cosωx＝2sin(ωx－)．‎ ‎∵函数f(x)的周期T＝π，∴ω＝＝2.‎ ‎(2)由(1)知f(x)＝2sin(2x－)．∵x∈[－，]，‎ ‎∴易知f(x)＝2sin(2x－)在区间[－，]上单调递增，在区间[，]上单调递减，‎ ‎∴当x＝时，f(x)取最大值2；‎ 当x＝－时，f(x)取最小值－.‎ ‎6．(2011·上海十三校联考)在△ABC中，a，b，c分别是三个内角A，B，C所对边的长，已知tanB＝，cosC＝，b＝3.求边AB的长与△ABC的面积．‎ ‎[解析]　在△ABC中，因为tanB＝，cosC＝，‎ 则sinB＝，sinC＝＝.‎ 由正弦定理＝得＝，‎ 解得c＝8.即AB＝8.‎ 又A＋B＋C＝π，则 sinA＝sin(C＋B)＝sinCcosB＋cosCsinB，‎ 因为cosB＝，则sinA＝，‎ S△ABC＝bcsinA＝6＋8.‎ 综上，AB＝8，S△ABC＝6＋8.‎ ‎7．(2011·太原二模)已知向量a＝(cosα，sinα)，b＝(cosx，sinx)，c＝(sinx＋2sinα，cosx＋2cosα)，其中0<α0，ω>0，|φ|<)的图像与y轴的交点为(0,1)，它在y轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为(x0,2)和(x0＋2π，－2)．‎ ‎(1)求f(x)的解析式及x0的值；‎ ‎(2)若锐角θ满足cosθ＝，求f(4θ)的值．‎ ‎[解析]　(1)由题意可得：A＝2，＝2π，‎ 即＝4π，∴ω＝，‎ f(x)＝2sin，f(0)＝2sinφ＝1，‎ 由|φ|<，∴φ＝.‎ f(x0)＝2sin＝2，‎ 所以x0＋＝2kπ＋，x0＝4kπ＋(k∈Z)，‎ 又∵x0是最小的正数，∴x0＝.‎ ‎(2)f(4θ)＝2sin＝sin2θ＋cos2θ，‎ ‎∵θ∈，cosθ＝，∴sinθ＝，‎ ‎∴cos2θ＝2cos2θ－1＝－，sin2θ＝2sinθcosθ＝，‎ ‎∴f(4θ)＝·－＝－.‎