高考圆锥曲线中的最值和范围问题的专题

高考圆锥曲线中的最值和范围问题的专题

高考专题 圆锥曲线中的最值和范围问题 ‎★★★高考要考什么 ‎1　圆锥曲线的最值与范围问题 ‎(1)圆锥曲线上本身存在的最值问题：‎ ‎①椭圆上两点间最大距离为2a(长轴长)．‎ ‎②双曲线上不同支的两点间最小距离为2a(实轴长)．‎ ‎③椭圆焦半径的取值范围为[a－c，a＋c]，a－c与a＋c分别表示椭圆焦点到椭圆上的点的最小距离与最大距离．‎ ‎④抛物线上的点中顶点与抛物线的准线距离最近．‎ ‎(2)圆锥曲线上的点到定点的距离的最值问题，常用两点间的距离公式转化为区间上的二次函数的最值问题解决，有时也用圆锥曲线的参数方程，化为三角函数的最值问题或用三角形的两边之和(或差)与第三边的不等关系求解．‎ ‎(3)圆锥曲线上的点到定直线的距离的最值问题解法同上或用平行切线法．‎ ‎(4)点在圆锥曲线上(非线性约束条件)的条件下，求相关式子(目标函数)的取值范围问题，常用参数方程代入转化为三角函数的最值问题，或根据平面几何知识或引入一个参数(有几何意义)化为函数进行处理．‎ ‎(5)由直线(系)和圆锥曲线(系)的位置关系，求直线或圆锥曲线中某个参数(系数)的范围问题，常把所求参数作为函数，另一个元作为自变量求解．‎ 与圆锥曲线有关的最值和范围问题的讨论常用以下方法解决：‎ ‎（1）结合定义利用图形中几何量之间的大小关系；‎ ‎（2）不等式（组）求解法：利用题意结合图形（如点在曲线内等）列出所讨论的参数适合的不等式（组），通过解不等式组得出参数的变化范围；‎ ‎（3）函数值域求解法：把所讨论的参数作为一个函数、一个适当的参数作为自变量来表示这个函数，通过讨论函数的值域来求参数的变化范围。‎ ‎（4）利用代数基本不等式。代数基本不等式的应用，往往需要创造条件，并进行巧妙的构思；‎ ‎（5）结合参数方程，利用三角函数的有界性。直线、圆或椭圆的参数方程，它们的一个共同特点是均含有三角式。因此，它们的应用价值在于：‎ ‎① 通过参数θ简明地表示曲线上点的坐标；‎ ‎② 利用三角函数的有界性及其变形公式来帮助求解诸如最值、范围等问题；‎ ‎（6）构造一个二次方程，利用判别式D³0。‎ ‎★★★突破重难点 ‎【练习】1、 点A（3，2）为定点，点F是抛物线y2=4x的焦点，点P在抛物线y2=4x上移动，若|PA|+|PF|取得最小值，求点P的坐标。若A（1，3）为定点，点F是抛物线y2=4x的焦点，点P在抛物线y2=4x上移动，若|PA|+d|取得最小值，其中d是点P到准线的距离，求点P的坐标 ‎2．已知A（3，2）、B（－4，0），P是椭圆上一点，则|PA|＋|PB|的最大值为（ ）‎ A．10 B． C． D．‎ ‎3．已知双曲线，过其右焦点F的直线l交双曲线于AB，若|AB|=5，则直线l有（ ）‎ A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 ‎4．已知点P是抛物线y2=4x上一点，设P到此抛物线的准线的距离为d1, 到直线x+2y+10=0的距离为d2,则d1+d2的最小值为 （ ）‎ A．5 B．4 C． （D）.‎ ‎5．抛物线y2=2x上到直线x-y+3=0距离最短的点的坐标为__________ ，1）‎ 例题1、若点O和点F分别为椭圆＋＝1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则·的最大值为(　　)‎ A．2 B．‎3 ‎‎ C．6 D．8 ‎ 练习、已知点M(-2，0)，N(2,0)，动点P满足条件.记动点的轨迹为W.‎ ‎（Ⅰ）求W的方程；‎ ‎（Ⅱ）若A，B是W上的不同两点，O是坐标原点，求的最小值.‎ ‎（2014·新课标全国卷Ⅰ] 已知点A(0，－2)，椭圆E：＋＝1(a>b>0)的离心率为，F是椭圆E的右焦点，直线AF的斜率为，O为坐标原点．‎ ‎(1)求E的方程；‎ ‎(2)设过点A的动直线l与E相交于P，Q两点，当△OPQ的面积最大时，求l的方程．‎ 例题2、已知动点Q与两定点(－，0)，(，0)连线的斜率的乘积为－，点Q形成的轨迹为M.‎ ‎(1)求轨迹M的方程；‎ ‎(2)过点P(－2,0)的直线l交M于A，B两点，且＝3，平行于AB的直线与M位于x轴上方的部分交于C，D两点，过C，D两点分别作CE，DF垂直x轴于E，F两点，求四边形CEFD面积的最大值．‎ ‎　例题3、如图，点P(0，－1)是椭圆C1：＋＝1(a>b>0)的一个顶点，C1的长轴是圆C2：x2＋y2＝4的直径．l1，l2是过点P且互相垂直的两条直线，其中l1交圆C2于A，B两点，l2交椭圆C1于另一点D.‎ ‎(1)求椭圆C1的方程；‎ ‎(2)求△ABD面积取最大值时直线l1的方程．‎ ‎【例4】已知椭圆过点，离心率为，点分别为其左右焦点．‎ ‎（1）求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）若上存在两个点，椭圆上有两个点满足三点共线，三点共线，且，求四边形面积的最小值．‎ ‎,例题5，已知椭圆C：（a＞b＞0）的离心率为短轴一个端点到右焦点的距离为。‎ ‎（Ⅰ）求椭圆C的方程；‎ ‎（Ⅱ）设直线l与椭圆C交于A、B两点，坐标原点O到直线l的距离为，求△AOB面积的最大值。‎ ‎,例题6已知椭圆的右焦点为，过作互相垂直的两条直线分别与相交于和四点.（1）四边形能否成为平行四边形，请说明理由；（2）求四边形面积的最小值.‎ 例7、在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率e＝，且椭圆C上的点到点Q(0,2)的距离的最大值为3.‎ ‎(1)求椭圆C的方程；‎ ‎(2)在椭圆C上，是否存在点M(m，n)，使得直线l：mx＋ny＝1与圆O：x2＋y2＝1相交于不同的两点A、B，且△OAB的面积最大？若存在，求出点M的坐标及对应的△OAB的面积；若不存在，请说明理由．‎ ‎,例题8如图，椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，其左焦点到点P(2,1)的距离为，不过原点O的直线l与C相交于A，B两点，且线段AB被直线OP平分．‎ ‎(1)求椭圆C的方程；‎ ‎(2)求△ABP面积取最大值时直线l的方程 考点2 　范围、最值问题与平面向量的交汇 ‎【例9】设F1，F2分别是椭圆＋y2＝1的左、右焦点．‎ ‎(1)若P是该椭圆上的一个动点，求·的最大值和最小值；‎ ‎(2)设过定点M(0，2)的直线l与椭圆交于不同的两点A，B，且∠AOB为锐角(其中O为坐标原点)，求直线l的斜率的取值范围．‎ ‎【例10】已知椭圆C：，其右焦点，离心率为．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；‎ ‎（Ⅱ）已知直线与椭圆C交于不同的两点，且线段的中点不在圆内， 求的取值范围．‎ ‎ ‎