2011高考数学一轮复习例题解析155空间直角坐标系

2011高考数学一轮复习例题解析155空间直角坐标系

‎2011高考数学一轮复习（例题解析）：15.5空间直角坐标系 A组 ‎1．(2009年高考安徽卷)在空间直角坐标系中，已知点A(1,0,2)，B(1，－3,1)，点M在y轴上，且M到A与到B的距离相等，则M的坐标是________．‎ 解析：设M的坐标为(0，y,0)，由|MA|＝|MB|得(0－1)2＋(y－0)2＋(0－2)2＝(0－1)2＋(y＋3)2＋(0－1)2，整理得6y＋6＝0，∴y＝－1，即点M的坐标为(0，－1,0)．答案：(0，－1,0)‎ ‎2．在空间直角坐标系中，以点A(4,1,9)，B(10，－1,6)，C(x,4,3)为顶点的△ABC是以BC为底边的等腰三角形，则实数x的值为________．‎ 解析：因为△ABC是以BC为底边的等腰三角形，则有|AB|＝|AC|，∴＝，化简得(x－4)2＝4，∴x＝2或6.答案：2或6‎ ‎3．已知x、y、z满足方程C：(x－3)2＋(y－4)2＋(z＋5)2＝2，则x2＋y2＋z2的最小值是________．‎ 解析：x2＋y2＋z2可看成球面上的点到原点距离的平方，其最小值为(－)2＝(4)2＝32.答案：32‎ ‎4．(2010年广州调研)与A(3,4,5)、B(－2,3,0)两点距离相等的点M(x，y，z)满足的条件是________．‎ 解析：由|MA|＝|MB|，即(x－3)2＋(y－4)2＋(z－5)2＝(x＋2)2＋(y－3)2＋z2，化简得10x＋2y＋10z－37＝0.答案：10x＋2y＋10z－37＝0‎ ‎5．(原创题)已知A(3,5，－7)和点B(－2,4,3)，点A在x轴上的射影为A′，点B在z轴上的射影为B′，则线段A′B′的长为________．‎ 解析：可知A′(3,0,0)，B′(0,0,3)，∴|A′B′|＝＝3.‎ ‎6．如图所示，正方体ABCD－A′B′C′D′的棱长为a，P、Q分别是D′B，B′C的中点，求PQ的长．‎ 解：以D为坐标原点，DA、DC、DD′分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，由题意得，B(a，a,0)，D′(0,0，a)，∵P(，，)．又C(0，a,0)，B′(a，a，a)，∴Q(，a，)．‎ ‎∴|PQ|＝ ＝.‎ B组 ‎1．已知△ABC的三个顶点坐标分别为A(2,3,1)、B(4,1，－2)、C(6,3,7)，则△ABC的重心坐标为______．‎ 解析：三角形三个顶点分别为A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，C(x3，y3，z3)，则其重心为 M，故所求重心为(4，，2)．‎ 答案：(4，，2)‎ ‎2．设点B是点A(2，－3,5)关于xOy面的对称点，则|AB|等于______．‎ 解析：点A关于xOy面的对称点为B(2，－3，－5)，∴||＝|5－(－5)|＝10.‎ ‎3．正方体不在同一表面上的两顶点A(－1,2，－1)，B(3，－2,3)，则正方体的体积为______．‎ 解析：设棱长为a，则a＝，∴a＝4，∴V＝64.‎ ‎4．(2010年江苏宜兴模拟)已知B是点A(3,7，－4)在xOy平面上的射影，则2等于______．‎ 解析：A在xOy平面上射影为B(3,0，－4)，则＝(3,0，－4)，2＝25.‎ ‎5．在z轴上与点A(－4,1,7)和点B(3,5，－2)等距离的点C的坐标为 ______.‎ 解析：设z轴上的点为(0,0，z)，则根据题意有 ＝，‎ 则17＋49－14z＝9＋25＋4＋4z，∴z＝.故该点是(0,0，)．‎ ‎6．在空间直线坐标系中，方程x2－4(y－1)2＝0表示的图形是__________．‎ 解析：x2－4(y－1)2＝0化为[x－2(y－1)][x＋2(y－1)]＝0，∴x－2y＋2＝0或x＋2y－2＝0，表示两个平面．答案：两个平面 ‎7．在空间直角坐标系中，正方体ABCD－A1B1C1D1的顶点A(3，－1,2)，其中心M的坐标为(0,1,2)，则该正方体的棱长为__________．‎ 解析：由A(3，－1,2)，中心M(0,1,2)所以C1(－3,3,2)．正方体的体对角线长为AC1＝＝2，所以正方体棱长为＝.答案： ‎8．已知ABCD为平行四边形，且A(4,1,3)、B(2，－5,1)，C(3,7，－5)，则顶点D的坐标为________．‎ 解析：由平行四边形中对角线互相平分的性质知，AC的中点即为BD的中点，AC的中点O(，4，－1)，设D(x，y，z)，则＝，4＝，－1＝，‎ ‎∴x＝5，y＝13，z＝－3，故D(5,13，－3)．‎ ‎9．如图所示，在长方体OABC－O1A1B1C1中，OA＝2，AB＝3，AA1＝2，M是OB1与BO1的交点，则M 点的坐标是______．‎ 解析：∵OA＝2，AB＝3，AA1＝2，‎ ‎∵A(2,0,0)，A1(2,0,2)，B(2,3,0)，故B1(2,3,2)．∴M点的坐标为(，，)，即M(1,1.5,1)．‎ 答案：(1,1.5,1)‎ ‎10．如图所示，直三棱柱ABC－A1B1C1中，|C1C|＝|CB|＝|CA|＝2，AC⊥CB，D、E分别是棱AB、B1C1的中点，F是AC的中点，求DE、EF的长度．‎ 解：以点C为坐标原点，CA、CB、CC1所在直线为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．‎ ‎∵|C1C|＝|CB|＝|CA|＝2，‎ ‎∴C(0,0,0)，A(2,0,0)，B(0,2,0)，C1(0,0,2)，B1(0,2,2)，‎ 由中点坐标公式可得，‎ D(1,1,0)，E(0,1,2)，F(1,0,0)，‎ ‎∴|DE|＝＝，‎ ‎|EF|＝＝.‎ ‎11．已知A(1,2，－1)，B(2,0,2)．‎ ‎(1)在x轴上求一点P，使|PA|＝|PB|；‎ ‎(2)在xOz平面内的点M到A点与到B点等距离，求M点的轨迹．‎ 解：(1)设P(a,0,0)，则由已知，得＝，‎ 即a2－2a＋6＝a2－4a＋8.解得a＝1.所以P点坐标为(1,0,0)．‎ ‎(2)设M(x,0，z)，则有＝.‎ 整理得2x＋6z－2＝0，即x＋3z－1＝0.‎ 故M点的轨迹是xOz平面内的一条直线．‎ ‎12．在正四棱锥S－ABCD中，底面边长为a，侧棱长也为a，以底面中心O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，P点在侧棱SC上，Q点在底面ABCD的对角线BD上，试求P、Q两点间的最小距离．‎ 解：由于S－ABCD是正四棱锥，所以P 点在底面上的射影R在OC上，又底面边长为a，所以OC＝a，‎ 而侧棱长也为a，所以SO＝OC，于是PR＝RC，故可设P点的坐标为(－x，x，a－x)(x>0)，又Q点在底面ABCD的对角线BD上，所以可设Q点的坐标为(y，y,0)，因此P、Q两点间的距离PQ＝ ‎＝ ，显然当x＝，y＝0时d取得最小值，d的最小值等于，这时，点P恰好为SC的中点，点Q恰好为底面的中心．‎