2015高考数学人教A版本（8-4椭圆）一轮复习学案
【走向高考】2015届高考数学一轮总复习 8-4椭圆课后强化作业 新人教A版
基础巩固强化
一、选择题
1．(文)设P是椭圆＋＝1上的点，若F1、F2是椭圆的两个焦点，则|PF1|＋|PF2|等于( )
A．4 B．5
C．8 D．10
[答案] D
[解析] ∵a2＝25，∴a＝5，∴|PF1|＋|PF2|＝2a＝10.
(理)椭圆＋＝1的左、右焦点分别为F1、F2，一直线过F1交椭圆于A、B两点，则△ABF2的周长为( )
A．32 B．16
C．8 D．4
[答案] B
[解析] 由题设条件知△ABF2的周长为|AF1|＋|AF2|＋|BF1|＋|BF2|＝4a＝16.
2．(文)(2012·丽水模拟)若P是以F1、F2为焦点的椭圆＋＝1(a>b>0)上的一点，且·＝0，tan∠PF1F2＝，则此椭圆的离心率为( )
A. B.
C. D.
[答案] A
[解析] 在Rt△PF1F2中，不妨设|PF2|＝1，则|PF1|＝2.|F1F2|＝，∴e＝＝.
(理)设圆锥曲线Γ的两个焦点分别为F1、F2，若曲线Γ上存在点P满足|PF1|:|F1F2|:|PF2|＝4:3:2，则曲线Γ的离心率等于( )
A.或 B.或2
C.或2 D.或
[答案] A
[解析] 设|PF1|＝4t，|F1F2|＝3t，|PF2|＝2t(t>0)，
若Γ为椭圆，则离心率为e＝＝，
若Γ为双曲线，则离心率为＝.
3．(2013·浙江绍兴一模)椭圆＋＝1上一点M到焦点F1的距离为2，N是MF1的中点，则|ON|等于( )
A．2 B．4
C．8 D.
[答案] B
[解析] 连接MF2.已知|MF1|＝2，又|MF1|＋|MF2|＝10，∴|MF2|＝10－|MF1|＝8.
如图，|ON|＝|MF2|＝4.故选B.
4．(2013·新课标Ⅰ理，10)已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交椭圆于A、B两点．若AB的中点坐标为(1，－1)，则E的方程为( )
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
[答案] D
[解析] 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
∵A、B在椭圆上，
∴两式相减得，＝，
即＝，
∵AB的中点为(1，－1)，∴x1＋x2＝2，y1＋y2＝－2，
∴k＝＝，
又∵k＝＝，∴＝，
又∵c2＝a2－b2＝2b2－b2＝b2，c2＝9，∴b2＝9，a2＝18，
∴椭圆E的标准方程为＋＝1，故选D.
5．(文)若椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的方程是( )
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
[答案] A
[解析] 依题意知：2a＝18，∴a＝9,2c＝×2a，∴c＝3，∴b2＝a2－c2＝81－9＝72，∴椭圆方程为＋＝1.
(理)(2013·烟台质检)一个椭圆中心在原点，焦点F1，F2在x轴上，P(2，)是椭圆上一点，且|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差数列，则椭圆方程为( )
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
[答案] A
[解析] 设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)．由点(2，)在椭圆上知＋＝1.又|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差数列，则|PF1|＋|PF2|＝2|F1F2|，即2a＝2·2c，＝，又c2＝a2－b2，联立得a2＝8，b2＝6.
6．椭圆＋＝1的焦点为F1、F2，椭圆上的点P满足∠F1PF2＝60°，则△F1PF2的面积是( )
A. B.
C. D.
[答案] A
[解析] 由余弦定理：|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|·cos60°＝|F1F2|2.
又|PF1|＋|PF2|＝20，代入化简得|PF1|·|PF2|＝，
∴S△F1PF2＝|PF1|·|PF2|·sin60°＝.
二、填空题
7．(文)设F1、F2分别是椭圆＋＝1的左、右焦点，P为椭圆上一点，M是F1P的中点，|OM|＝3，则P点到椭圆左焦点距离为________．
[答案] 4
[解析] |OM|＝3，|PF2|＝6，
又|PF1|＋|PF2|＝10，∴|PF1|＝4.
(理)(2013·池州二模)已知点M(，0)，椭圆＋y2＝1与直线y＝k(x＋)交于点A、B，则△ABM的周长为________．
[答案] 8
[解析] M(，0)与F(－，0)是椭圆的焦点，则直线AB过椭圆左焦点F(－，0)，且|AB|＝|AF|＋|BF|，△ABM的周长等于|AB|＋|AM|＋|BM|＝(|AF|＋|AM|)＋(|BF|＋|BM|)＝4a＝8.
8．若方程x2sin2α－y2cosα＝1表示焦点在y轴上的椭圆，那么α的取值范围是________．
[答案] ，k∈Z
[解析] 根据题意知，
化简得，
解得α∈(k∈Z)．
9．已知椭圆M：＋＝1(a>0，b>0)的面积为πab，M包含于平面区域Ω：内，向Ω内随机投一点Q，点Q落在椭圆M内的概率为，则椭圆M的方程为________．
[答案] ＋＝1
[解析]
平面区域Ω：
是一个矩形区域，如图所示，
依题意及几何概型，可得＝，即ab＝2.
因为0
b>0)，由题意c＝，且椭圆过点M(1，－)，
∴⇒∴椭圆方程为＋y2＝1.
(2)设直线PQ：x＝ty－，
由消去x得，(t2＋4)y2－ty－＝0，
设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
∴y1y2＝－，y1＋y2＝，
又A(－2,0)，
∴·＝(x1＋2，y1)·(x2＋2，y2)
＝(x1＋2)(x2＋2)＋y1y2＝(ty1＋)(ty2＋)＋y1y2
＝(t2＋1)y1y2＋t(y1＋y2)＋＝0，
∴∠PAQ＝(定值).
能力拓展提升
一、选择题
11．(2013·荆州市质检)若椭圆＋＝1(a>b>0)的离心率e＝，右焦点为F(c,0)，方程ax2＋2bx＋c＝0的两个实数根分别是x1和x2，则点P(x1，x2)到原点的距离为( )
A. B.
C．2 D.
[答案] A
[解析] 因为e＝＝，所以a＝2c，由a2＝b2＋c2，得＝，x1＋x2＝－＝－，x1x2＝＝，点P(x1，x2)到原点(0,0)的距离d＝＝＝.
12．(文)若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是( )
A. B.
C. D.
[答案] B
[分析] 要求离心率e＝，先由条件建立a、b、c的方程，利用a2＝b2＋c2消去b，两边同除以a2即可化为e的方程．
[解析] 由题意得：4b＝2(a＋c)⇒4b2＝(a＋c)2⇒3a2－2ac－5c2＝0⇒5e2＋2e－3＝0⇒e＝或e＝－1(舍)，故选B.
(理)(2013·全国大纲理，8)椭圆C：＋＝1的左、右顶点分别为A1、A2，点P在C上且直线PA2斜率的取值范围是[－2，－1]，那么直线PA1斜率的取值范围是( )
A．[，] B．[，]
C．[，1] D．[，1]
[答案] B
[解析]
如图：A1(－2,0)，A2(2,0)
直线A2M的方程为y＝－(x－2)，即y＝2－x，
代入椭圆方程＋＝1中消去y得，7x2－16x＋4＝0，
∴2＋x＝，∴x＝，∴M点坐标为(，)．
同理可得N点坐标为(，)
∵kA1M＝＝，kA1N＝＝，
∴直线PA1斜率的取值范围是[，]．
[解法探究] 点P在椭圆C上运动，PA2的斜率取值已知，求PA1的斜率的取值范围，若能找到kPA1与kPA2的关系，则解答更简便．
由条件知，A1(－2,0)，A2(2,0)，
设P点坐标为(x0，y0)，则＋＝1，
kPA2＝，kPA1＝，
于是kPA1·kPA2＝＝＝－.
∴kPA1＝，
∵－2≤kPA2≤－1，∴4≤－4kPA2≤8，∴≤kPA1≤.
13．(文)已知椭圆C1：＋＝1(a>b>0)与双曲线C2：x2－＝1有公共的焦点，C2的一条渐近线与以C1的长轴为直径的圆相交于A、B两点，若C1恰好将线段AB三等分，则( )
A．a2＝ B．a2＝13
C．b2＝ D．b2＝2
[答案] C
[解析]
由已知双曲线渐近线为y＝±2x.圆方程为x2＋y2＝a2，则|AB|＝2a.不妨取y＝2x与椭圆交于P、Q两点，且P在x轴上方，则由已知|PQ|＝|AB|＝，∴|OP|＝.则点P坐标为(，)，
又∵点P在椭圆上，∴＋＝1.①
又∵a2－b2＝5，∴b2＝a2－5.②，解①②得
故选C.
(理)
设F是椭圆＋＝1的左焦点，且椭圆上有2011个不同的点Pi(xi，yi)(i＝1,2,3，…，2011)，且线段|FP1|，|FP2|，|FP3|，…，|FP2011|的长度成等差数列，若|FP1|＝2，|FP2011|＝8，则点P2010的横坐标为( )
A. B.
C. D.
[答案] C
[解析] ∵椭圆＋＝1，∴F(－3,0)，由|FP1|＝2＝a－c，|FP2011|＝8＝a＋c，可知点P1为椭圆的左顶点，P2011为椭圆的右顶点，即x1＝－5，x2011＝5＝－5＋2010d，∴d＝，则数列{xi}是以－5为首项，为公差的等差数列，∴x2010＝－5＋2009×＝.
二、填空题
14．(文)如果AB是椭圆＋＝1的任意一条与x轴不垂直的弦，O为椭圆的中心，e为椭圆的离心率，M为AB的中点，则kAB·kOM的值为________．
[答案] e2－1
[解析] 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，中点M(x0，y0)，
由点差法，＋＝1，＋＝1，
作差得＝，
∴kAB·kOM＝·＝＝＝e2－1.
(理)以椭圆的右焦点F2为圆心的圆恰好过椭圆的中心，交椭圆于点M、N，椭圆的左焦点为F1，且直线MF1与此圆相切，则椭圆的离心率e等于________．
[答案] －1
[解析] 由题意知，MF1⊥MF2，|MF2|＝|OF2|＝c，
又|F1F2|＝2c，∴|MF1|＝c，
由椭圆的定义，|MF1|＋|MF2|＝2a，
∴c＋c＝2a，∴e＝＝－1.
15．(2013·苏北四市联考)已知两定点M(－1,0)，N(1,0)，若直线上存在点P，使|PM|＋|PN|＝4，则该直线为“A型直线”．给出下列直线，其中是“A型直线”的是________(填序号)．
①y＝x＋1；②y＝2；③y＝－x＋3；④y＝－2x＋3.
[答案] ①④
[解析] 由题意可知，点P的轨迹是以M，N为焦点的椭圆，其方程是＋＝1，
①把y＝x＋1代入＋＝1并整理得，7x2＋8x－8＝0，
∵Δ＝82－4×7×(－8)>0，直线与椭圆有两个交点，
∴y＝x＋1是“A型直线”．
②把y＝2代入＋＝1，得＝－不成立，直线与椭圆无交点，∴y＝2不是“A型直线”．
③把y＝－x＋3代入＋＝1并整理得，7x2－24x＋24＝0，Δ＝(－24)2－4×7×24<0，∴y＝－x＋3不是“A型直线”．
④把y＝－2x＋3代入＋＝1并整理得，19x2－48x＋24＝0，∵Δ＝(－48)2－4×19×24>0，∴y＝－2x＋3是“A型直线”．
三、解答题
16．(文)(2012·广东文，20)在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C1：＋＝1(a>b>0)的左焦点为F1(－1,0)，且点P(0,1)在C1上．
(1)求椭圆C1的方程；
(2)设直线l同时与椭圆C1和抛物线C2：y2＝4x相切，求直线l的方程．
[解析] (1)因为椭圆C1的左焦点为F1(－1,0)，
所以c＝1，
将点P(0,1)代入椭圆方程＋＝1，得＝1，
即b2＝1，所以a2＝b2＋c2＝2，
所以椭圆C1的方程为＋y2＝1.
(2)直线l的斜率显然存在，设直线l的方程为y＝kx＋m，
由消去y并整理得，(1＋2k2)x2＋4kmx＋2m2－2＝0，
因为直线l与椭圆C1相切，
所以Δ1＝16k2m2－4(1＋2k2)(2m2－2)＝0
整理得2k2－m2＋1＝0，①
由消去y并整理得，
k2x2＋(2km－4)x＋m2＝0，
因为直线l与抛物线C2相切，
所以Δ2＝(2km－4)2－4k2m2＝0，
整理得km＝1，②
综合①②，解得或
所以直线l的方程为y＝x＋或y＝－x－.
(理)已知椭圆C的中心在原点，一个焦点F(－2,0)，且长轴长与短轴长的比是2.
(1)求椭圆C的方程；
(2)设点M(m,0)在椭圆C的长轴上，点P是椭圆上任意一点．当||最小时，点P恰好落在椭圆的右顶点，求实数m的取值范围．
[解析] (1)设椭圆C的方程为＋＝1(a>b>0)，
由题意解得a2＝16，b2＝12.
所以椭圆C的方程为＋＝1.
(2)设P(x，y)为椭圆上的动点，由于椭圆方程为＋＝1，故－4≤x≤4.
因为＝(x－m，y)，所以||2＝(x－m)2＋y2
＝(x－m)2＋12×.
＝x2－2mx＋m2＋12＝(x－4m)2＋12－3m2.
因为当||最小时，点P恰好落在椭圆的右顶点，
即当x＝4时，||2取得最小值．而x∈[－4,4]，
故有4m≥4，解得m≥1.
又点M在椭圆的长轴上，即－4≤m≤4.
故实数m的取值范围是m∈[1,4]．
考纲要求
1．掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单性质．
2．了解圆锥曲线的简单应用．
3．理解数形结合的思想．
补充说明
1．求椭圆的方程主要有定义法和待定系数法，运用待定系数法求方程时，当椭圆的焦点位置不明确而无法确定其标准方程时，设方程为＋＝1(m>0，n>0)，可以避免讨论和繁琐的计算，也可以设为Ax2＋By2＝1(A>0，B>0)，这种形式在求解过两定点的椭圆方程时更简便．
2．用待定系数法求椭圆标准方程的一般步骤：
(1)作判断：根据条件判断椭圆的焦点在x轴上还是在y轴上，还是两个坐标轴都有可能；
(2)设方程：根据上述判断设方程＋＝1(a>b>0)或＋＝1(a>b>0)，当椭圆焦点位置不确定时，可设为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)；
(3)找关系：根据已知条件，建立方程组；
(4)写出标准方程：解方程组，将解代入所设方程，即为所求．
3．函数与方程的思想
(1)在圆锥曲线的一些求取值范围及最值的问题中，常将所求量表达为其他量的函数，运用函数的方法解决．
(2)求圆锥曲线方程时，往往是已知曲线形状特征或由已知条件可分析其几何特征，确定形状，设出其标准方程，然后设法列出关于待定系数的方程或方程组求待定系数．要注意解题过程中，设而不求、整体处理的策略和恰当运用一元二次方程根与系数的关系求解．
4．焦点三角形问题
椭圆的一条焦点弦和另一焦点围成一个三角形．习惯上称为焦点三角形，在焦点三角形中命制题目是常见命题方式，解决焦点三角形问题经常从以下几个方面入手：
①定义；②正、余弦定理；③三角形面积．
5．求椭圆的离心率时，常常要列出a、b、c的一个齐次方程，结合b2＝a2－c2，两边同除以a2化为e(e＝)的二次方程求解．
6．椭圆上点M到焦点距离的最大值为a＋c，最小值为a－c.
备选习题
1．若椭圆＋＝1过抛物线y2＝8x的焦点，且与双曲线x2－y2＝1有相同的焦点，则该椭圆的方程是( )
A.＋＝1 B.＋y2＝1
C.＋＝1 D．x2＋＝1
[答案] A
[解析] 抛物线y2＝8x的焦点坐标为(2,0)，则依题意知椭圆的右顶点的坐标为(2,0)，又椭圆与双曲线x2－y2＝1有相同的焦点，∴a＝2，c＝，
∵c2＝a2－b2，∴b2＝2，∴椭圆的方程为＋＝1.
2．椭圆＋＝1(a>b>0)的左顶点为A，左、右焦点分别为F1、F2，D是它短轴上的一个顶点，若2＝＋，则该椭圆的离心率为( )
A. B.
C. D.
[答案] B
[解析] 由2＝＋知F1是AF2的中点，
∴a－c＝2c，∴a＝3c，e＝.
3．F1、F2是椭圆＋＝1(a>b>0)的两焦点，P是椭圆上任一点，过一焦点引∠F1PF2的外角平分线的垂线，则垂足Q的轨迹为( )
A．圆 B．椭圆
C．双曲线 D．抛物线
[答案] A
[解析] ∵PQ平分∠F1PA，且PQ⊥AF1，
∴Q为AF1的中点，且|PF1|＝|PA|，
∴|OQ|＝|AF2|＝(|PA|＋|PF2|)＝a，
∴Q点轨迹是以O为圆心，a为半径的圆．
4．(2013·乌鲁木齐一诊)如图，椭圆的中心在坐标原点O，顶点分别是A1，A2，B1，B2，焦点分别为F1，F2，直线B1F2与A2B2交于P点，若∠B1PA2为钝角，则此椭圆的离心率e的取值范围为________．
[答案] (，1)
[解析] 设椭圆的方程为＋＝1(a>b>0)，∠B1PA2为钝角可转化为与所夹的角为钝角，则(a，－b)·(－c，－b)<0，得b20，即e2＋e－1>0，e>或e<，又0
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