高考数学大题专题练习——三角函数一含解析

高考数学大题专题练习——三角函数一含解析

‎2019-2020年高考数学大题专题练习——三角函数（一）‎ 1. ‎【山东肥城】已知函数，.‎ ‎（1）求函数的对称中心；‎ ‎（2）已知在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c，且，的外接圆半径为，求△ABC周长的最大值.‎ ‎【解析】‎ ‎.‎ ‎（1）令（），则（），‎ 所以函数的对称中心为；‎ ‎（2）由，得，即，‎ 整理得，‎ 由正弦定理得：，‎ 化简得，‎ 又因为，‎ 所以，即，‎ 由，得，‎ 所以，即，‎ 又的外接圆的半径为，‎ 所以，由余弦定理得 ‎，即，‎ 当且仅当时取等号，所以周长的最大值为9.‎ ‎2.【河北衡水】已知函数，满足，且当时，在取得最大值为.‎ ‎（1）求函数在的单调递增区间；‎ ‎（2）在锐角△ABC的三个角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，求的取值范围.‎ ‎【解析】‎ ‎（1）易得，整体法求出单调递增区间为，；‎ ‎（2）易得，则由余弦定理可得，‎ 由正弦定理可得，所以.‎ ‎3.【山东青岛】已知向量，，，设函数.‎ ‎（1）求f(x)的最小正周期；‎ ‎（2）求函数f(x)的单调递减区间；‎ ‎（3）求f(x)在上的最大值和最小值.‎ ‎【解析】‎ ‎ ‎ ‎.‎ ‎（1）的最小正周期为，即函数的最小正周期为.‎ ‎（2）函数单调递减区间：‎ ‎，，‎ 得：，，‎ ‎∴所以单调递减区间是，.‎ ‎（3）∵，‎ ‎∴.‎ 由正弦函数的性质，‎ 当，即时，取得最大值.‎ 当，即时，，‎ 当，即时，，‎ ‎∴的最小值为.‎ 因此，在上的最大值是，最小值是.‎ ‎4.【浙江余姚】已知函数.‎ ‎（1）求函数f(x)的最小正周期；‎ ‎（2）求f(x)在上的最大值和最小值．‎ ‎【解析】‎ ‎（1）由题意得 ‎ ‎ 的最小正周期为 ‎（2），‎ 当，即时，；‎ 当，即时， ‎ 综上，得时，取得最小值，为0；‎ 当时，取得最大值，为 ‎5.【山东青岛】△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．‎ ‎（1）求cosB；‎ ‎（2）如图，D为△ABC外一点，若在平面四边形ABCD中，，且，，，求AB的长．‎ ‎【解析】‎ 解：（1）在中，由正弦定理得， ‎ 又，所以，‎ 故，‎ 所以，‎ 又，所以，故 ‎（2），‎ 又在中， ， ‎ ‎∴由余弦定理可得，‎ ‎∴，‎ 在中， ， ， ，‎ ‎∴由余弦定理可得，‎ 即，化简得，解得．‎ 故的长为．‎ ‎6.【江苏泰州】如图，在△ABC中，，，.P是△ABC内一点，且.‎ ‎（1）若，求线段AP的长度；‎ ‎（2）若，求△ABP的面积.‎ ‎【解析】‎ ‎（1）因为，所以在中，‎ ‎，，，所以，‎ 在中，，，，所以 ‎，所以；‎ ‎（2）设，则，在中，，，，‎ 所以，在中，，，，，‎ 由正弦定理得：‎ ‎，又 ‎.‎ ‎8.【辽宁抚顺】已知向量，，‎ ‎（1）求出f(x)的解析式，并写出f(x)的最小正周期，对称轴，对称中心；‎ ‎（2）令，求h(x)的单调递减区间；‎ ‎（3）若，求f(x)的值．‎ ‎【解析】‎ ‎（1）‎ 所以的最小正周期，对称轴为 对称中心为 ‎（2）‎ ‎ 令 得 ‎ 所以的单调减区间为 ‎（3）若//，则 即 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎9.【辽宁抚顺】已知函数，．‎ ‎（1）求函数的最小正周期及在区间上的最大值和最小值；‎ ‎（2）若，x0，求cos 2x0的值．‎ ‎【解析】‎ ‎（1）由f(x)＝2sin xcos x＋2cos2x－1，‎ 得f(x)＝ (2sin xcos x)＋(2cos2x－1)‎ ‎＝sin 2x＋cos 2x＝2sin，‎ 所以函数f(x)的最小正周期为π 所以函数f(x)在区间上的最大值为2，最小值为－1‎ ‎（2）由（1）可知f(x0)＝2sin 又因为f(x0)＝，所以sin＝.‎ 由x0∈，得2x0＋∈‎ 从而cos＝＝－‎ 所以cos 2x0＝cos＝coscos＋sinsin ‎＝‎ ‎10.【广西桂林】已知.‎ ‎（1）求函数的最小正周期；‎ ‎（2）常数，若函数在区间上是增函数，求的取值范围；‎ ‎（3）若函数在的最大值为2，求实数的值.‎ ‎【解析】‎ ‎（1）‎ ‎. p ‎∴.‎ ‎（2）.‎ 由得，‎ ‎∴的递增区间为 ‎∵在上是增函数，‎ ‎∴当时，有.‎ ‎∴解得 ‎∴的取值范围是.‎ ‎（3）.‎ 令，则.‎ ‎∴.‎ ‎∵，由得，‎ ‎∴.‎ ‎①当，即时，在处.‎ 由，解得（舍去).‎ ‎②当，即时，，由 得解得或（舍去）.‎ ‎③当，即时，在处，由得.‎ 综上，或为所求.‎ ‎11.【江苏无锡】如图所示，△ABC是临江公园内一个等腰三角形形状的小湖（假设湖岸是笔直的），其中两腰米，.为了给市民营造良好的休闲环境，公园管理处决定在湖岸AC，AB上分别取点E，F（异于线段端点），在湖上修建一条笔直的水上观光通道EF（宽度不计），使得三角形AEF和四边形BCEF的周长相等.‎ ‎（1）若水上观光通道的端点E为线段AC的三等分点（靠近点C），求此时水上观光通道EF的长度；‎ ‎（2）当AE为多长时，观光通道EF的长度最短？并求出其最短长度.‎ ‎【解析】‎ ‎（1）在等腰中，过点作于，‎ 在中，由，即，∴，，‎ ‎∴三角形和四边形的周长相等.‎ ‎∴，即，‎ ‎∴.‎ ‎∵为线段的三等分点（靠近点），∴，，‎ 在中，，‎ ‎∴米.‎ 即水上观光通道的长度为米.‎ ‎（2）由（1）知，，设，，在中，由余弦定理，得 ‎.‎ ‎∵，∴.‎ ‎∴，当且仅当取得等号，‎ 所以，当米时，水上观光通道的长度取得最小值，最小值为米.‎ ‎12.【江苏苏州】如图，长方形材料ABCD中，已知，.点P为材料ABCD内部一点，于，于，且，. 现要在长方形材料ABCD中裁剪出四边形材料AMPN，满足，点M、N分别在边AB，AD上.‎ ‎（1）设，试将四边形材料AMPN的面积表示为的函数，并指明的取值范围；‎ ‎（2）试确定点N在AD上的位置，使得四边形材料AMPN的面积S最小，并求出其最小值.‎ ‎【解析】‎ ‎（1）在直角中，因为，，‎ 所以，‎ 所以，‎ 在直角中，因为，，‎ 所以，‎ 所以，‎ 所以，.‎ ‎（2）因为，‎ 令，由，得，‎ 所以，‎ 当且仅当时，即时等号成立，‎ 此时，，，‎ 答：当时，四边形材料的面积最小，最小值为.‎ ‎13.【江苏苏州】如图，在平面四边形ABCD中，，，AB=1.‎ ‎（1）若，求△ABC的面积；‎ ‎（2）若，，求CD的长度.‎ ‎【解析】‎ ‎（1）因为，所以，‎ 即，‎ 又因为，，所以，则，‎ 所以.‎ ‎（2）在中，由余弦定理得：‎ ‎，‎ 解得：，‎ 在中，由正弦定理得：‎ ‎，即，‎ 所以，‎ 在中，由余弦定理得：‎ ‎，即 .‎ ‎14.【山东栖霞】已知函数的部分图象如图所示，B，C分别是图象的最低点和最高点，.‎ ‎（1）求函数f(x)的解析式；‎ ‎（2）将函数的图象向左平移个单位长度，再把所得图象上各点横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）得到函数的图象，求函数的单调递增区间.‎ ‎【解析】‎ ‎（1）由图象可得： ，所以的周期.‎ 于是，得，‎ 又，∴∴，‎ 又将代入得，，‎ 所以，即，‎ 由得，，‎ ‎∴.‎ ‎（2）将函数的图象沿轴方向向左平移个单位长度，‎ 得到的图象对应的解析式为：，‎ 再把所得图象上各点横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到的图象对应的解析式为，‎ 由，得,，,‎ ‎∴函数的单调递增区间为.‎ ‎15.【山东滕州】已知函数 的部分图象如图所示.‎ ‎（1）求函数的解析式；‎ ‎（2）把函数图象上点的横坐标扩大到原来的倍（纵坐标不变），再向左平移个单位，得到函数的图象，求关于的方程在时所有的实数根之和.‎ ‎【解析】‎ ‎（1）由图象知，函数的周期，故.‎ 点在函数图象上，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ 解得：，，‎ 即，，‎ 又，从而.‎ 点在函数图象上，可得：，‎ ‎∴.‎ 故函数的解析式为：.‎ ‎（2）依题意，得.‎ ‎∵的周期，‎ ‎∴在内有个周期.‎ 令，，‎ 解得，，‎ 即函数的对称轴为，.‎ 又，则，‎ 所以在内有个实根，‎ 不妨从小到大依次设为.‎ 则，，‎ 故在时所有的实数根之和为：‎ ‎.‎