2014年版高考数学理31直接证明与间接证明二轮考点专练

申明敬告: 本站不保证该用户上传的文档完整性,不预览、不比对内容而直接下载产生的反悔问题本站不予受理。

文档介绍

2014年版高考数学理31直接证明与间接证明二轮考点专练

考点31 直接证明与间接证明 ‎1.(2013·北京高考理科·T20)已知{an}是由非负整数组成的无穷数列,该数列前n项的最大值记为An,第n项之后各项,…的最小值记为Bn,dn=An-Bn.‎ ‎(1)若{an}为2,1,4,3,2,1,4,3…,是一个周期为4的数列(即对任意n∈N*,),写出d1,d2,d3,d4的值;‎ ‎(2)设d为非负整数,证明:dn=-d(n=1,2,3…)的充分必要条件为{an}为公差为d的等差数列;‎ ‎(3)证明:若a1=2,dn=1(n=1,2,3…),则{an}的项只能是1或2,且有无穷多项为1‎ ‎【解题指南】(1)根据{dn}的定义求.‎ ‎(2)充分性:先证明{an}是不减数列,再利用定义求dn;‎ 必要性:先证明{an}是不减数列,再利用定义证明等差.‎ ‎(3)可通过取特殊值和反证法进行证明.‎ ‎【解析】(1),,‎ ‎,。‎ (2) 充分性:‎ 若为公差为的等差数列,则.‎ 因为是非负整数,所以是常数列或递增数列.‎ ‎,,‎ ‎(n=1,2,3,…).‎ 必要性:‎ 若,假设是第一个使得的项,则 ‎,,‎ ‎,这与矛盾.‎ 所以是不减数列.‎ ‎,即,‎ 是公差为的等差数列.‎ ‎(3)①首先中的项不能是0,否则,与已知矛盾.‎ ‎②中的项不能超过2,用反证法证明如下:‎ 若中有超过2的项,设是第一个大于2的项,‎ 中一定存在项为1,否则与矛盾.‎ 当时,,否则与矛盾.‎ 因此存在最大的i在2到k-1之间,使得,‎ 此时,矛盾.‎ 综上中没有超过2的项.‎ 综合①②,中的项只能是1或2.‎ 下面证明1有无数个,用反证法证明如下:‎ 若为最后一个1,则,矛盾.‎ 因此1有无数个. ‎ ‎2.(2013·北京高考文科·T20)给定数列a1,a2,…,an。对i=1,2,…n-l,该数列前i项的最大值记为Ai,后n-i项ai+1,ai+2,…,an的最小值记为Bi,di=Ai-Bi.‎ ‎(1)设数列{an}为3,4,7,1,写出d1,d2,d3的值.‎ ‎(2)设a1,a2,…,an(n≥4)是公比大于1的等比数列,且a1>0.证明:d1,d2,…dn-1是等比数列。‎ ‎(3)设d1,d2,…dn-1是公差大于0的等差数列,且d1>0,证明:a1,a2,…,an-1是等差数列。‎ ‎【解题指南】(1)利用di的公式,求d1,d2,d3的值.‎ ‎(2)先求出{dn}的通项,再利用等比数列的定义证明{dn}是等比数列.‎ ‎(3)先证明{an}是单调递增数列,再证明an是数列{an}的最小项,最后证明{an}是等差数列.‎ ‎【解析】(1),,。‎ ‎(2)由是公比大于1的等比数列,且a1>0,可得的通项为且为单调递增数列。‎ 于是当时,为定值。‎ 因此d1,d2,…dn-1构成首项,公比的等比数列。‎ ‎(3)若d1,d2,…,dn-1是公差大于0的等差数列,则00矛盾.‎ 因而k≥2,此时考虑dk-1=Ak-1-Bk-1=ak-1-ak<0,矛盾.‎ 因此,an为数列{an}中的最小项.‎ 综上,dk=Ak-Bk=ak-an(k=1,2,…,n-1),于是ak=dk+an,‎ 从而a1,a2,…,an-1是等差数列.‎
查看更多

相关文章

您可能关注的文档