高考文科数学试题及答案湖南卷

高考文科数学试题及答案湖南卷

绝密 ★ 启用前 ‎2008年普通高等学校招生全国统一考试 （湖南卷）‎ ‎ 文科数学能力测试 一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。‎ ‎1．已知，，，则( )‎ A． ‎ C． D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】由，，，易知B正确. ‎ ‎2．“”是“”的( )‎ A．充分不必要条件 B.必要不充分条件 C．充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎ ‎【解析】由得，所以易知选A.‎ ‎3．已条变量满足则的最小值是( )‎ A．4 B.3 C.2 D.1‎ ‎【答案】C ‎【解析】如图得可行域为一个三角形，其三个顶点 分别为代入验证知在点 时,最小值是故选C.‎ ‎4.函数的反函数是( )‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎【答案】B ‎【解析】用特殊点法,取原函数过点则其反函数过点验证知只有答案B满足.也可用直接法或利用“原函数与反函数的定义域、值域互换”来解答。‎ ‎5.已知直线m,n和平面满足,则( )‎ ‎ 或 或 ‎【答案】D ‎ ‎【解析】易知D正确.‎ ‎6．下面不等式成立的是( )‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】由 , 故选A.‎ ‎7．在中，AB=3，AC=2，BC=，则 ( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎ ‎【解析】由余弦定理得所以选Ｄ.‎ ‎8．某市拟从4个重点项目和6个一般项目中各选2个项目作为本年度启动的项目，‎ 则重点项目A和一般项目B至少有一个被选中的不同选法种数是( )‎ A．15 B．45 C．60 D．75‎ ‎【答案】C ‎【解析】用直接法：‎ 或用间接法：故选Ｃ.‎ ‎9．长方体的8个顶点在同一个球面上，且AB=2，AD=，‎ ‎，则顶点A、B间的球面距离是( )‎ A． B． C． D．2‎ ‎【答案】B ‎【解析】设 则 故选Ｂ.‎ ‎10．若双曲线的右支上存在一点，它到右焦点及左准线的距离相等，则双曲线离心率的取值范围是( )‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 而双曲线的离心率故选Ｃ.‎ 二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在横线上。‎ ‎11．已知向量，，则||=_____________________.‎ ‎【答案】２ ‎ ‎【解析】由 ‎ ‎12.从某地区15000位老人中随机抽取500人，其生活能否自理的情况如下表所示：‎ 性别 ‎ 人数 生活能 否自理 男 女 能 ‎178‎ ‎278‎ 不能 ‎23‎ ‎21‎ 则该地区生活不能自理的老人中男性比女性约多_____________人。‎ ‎【答案】60 ‎ ‎【解析】由上表得 ‎13．记的展开式中第m项的系数为，若，则=__________.‎ ‎【答案】5 ‎ ‎【解析】由得 所以解得 ‎14．将圆沿x轴正向平移1个单位后所得到圆C，则圆C的方程是________,若过点（3，0）的直线和圆C相切，则直线的斜率为_____________.‎ ‎【答案】, ‎ ‎【解析】易得圆C的方程是, ‎ 直线的倾斜角为,‎ 所以直线的斜率为 ‎15．设表示不超过x的最大整数，（如）。对于给定的,‎ 定义则________;‎ 当时，函数的值域是_________________________。‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】当时，当时， ‎ 所以故函数的值域是.‎ 三．解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。‎ ‎16．（本小题满分12分）‎ 甲乙丙三人参加一家公司的招聘面试，面试合格者可正式签约。甲表示只要面试合格就签约，乙、丙则约定：两人面试都合格就一同签约，否则两人都不签约。设每人面试合格的概率都是，且面试是否合格互不影响。求：‎ ‎（I）至少一人面试合格的概率；‎ ‎（II）没有人签约的概率。‎ 解：用A,B,C分别表示事件甲、乙、丙面试合格．由题意知A,B,C相互独立，‎ 且 ‎（I）至少有一人面试合格的概率是 ‎（II）没有人签约的概率为 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎17．（本小题满分12分）‎ 已知函数.‎ ‎（I）求函数的最小正周期；‎ ‎（II）当且时，求的值。‎ 解：由题设有．‎ ‎（I）函数的最小正周期是 ‎（II）由得即 ‎ 因为,所以 从而 于是 ‎ ‎ ‎18．（本小题满分12分）‎ 如图所示，四棱锥的底面是边长为1的菱形，，E是CD的中点，PA底面ABCD，。‎ ‎（I）证明：平面PBE平面PAB；‎ ‎（II）求二面角A—BE—P的大小。‎ 解：解法一（I）如图所示, 连结由是菱形且知，‎ 是等边三角形. 因为E是CD的中点，所以 又所以 ‎ 又因为PA平面ABCD，平面ABCD，‎ 所以而因此 平面PAB. ‎ 又平面PBE，所以平面PBE平面PAB.‎ ‎（II）由（I）知，平面PAB, 平面PAB, ‎ 所以 又所以是二面角的平面角．‎ 在中, ．‎ 故二面角的大小为 解法二：如图所示,以A为原点，建立空间直角坐标系．则相关各点的坐标分别是 ‎（I）因为平面PAB的一个法向量是所以和共线.从而平面PAB. ‎ 又因为平面PBE，所以平面PBE平面PAB.‎ ‎（II）易知设是平面PBE的一个法向量,‎ 则由得 所以 故可取而平面ABE的一个法向量是 于是,．‎ 故二面角的大小为 ‎19（本小题满分13分）‎ 已知椭圆的中心在原点，一个焦点是，且两条准线间的距离为。‎ ‎（I）求椭圆的方程；‎ ‎（II）若存在过点A（1，0）的直线，使点F关于直线的对称点在椭圆上，求的取值范围。‎ 解：（I）设椭圆的方程为 由条件知且所以 ‎ 故椭圆的方程是 ‎（II）依题意, 直线的斜率存在且不为0,记为,则直线的方程是 ‎ 设点关于直线的对称点为则 ‎ 解得 因为点在椭圆上，所以即 设则 因为所以于是,‎ 当且仅当 上述方程存在正实根,即直线存在.‎ 解得所以 ‎ 即的取值范围是 ‎20．（本小题满分13分）‎ 数列满足 ‎（I）求，并求数列的通项公式；‎ ‎（II）设，，，‎ 求使的所有k的值，并说明理由。‎ 解：（I）因为所以 ‎ ‎ 一般地, 当时，‎ ‎ 即所以数列是首项为0、公差为4的等差数列，‎ ‎ 因此 当时，‎ ‎ 所以数列是首项为2、公比为2的等比数列，因此 ‎ 故数列的通项公式为 ‎ （II）由（I）知，‎ ‎ ‎ 于是.‎ 下面证明: 当时，事实上, 当时，‎ 即 又所以当时，‎ 故满足的所有k的值为3,4,5.‎ ‎21．（本小题满分13分）‎ 已知函数有三个极值点。‎ ‎（I）证明：；‎ ‎（II）若存在实数c，使函数在区间上单调递减，求的取值范围。‎ 解：（I）因为函数有三个极值点, ‎ 所以有三个互异的实根.‎ ‎ 设则 ‎ 当时， 在上为增函数;‎ ‎ 当时， 在上为减函数;‎ ‎ 当时， 在上为增函数;‎ ‎ 所以函数在时取极大值,在时取极小值.‎ ‎ 当或时,最多只有两个不同实根.‎ ‎ 因为有三个不同实根, 所以且.‎ ‎ 即,且,‎ 解得且故.‎ ‎ （II）由（I）的证明可知，当时, 有三个极值点.‎ ‎ 不妨设为（），则 ‎ 所以的单调递减区间是,‎ ‎ 若在区间上单调递减，‎ 则, 或,‎ ‎ 若,则.由（I）知，,于是 ‎ 若,则且.由（I）知，‎ ‎ 又当时，;‎ ‎ 当时，.‎ ‎ 因此, 当时，所以且 即故或反之, 当或时，‎ 总可找到使函数在区间上单调递减.‎ 综上所述, 的取值范围是.‎