高考山东理科数学试题及答案word解析版

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高考山东理科数学试题及答案word解析版

‎2014年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷)‎ 数学(理科)‎ 第Ⅰ卷(共50分)‎ 一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.‎ ‎(1)【2014年山东,理1,5分】已知,是虚数单位,若与互为共轭复数,则( )‎ ‎(A) (B) (C) (D)‎ ‎【答案】D ‎【解析】与互为共轭复数,,故选D.‎ ‎(2)【2014年山东,理2,5分】设集合,,则( )‎ ‎(A) (B) (C) (D)‎ ‎【答案】C ‎【解析】,,,,,,,故选C.‎ ‎(3)【2014年山东,理3,5分】函数的定义域为( )‎ ‎(A) (B) (C) (D)‎ ‎【答案】C ‎【解析】或 或,故选C.‎ ‎(4)【2014年山东,理4,5分】用反证法证明命题“设,则方程至少有一个实根”时要做的假设是( )‎ ‎ (A)方程没有实根 (B)方程至多有一个实根 ‎(C)方程至多有两个实根 (D)方程恰好有两个实根 ‎【答案】A ‎【解析】反证法证明问题时,反设实际是命题的否定,∴用反证法证明命题“设,为实数,则方程至少有一个实根”时,要做的假设是:方程没有实根,故选A.‎ ‎(5)【2014年山东,理5,5分】已知实数满足,则下列关系式恒成立的是( )‎ ‎ (A) (B) (C) (D)‎ ‎【答案】D ‎【解析】,排除A,B,对于C,是周期函数,排除C,故选D.‎ ‎(6)【2014年山东,理6,5分】直线与曲线在第一象限内围成的封闭图形的面积为( )‎ ‎(A) (B) (C)2 (D)4‎ ‎【答案】D ‎ ‎【解析】,,解得直线和曲线的交点为,,,第一象限面积,故选D.‎ ‎(7)【2014年山东,理7,5分】为了研究某药厂的疗效,选取若干名志愿者进行临床 试验,所有志愿者的舒张压数据(单位:)的分组区间为[12,13),[13,14),‎ ‎[14,15),[15,16),[16,17],将其按从左到右的顺序分别编号为第一组,第二组,……,‎ 第五组,右图是根据试验数据制成的频率分布直方图,已知第一组与第二组共有 ‎20人,第三组中没有疗效的有6人,则第三组中有疗效的人数为( )‎ ‎(A)6 (B)8 (C)12 (D)18‎ ‎【答案】C ‎【解析】第一组与第二组频率之和为,,,,故选C.‎ ‎(8)【2014年山东,理8,5分】已知函数,.若方程有两个不相等的实根,则实数的取值范围是( )‎ ‎(A) (B) (C) (D)‎ ‎【答案】B ‎【解析】画出的图象最低点是,过原点和时斜率最小为,斜率最大时的斜率与的斜率一致,故选B.‎ ‎(9)【2014年山东,理9,5分】已知满足的约束条件,当目标函数在该约束条件下取得最小值时,的最小值为( )‎ ‎(A)5 (B)4 (C) (D)2‎ ‎【答案】B ‎【解析】求得交点为,则,即圆心到直线的距离的平方,故选B.‎ ‎(10)【2014年山东,理10,5分】已知,椭圆的方程为,双曲线的方程为,与的离心率之积为,则的渐近线方程为( )‎ ‎ (A) (B) (C) (D)‎ ‎【答案】A ‎ ‎【解析】,,,,故选A.‎ 第II卷(共100分)‎ 二、填空题:本大题共5小题,每小题5分 ‎(11)【2014年山东,理11,5分】执行下面的程序框图,若输入的的值为1,则输出的的值 为 .‎ ‎【答案】3‎ ‎【解析】根据判断条件,得,输入,‎ 第一次判断后循环,;‎ 第二次判断后循环,;‎ 第三次判断后循环,;‎ 第四次判断不满足条件,退出循环,输出.‎ ‎(12)【2014年山东,理12,5分】在中,已知,当时,的面积为 .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由条件可知,当,,.‎ ‎(13)【2014年山东,理13,5分】三棱锥中,,分别为,的中点,记三棱锥的体积为,的体积为,则 .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】分别过向平面做高,由为的中点得,由为的中点得,‎ 所以.‎ ‎(14)【2014年山东,理14,5分】若的展开式中项的系数为20,则的最小值为 .‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】将展开,得到,令.由,得,‎ 所以.‎ ‎(15)【2014年山东,理15,5分】已知函数,对函数,定义关于的“对称函数”为函数,满足:对任意,两个点关于点对称,若是关于的“对称函数”,且恒成立,则实数的取值范围是 .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据图像分析得,当与在第二象限相切时,,由恒成立得.‎ ‎ 三、解答题:本大题共6题,共75分.‎ ‎(16)【2014年山东,理16,12分】已知向量,函数,且的图像过点和点. ‎(1)求的值;‎ ‎(2)将的图像向左平移个单位后得到函数的图像,若图像上各最 高点到点的距离的最小值为1,求的单调递增区间.‎ 解:(1)已知,过点,,‎ ‎,,解得.‎ ‎ (2),左移后得到.‎ 设的对称轴为,解得,,解得.‎ ‎..‎ ‎ .的单调增区间为.‎ ‎(17)【2014年山东,理17,12分】如图,在四棱柱中, 底面是等腰 梯形,,,是线段的中点.‎ ‎(1)求证:;‎ ‎(2)若垂直于平面且,求平面和平面所成的角(锐角)‎ 的余弦值.‎ 解:(1)连接,为四棱柱,,,, ‎ ‎,,为平行四边形,,又, ‎ ‎,.‎ ‎(2)解法一:‎ ‎,,,作,连接,‎ 则即为所求二面角,在中, ,‎ 在中,,, .‎ 解法二:‎ 作于点以为原点,为轴,为轴,为轴建立空间坐标系,‎ ‎,‎ 设平面的法向量为,,,‎ 显然平面的法向量为,,显然二面角为锐角,‎ 所以平面和平面所成角的余弦值为,.‎ ‎(18)【2014年山东,理18,12分】乒乓球台面被球网分成甲、乙两部分.如图,甲上有两个不相交的区域,,乙被划分为两个不相交的区域,.某次测试要求队员接到落点在甲上的来球后向乙回球.规定:回球一次,落点在上的概率为,在上的概率为.假设共有两次来球且落在上各一次,小明的两次回球互不影响.求:‎ ‎(1)小明两次回球的落点中恰有一次的落点在乙上的概率;‎ ‎(2)两次回球结束后,小明得分之和的分布列与数学期望.‎ 解:(1)设恰有一次的落点在乙上这一事件为,.‎ ‎(2)的可能取值为,;;;‎ ‎;;. ‎ 的分布列为:‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎6‎ ‎.‎ ‎(19)【2014年山东,理19,12分】已知等差数列的公差为2,前项和为,且,,成等比数列.‎ ‎(1)求数列的通项公式;‎ ‎(2)令,求数列的前项和.‎ 解:(1),,,成等比,,解得.‎ ‎(2),当为偶数时,‎ ‎,,‎ 当为奇数时,‎ ‎,.‎ ‎(20)【2014年山东,理20,12分】设函数(为常数,是自然对数的底数).‎ ‎(1)当时,求函数的单调区间;‎ ‎(2)若函数在内存在两个极值点,求k的取值范围.‎ 解:(1),当时,,,‎ ‎ 令,则.当时,单调递减;当时,单调递增.‎ ‎(2)令,则,,.,,‎ ‎,,‎ 综上:的取值范围为.‎ ‎(21)【2014年山东,理21,14分】已知抛物线的焦点为,为上异 于原点的任意一点,过点的直线交于另一点,交轴的正半轴于点,且有,当点的横坐标为3时,为正三角形. ‎ ‎(1)求的方程;‎ ‎(2)若直线,且和有且只有一个公共点.‎ ‎(ⅰ)证明直线过定点,并求出定点坐标;‎ ‎ (ⅱ)的面积是否存在最小值?若存在,请求出最小值;若不存在,请说明理由.‎ 解:(1)由题意知.设,则的中点为.因为,‎ 由抛物线的定义知:,解得或(舍去).由,解得.‎ 所以抛物线的方程为.‎ ‎(2)(ⅰ)由(1)知.设,,因为,则,‎ ‎ 由得,故.故直线和直线平行,设直线的方程为,‎ ‎ 代入抛物线方程得:,由题意,得.设,‎ 则,.当时,,可得直线的方程为:‎ ‎,由,整理可得:,直线恒过点.‎ 当时,直线的方程为,过点.所以直线过定点.‎ ‎(ⅱ)由(ⅰ)知直线过焦点,所以.‎ ‎ 设直线的方程为,因为点在直线上,故.设,‎ ‎ 直线的方程为,由于,可得,代入抛物线方程得:‎ ‎ .所以,可求得,.‎ ‎ 所以点到直线的距离为:,‎ ‎ 则的面积,当且仅当,即时等号成立.‎ ‎ 所以的面积的最小值为16.‎
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