新课标全国卷五年高考数列汇编附答案

新课标全国卷五年高考数列汇编附答案

‎1.[2014·新课标全国卷Ⅰ]‎ 已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，an≠0，anan＋1＝λSn－1，其中λ为常数．‎ ‎(1)证明：an＋2－an＝λ.‎ ‎(2)是否存在λ，使得{an}为等差数列？并说明理由．‎ ‎2.[2014·新课标全国卷2]‎ 已知数列满足=1，.‎ ‎（Ⅰ）证明是等比数列，并求的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）证明：.‎ ‎3.[2013·新课标全国卷1]‎ 设等差数列的前项和为，则()‎ A.3 B.4 C.5 D.6‎ ‎4.[2013·新课标全国卷1]‎ 设的三边长分别为，的面积为，，若，，则( )‎ A.{Sn}为递减数列 B.{Sn}为递增数列 ‎ C.{S2n－1}为递增数列，{S2n}为递减数列 ‎ D.{S2n－1}为递减数列，{S2n}为递增数列 ‎5.[2013·新课标全国卷1]‎ 若数列{}的前n项和为Sn＝，则数列{}的通项公式是=______.‎ ‎6.(2013课标全国Ⅱ，理3)‎ 等比数列{an}的前n项和为Sn.已知S3＝a2＋10a1，a5＝9，则a1＝()．‎ A．B．C．D．‎ ‎7.(2013课标全国Ⅱ，理16)‎ 等差数列{an}的前n项和为Sn，已知S10＝0，S15＝25，则nSn的最小值为__________．‎ 8. ‎[2012新课标全国卷]‎ 已知为等比数列，，，则（）‎ 9. ‎[2012新课标全国卷]‎ 数列满足，则的前项和为 ‎10.[2010新课标全国卷]‎ 设数列满足 （1） 求数列的通项公式；‎ （2） 令，求数列的前n项和 ‎11、（2015全国1卷17题）为数列{}的前项和.已知＞0，=.‎ ‎（Ⅰ）求{}的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）设 ,求数列{}的前项和.‎ ‎12、（2015全国2卷4题）已知等比数列满足a1=3， =21，则 （ ）‎ A．21 B．42 C．63 D．84‎ ‎．‎ ‎13、（2015全国2卷16题）设是数列的前n项和，且，，则________．‎ ‎14、（2016全国1卷3题）已知等差数列前9项的和为27,,则 （ ）‎ ‎（A）100 （B）99 （C）98 （D）97‎ ‎15、（2016全国2卷15题）设等比数列满足a1+a3=10,a2+a4=5,则a‎1a2 …an的最大值为 ．‎ ‎16、（2016全国2卷17题）为等差数列的前n项和，且，．记，其中表示不超过x的最大整数，如，．‎ ‎（Ⅰ）求，，；‎ ‎（Ⅱ）求数列的前项和．‎ ‎17、（2016全国3卷17题）已知数列的前n项和，其中．‎ ‎（I）证明是等比数列，并求其通项公式； ‎ ‎（II）若 ，求．‎ ‎18、（2017年国1卷4题）记为等差数列的前项和，若，则的公差为（）A．1 B．2 C．4 D．8‎ ‎19、（2017全国2卷3题）我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（ ）‎ A．1盏 B．3盏 C．5盏 D．9盏 ‎20、（2017全国2卷15题）等差数列的前项和为，，，则 ．‎ ‎21、（2017全国3卷9题）等差数列的首项为1，公差不为0．若，，成等比数列，则前6项的和为（）‎ A． B． C．3 D．8‎ ‎12、（2017全国3卷14题）设等比数列满足，，则________．‎ ‎．‎ 详细解析 ‎1.解：(1)证明：由题设，anan＋1＝λSn－1，an＋1an＋2＝λSn＋1－1，‎ 两式相减得an＋1(an＋2－an)＝λan＋1.‎ 因为an＋1≠0，所以an＋2－an＝λ.‎ ‎(2)由题设，a1＝1，a1a2＝λS1－1，可得a2＝λ－1，‎ 由(1)知，a3＝λ＋1.‎ 若{an}为等差数列，则2a2＝a1＋a3，解得λ＝4，故an＋2－an＝4.‎ 由此可得{a2n－1}是首项为1，公差为4的等差数列，‎ a2n－1＝4n－3；‎ ‎{a2n}是首项为3，公差为4的等差数列，a2n＝4n－1.‎ 所以an＝2n－1，an＋1－an＝2.‎ 因此存在λ＝4，使得数列{an}为等差数列．‎ ‎2.解：‎ ‎(2)‎ ‎3.【解析】有题意知==0，∴=－=－（-）=－2，‎ ‎=-=3，∴公差=-=1，∴3==－，∴=5，故选C.‎ ‎4.B ‎5.【解析】当=1时，==，解得=1，‎ 当≥2时，==－()=，即=，‎ ‎∴{}是首项为1，公比为－2的等比数列，∴=.‎ ‎6.答案：C 解析：设数列{an}的公比为q，若q＝1，则由a5＝9，得a1＝9，此时S3＝27，而a2＋10a1＝99，不满足题意，因此q≠1.‎ ‎∵q≠1时，S3＝＝a1·q＋10a1，‎ ‎∴＝q＋10，整理得q2＝9.‎ ‎∵a5＝a1·q4＝9，即81a1＝9，∴a1＝.‎ ‎7.答案：－49‎ 解析：设数列{an}的首项为a1，公差为d，则S10＝＝10a1＋45d＝0，①‎ S15＝＝15a1＋105d＝25.②‎ 联立①②，得a1＝－3，，‎ 所以Sn＝.‎ 令f(n)＝nSn，则，.‎ 令f′(n)＝0，得n＝0或.‎ 当时，f′(n)＞0,时，f′(n)＜0，所以当时，f(n)取最小值，而n∈N＋，则f(6)＝－48，f(7)＝－49，所以当n＝7时，f(n)取最小值－49.‎ ‎8.【解析】选 ‎，或 ‎9.【解析】的前项和为 可证明：‎ ‎10.解：（Ⅰ）由已知，当n≥1时，‎ ‎。‎ 而 所以数列{}的通项公式为。‎ ‎（Ⅱ）由知 ‎①‎ 从而 ‎②‎ ‎①-②得 ‎。‎ 即 ‎11，试题解析：（Ⅰ）当时，，因为，所以=3，‎ 当时，==，即，因为，所以=2，‎ 所以数列{}是首项为3，公差为2的等差数列，‎ 所以=；‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，=，‎ 所以数列{}前n项和为= =.‎ ‎12【解析】设等比数列公比为，则，又因为，所以，解得，所以，故选B ‎13．【解析】由已知得，两边同时除以，得 ‎，故数列是以为首项，为公差的等差数列，则，所以．‎ ‎14试题分析：由已知,所以 故选C.‎ ‎15，试题分析：设等比数列的公比为,由得,,解得.所以,于是当或时,取得最大值.‎ ‎16【解析】⑴设的公差为，，‎ ‎∴，∴，∴．‎ ‎∴，，．‎ ‎⑵记的前项和为，则 ‎．‎ 当时，；‎ 当时，；‎ ‎ 当时，；‎ 当时，．‎ ‎∴．‎ 由，得，所以.‎ 因此是首项为，公比为的等比数列，于是．‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）得，由得，即，‎ 解得．‎ ‎18， 联立求得 得选C ‎19，【解析】一座7层塔共挂了381盏灯，即；相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，即，塔的顶层为；由等比前项和可知：，解得.‎ ‎20.【解析】∵ ， ，∴ ‎ ‎∵ ，∴ ∴ ‎ ‎∵ ∴ ∴ ‎ ‎∴ ‎ ‎∴ ‎ ‎21.【解析】∵为等差数列，且成等比数列，设公差为.‎ ‎ 则，即 ‎ 又∵，代入上式可得 ‎ 又∵，则 ‎ ∴，故选A.‎ ‎22.【解析】为等比数列，设公比为．‎ ‎，即，‎ 显然，，‎ 得，即，代入式可得，‎