高考数学理试题分类汇编导数及其应用

高考数学理试题分类汇编导数及其应用

‎2017年高考数学理试题分类汇编：导数及其应用 1. ‎(2017年新课标Ⅰ文) 8．函数的部分图像大致为 (C)‎ 2. ‎( 2017年新课标Ⅱ卷理) 11.若是函数的极值点，则的极小值为（ ）‎ A. B. C. D.1‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题可得 因为，所以，，故 令，解得或，所以在单调递增，在单调递减 所以极小值，故选A。‎ 3. ‎ (2017年新课标Ⅰ文) 9．已知函数，则 (C)‎ A．在（0,2）单调递增 B．在（0,2）单调递减 C．y=的图像关于直线x=1对称 D．y=的图像关于点（1,0）对称 4. ‎(2017年浙江卷)函数y=f(x)的导函数的图像如图所示，则函数y=f(x)的图像可能是 ‎【答案】D ‎ ‎【解析】原函数先减再增，再减再增，因此选D.‎ 1. ‎ (2017年新课标Ⅲ卷理) 11．已知函数有唯一零点，则a=‎ A． B． C． D．1‎ ‎【答案】C 2. ‎( 2017年新课标Ⅱ卷理)21.‎ 已知函数，且。‎ ‎(1)求；(2)证明：存在唯一的极大值点，且.‎ ‎【解析】‎ ‎（1）的定义域为 设，则等价于 因为 若a=1，则.当0＜x＜1时，单调递减；当x＞1时，＞0，单调递增.所以x=1是的极小值点，故 综上，a=1‎ 又，所以在有唯一零点x0，在有唯一零点1，且当时，；当时，，当时，.‎ 因为，所以x=x0是f(x)的唯一极大值点 由 由得 因为x=x0是f(x)在（0,1）的最大值点，由得 所以 ‎21．(2017年新课标Ⅲ卷理)‎ 已知函数 =x﹣1﹣alnx．（1）若 ，求a的值；‎ ‎（2）设m为整数，且对于任意正整数n，﹤m，求m的最小值．‎ 解：（1）‎ 当时，，时不满足 当时，在令 ‎ 则 ∴ y在∴ ，即 ‎ 因此 时，满足.（2）由（1）有 ‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎ （21）( 2017年新课标Ⅱ文)‎ 设函数f(x)=(1-x2)ex.（1）讨论f(x)的单调性；（2）当x0时，f(x)ax+1，求a的取值范围.‎ ‎21. 解 ‎（1）f ’(x)=(1-2x-x2)ex 令f’(x)=0得x=-1- ，x=-1+‎ 当x∈（-∞，-1-）时，f’(x)<0；当x∈（-1-，-1+）时，f’(x)>0；当x∈（-1-，+∞）时，f’(x)<0‎ 所以f(x)在（-∞，-1-），（-1+，+∞）单调递减，在（-1-，-1+）单调递增 ‎(2) f (x)=(1+x)（1-x）ex 当a≥1时，设函数h(x)=（1-x）ex，h’(x)= -xex＜0（x＞0），因此h(x)在[0，+∞)单调递减，而h(0)=1，‎ 故h(x)≤1，所以 f(x)=（x+1）h(x)≤x+1≤ax+1‎ 当0＜a＜1时，设函数g（x）=ex-x-1，g’（x）=ex-1＞0（x＞0），所以g（x）在在[0，+∞)单调递增，而g(0)=0，故ex≥x+1‎ 当0＜x＜1，，，取 则 当 ‎ 综上，a的取值范围[1，+∞） ‎ ‎ (2017年新课标Ⅰ文) 21．已知函数=ex(ex﹣a)﹣a2x．‎ ‎（1）讨论的单调性；（2）若，求a的取值范围．‎ ‎21. （12分）（1）函数的定义域为，，‎ ‎①若，则，在单调递增.‎ ‎②若，则由得.‎ 当时，；当时，，所以在单调递减，在单调递增.‎ ‎③若，则由得.‎ 当时，；当时，，故在单调递减，在单调递增.‎ ‎（2）①若，则，所以.‎ ‎②若，则由（1）得，当时，取得最小值，最小值为.从而当且仅当，即时，.‎ ‎③若，则由（1）得，当时，取得最小值，最小值为.从而当且仅当，即时.‎ 综上，的取值范围为.‎ ‎14．(2017年新课标Ⅰ文)曲线在点（1，2）处的切线方程为_y=x+1‎ ‎ (2017年新课标Ⅰ) 21.‎ 已知函数.‎ ‎（1）讨论的单调性；‎ ‎（2）若有两个零点，求a的取值范围.‎ 综上，的取值范围为.‎ ‎20．(2017年浙江卷)已知函数f(x)=（x–）（）.（Ⅰ）求f(x)的导函数；‎ ‎（Ⅱ）求f(x)在区间上的取值范围.‎ ‎【答案】（Ⅰ）f＇（x）=（1-x）（1-）；（Ⅱ）[0, ].‎ ‎（Ⅱ）由 解得或.‎ 因为 x ‎（）‎ ‎1‎ ‎（）‎ ‎（）‎ ‎-‎ ‎0‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎-‎ f（x）‎ ‎↓‎ ‎0‎ ‎↑‎ ‎↓‎ 又，‎ 所以f（x）在区间[）上的取值范围是.‎ ‎ (2017年北京卷理) （19）已知函数f（x）=excosx−x.（Ⅰ）求曲线y= f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；‎ ‎（Ⅱ）求函数f（x）在区间[0，]上的最大值和最小值.‎ ‎【答案】‎ ‎（Ⅰ）f(x)=ex·cosx－x∴f(0)=1∴f´(x)=ex（cosx－sinx）－1 f´(0)=0‎ ‎∴y=f(x)在（0，f(0)）处切线过点（0,1），k=0 ∴切线方程为y=1‎ ‎（Ⅱ）f´(x)=ex（cosx-sinx）－1，设f´(x)=g(x)‎ ‎∴g´(x)=－2sinx·ex≤0 ∴g(x)在［0，］上单调递减，‎ ‎∴g(x)≤g(0)=0 ∴f’（x）≤0∴f(x)在［0，］上单调递减，‎ f(x)max=f(0)=1 ∴f(x)min=f()=－‎ ‎ (2017年江苏卷) 11．已知函数，其中e是自然对数的底数．若，则实数的取值范围是 ▲ ．‎ ‎【解析】因为，所以函数是奇函数，‎ 因为，所以数在上单调递增，‎ 又，即，所以，即，‎ 解得，故实数的取值范围为.‎ ‎ (2017年江苏卷) 20．‎ ‎ 已知函数有极值，且导函数的极值点是的零点．‎ ‎（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值）‎ ‎ （1）求关于的函数关系式，并写出定义域； （2）证明：；‎ ‎ （3）若，这两个函数的所有极值之和不小于，求的取值范围．‎ ‎20. 【解析】（1）因为，所以，所以，‎ 所以，所以，‎ 因为，所以.‎ ‎（2），‎ 因为，‎ 所以，所以b²>3a.‎ ‎7. ( 2017年全国Ⅲ卷文)函数的部分图像大致为（ ）‎ 答案：D ‎ ‎12. ( 2017年全国Ⅲ卷文)已知函数有唯一零点，则（ ）‎ A B C D ‎ ‎【解析】 ‎ ‎ 得 ‎ 即为函数的极值点，故 ‎ ‎ 则， ‎ ‎21. ( 2017年全国Ⅲ卷文)设函数.‎ ‎（1）讨论的单调性；‎ ‎（2）当时，证明.‎ 解：（1）由 ‎ 有 ‎………………………………..2‎ ‎①当时，单增 ① 当时，令，即 解得………… ‎ ⅰ.当时，开口向上，,,即，单增 ⅱ.当时，开口向上，，‎ 此时，在上，，即，单减 ‎ 在上，，即，单增………………………………6‎ ‎（2）由（1）可得： ‎ 故要证 即证 ……即证 即证…令 则 ‎ 令，得 ……………………………….12‎ 故原命题得证. ‎ ‎（15）(2017年山东卷理)若函数（是自然对数的底数）在的定义域上单调递增，则称函数具有性质.下列函数中所有具有性质的函数的序号为 .‎ ‎ ① ② ③ ④‎ ‎【答案】①④‎ ‎【解析】①在上单调递增，故具有性质；‎ ②在上单调递减，故不具有性质；‎ ③，令，则，当时，，当时，，在上单调递减，在上单调递增，故不具有性质；‎ ④，令，则，在上单调递增，故具有性质．‎ ‎（10）(2017年天津卷文)已知，设函数的图象在点（1，）处的切线为l，则l在y轴上的截距为___________．‎ ‎【答案】‎ ‎（20）(2017年山东卷理)‎ 已知函数，，其中是自然对数的底数.‎ ‎（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；‎ ‎（Ⅱ）令，讨论的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值.‎ ‎【答案】（Ⅰ）.‎ ‎（Ⅱ）综上所述：‎ 当时，在上单调递减，在上单调递增，‎ 函数有极小值，极小值是；‎ 当时，函数在和和上单调递增，在上单调递减，函数有极大值，也有极小值，‎ 极大值是 极小值是；‎ 当时，函数在上单调递增，无极值；‎ 当时，函数在和上单调递增，‎ 在上单调递减，函数有极大值，也有极小值， ‎ 极大值是；‎ 极小值是.‎ ‎【解析】解：（Ⅰ）由题意又，‎ 所以，因此 曲线在点处的切线方程为 ‎，即 .‎ ‎（Ⅱ）由题意得 ，‎ 因为 ‎，‎ 令则所以在上单调递增.‎ 所以 当时，单调递减，当时，‎ 当a ‎ ‎ ‎(2)当时，由 得 ，‎ ‎①当时，，‎ 当时，，单调递增；‎ 当时，，单调递减；‎ 当时，，单调递增.‎ 所以 当时取得极大值.‎ 极大值为，‎ 当时取到极小值，极小值是 ；‎ ‎②当时，，所以 当时，，函数在上单调递增，无极值；‎ 极小值是.‎ 综上所述：‎ 当时，在上单调递减，在上单调递增，‎ 函数有极小值，极小值是；‎ 当时，函数在和和上单调递增，在上单调递减，函数有极大值，也有极小值，‎ 极大值是 极小值是；‎ 当时，函数在上单调递增，无极值；‎ 当时，函数在和上单调递增，‎ 在上单调递减，函数有极大值，也有极小值， ‎ 极大值是；‎ 极小值是.‎ ‎（10）(2017年山东卷文)若函数(e=2.71828是自然对数的底数)在的定义域上单调递增,学@科网则称函数具有M性质.下列函数中具有M性质的是 ‎（A） （B） （C） （D） ‎ ‎【答案】A ‎【解析】对于A,令,,则在R上单调递增,故具有M性质,故选A.‎ ‎（20）(2017年山东卷文)‎ 已知函数.‎ ‎（Ⅰ）当a=2时,求曲线在点处的切线方程；‎ ‎（Ⅱ）设函数,讨论的单调性并判断有无极值,有极值时求出极值.‎ ‎【答案】（Ⅰ）,（Ⅱ）见解析.‎ ‎3x-y-9=0‎ ‎（20）(2017年天津卷理)‎ 设，已知定义在R上的函数在区间内有一个零点，为的导函数.‎ ‎（Ⅰ）求的单调区间；‎ ‎（Ⅱ）设，函数，求证：；‎ ‎（Ⅲ）求证：存在大于0的常数，使得对于任意的正整数，且 满足.‎ ‎【答案】（1）增区间是，，减区间是.（2）（3）证明见解析 ‎【解析】（Ⅰ）由，可得，‎ 进而可得.令，解得，或.‎ 当x变化时，的变化情况如下表：‎ x ‎+‎ ‎-‎ ‎+‎ ‎↗‎ ‎↘‎ ‎↗‎ 所以，的单调递增区间是，，单调递减区间是.‎ ‎（Ⅱ）证明：由，得，‎ ‎.‎ ‎（III）证明：对于任意的正整数 ，，且，‎ 令，函数.‎ 由（II）知，当时，在区间内有零点；‎ 当时，在区间内有零点.‎ 所以.所以，只要取，就有.‎ ‎（19）(2017年天津卷文)‎ 设，．已知函数，．‎ ‎（Ⅰ）求的单调区间；‎ ‎（Ⅱ）已知函数和的图象在公共点（x0，y0）处有相同的切线，‎ ‎（i）求证：在处的导数等于0；‎ ‎（ii）若关于x的不等式在区间上恒成立，求b的取值范围．‎ ‎【解析】（Ⅰ）由，可得 ‎，‎ 令，解得或．由，得．‎ 当变化时，，的变化情况如下表：‎ 所以，的单调递增区间为，，单调递减区间为．‎ ‎（Ⅱ）（i）因为，由题意知，‎ 所以，解得．‎ 所以，在处的导数等于0．‎ ‎（ii）因为，，由，可得．‎ 又因为，，故为的极大值点，由（Ⅰ）知．‎ 另一方面，由于，故，‎