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文档介绍
2014年版高考数学理31直接证明与间接证明二轮考点专练
考点31 直接证明与间接证明 1.(2013·北京高考理科·T20)已知{an}是由非负整数组成的无穷数列,该数列前n项的最大值记为An,第n项之后各项,…的最小值记为Bn,dn=An-Bn. (1)若{an}为2,1,4,3,2,1,4,3…,是一个周期为4的数列(即对任意n∈N*,),写出d1,d2,d3,d4的值; (2)设d为非负整数,证明:dn=-d(n=1,2,3…)的充分必要条件为{an}为公差为d的等差数列; (3)证明:若a1=2,dn=1(n=1,2,3…),则{an}的项只能是1或2,且有无穷多项为1 【解题指南】(1)根据{dn}的定义求. (2)充分性:先证明{an}是不减数列,再利用定义求dn; 必要性:先证明{an}是不减数列,再利用定义证明等差. (3)可通过取特殊值和反证法进行证明. 【解析】(1),, ,。 (2) 充分性: 若为公差为的等差数列,则. 因为是非负整数,所以是常数列或递增数列. ,, (n=1,2,3,…). 必要性: 若,假设是第一个使得的项,则 ,, ,这与矛盾. 所以是不减数列. ,即, 是公差为的等差数列. (3)①首先中的项不能是0,否则,与已知矛盾. ②中的项不能超过2,用反证法证明如下: 若中有超过2的项,设是第一个大于2的项, 中一定存在项为1,否则与矛盾. 当时,,否则与矛盾. 因此存在最大的i在2到k-1之间,使得, 此时,矛盾. 综上中没有超过2的项. 综合①②,中的项只能是1或2. 下面证明1有无数个,用反证法证明如下: 若为最后一个1,则,矛盾. 因此1有无数个. 2.(2013·北京高考文科·T20)给定数列a1,a2,…,an。对i=1,2,…n-l,该数列前i项的最大值记为Ai,后n-i项ai+1,ai+2,…,an的最小值记为Bi,di=Ai-Bi. (1)设数列{an}为3,4,7,1,写出d1,d2,d3的值. (2)设a1,a2,…,an(n≥4)是公比大于1的等比数列,且a1>0.证明:d1,d2,…dn-1是等比数列。 (3)设d1,d2,…dn-1是公差大于0的等差数列,且d1>0,证明:a1,a2,…,an-1是等差数列。 【解题指南】(1)利用di的公式,求d1,d2,d3的值. (2)先求出{dn}的通项,再利用等比数列的定义证明{dn}是等比数列. (3)先证明{an}是单调递增数列,再证明an是数列{an}的最小项,最后证明{an}是等差数列. 【解析】(1),,。 (2)由是公比大于1的等比数列,且a1>0,可得的通项为且为单调递增数列。 于是当时,为定值。 因此d1,d2,…dn-1构成首项,公比的等比数列。 (3)若d1,d2,…,dn-1是公差大于0的等差数列,则0查看更多