2015高考数学人教A版本（3-3导数的实际应用）一轮复习学案

2015高考数学人教A版本（3-3导数的实际应用）一轮复习学案

【走向高考】2015 届高考数学一轮总复习 3-3 导数的实际应用课后 强化作业 新人教 A 版 基础巩固强化 一、选择题 1．(文)正三棱柱体积为 V，则其表面积最小时，底面边长为(　　) A.3 V　　　B.3 2V　 　C.3 4V　　　D．23 V [答案]　C [解析]　设正三棱柱底面边长为 a，高为 h，则体积 V＝ 3 4 a2h，∴h＝ 4V 3a2 ，表面积 S＝ 3 2 a2＋3ah＝ 3 2 a2＋4 3V a ， 由 S′＝ 3a－4 3V a2 ＝0，得 a＝3 4V，故选 C. (理)在内接于半径为 R 的半圆的矩形中，周长最大的矩形的边长为(　　) A.R 2和 3 2R　　　　　　 B. 5 5 R 和 4 5 5 R C.4 5R 和 7 5R D．以上都不对 [答案]　B [解析]　设矩形垂直于半圆直径的边长为 x，则另一边长为 2 R2－x2，则 l＝2x＋4 R2－x2　(0＜x＜R)， l′＝2－ 4x R2－x2，令 l′＝0，解得 x＝ 5 5 R. 当 0＜x＜ 5 5 R 时，l′＞0；当 5 5 R＜x＜R 时，l′＜0. 所以当 x＝ 5 5 R 时，l 取最大值，即周长最大的矩形的边长为 5 5 R，4 5 5 R. 2．(文)已知某生产厂家的年利润 y(单位：万元)与年产量 x(单位：万件)的函数关系式为 y＝－1 3x3＋81x－234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为(　　) A．13 万件 B．11 万件 C．9 万件 D．7 万件 [答案]　C [解析]　∵y＝－1 3x3＋81x－234，∴y′＝－x2＋81(x>0)． 令 y′＝0 得 x＝9，令 y′<0 得 x>9，令 y′>0 得 00，因此，x<－2 时，y＝xf ′(x)>0，x＝－2 时，y＝xf ′(x)＝0，－20 时，y＝xf ′(x)>0，故选 C. 6．(2013·沈阳二中月考)已知函数 f(x)的定义域为[－3，＋∞)，且 f(6)＝2.f ′(x)为 f(x)的 导函数，f ′(x)的图象如图所示．若正数 a，b 满足 f(2a＋b)<2，则b＋3 a－2的取值范围是(　　) A．(－∞，－3 2)∪(3，＋∞) B．(－9 2，3) C．(－∞，－9 2)∪(3，＋∞) D．(－3 2，3) [答案]　A [解析]　由导函数的图象可以看出 f(x)在(－3,0)上为减函数，在[0，＋∞)上为增函数， 由 f(2a＋b)<2 可得 f(2a＋b)0 和 x>0，得 00， ∴ax2＋2x－1>0 有实数解．当 a≥0 时，显然满足；当 a<0 时，只要 Δ＝4＋4a>0，∴－ 1－1. 解法 2：f ′(x)＝1 x－ax－2＝1－ax2－2x x ， 由题意可知 f ′(x)<0 在(0，＋∞)内有实数解． 即 1－ax2－2x<0 在(0，＋∞)内有实数解． 即 a>1 x2－2 x在(0，＋∞)内有实数解． ∵x∈(0，＋∞)时，1 x2－2 x＝(1 x－1)2－1≥－1，∴a>－1. (理)(2012·黄冈市期末)对于三次函数 y＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)，给出定义：设 f ′(x)是 函数 y＝f(x)的导数，f ″(x)是 f ′(x)的导数，若方程 f″(x)＝0 有实数解 x0，则称点(x0，f(x0)) 为函数 y＝f(x)的“拐点”．某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一 个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．若 f(x)＝1 3x3－1 2x2＋3x－ 5 12，根据这 一发现可得： (1)函数 f(x)＝1 3x3－1 2x2＋3x－ 5 12的对称中心为________； (2)计算 f( 1 2014)＋f( 2 2014)＋f( 3 2014)＋f( 4 2014)＋…＋f(2013 2014)＝________. [答案]　(1)(1 2，1)　(2)2013 [解析]　(1)f ′(x)＝x 2－x＋3，f″(x)＝2x－1，由 2x－1＝0 得 x＝ 1 2，f(1 2)＝1 3×(1 2)3－1 2 ×(1 2)2＋3×1 2－ 5 12＝1，由拐点的定义知 f(x)的拐点即对称中心为(1 2，1)． (2)f( k 2014)＋f(1－ k 2014)＝f( k 2014)＋f(2014－k 2014 )＝2(k＝1，2，…，1007)， ∴f( 1 2014)＋f( 2 2014)＋…＋f(2013 2014)＝[f( 1 2014)＋f(2013 2014)]＋[f( 2 2014)＋f(2012 2014)]＋…＋[f(1006 2014) ＋f(1008 2014)]＋f(1007 2014)＝2×1006＋1＝2013. 三、解答题 10．(2013·湖南雅礼中学一模)某工厂生产某种儿童玩具，每件玩具的成本价为 30 元， 并且每件玩具的加工费为 t 元(其中 t 为常数，且 2≤t≤5)，设该工厂每件玩具的出厂价为 x 元(35≤x≤41)，根据市场调查，日销售量与 ex(e 为自然对数的底数)成反比例，当每件玩具 的出厂价为 40 元时，日销售量为 10 件． (1)求该工厂的日利润 y(元)与每件玩具的出厂价 x 元的函数关系式； (2)当每件玩具的日售价为多少元时，该工厂的利润 y 最大，并求 y 的最大值． [解析]　(1)设日销售量为k ex，则 k e40＝10，∴k＝10e40， 则日销售量为10e40 ex 件，∴日利润 y＝(x－30－t)·10e40 ex . ∴y＝10e40(x－30－t) ex (35≤x≤41)． (2)y′＝10e40(31＋t－x) ex ，令 y′＝0 得 x＝31＋t. ①当 2≤t≤4 时，33≤31＋t≤35， ∴当 35≤x≤41 时，y′≤0. ∴当 x＝35 时，y 取最大值，最大值为 10(5－t)e5. ②当 40，g(x)单调递增， ∴g(x)max＝max{g(0)，g(2)}＝g(2)＝1，g(x)min＝g(1)＝－2， ∴[g(x1)－g(x2)]max＝g(x)max－g(x)min＝3，满足不等式的最大整数 M＝3. (2)由(1)知，当 x∈[ 1 3，2]时，g(x) max＝g(2)＝1，依题意，对任意的 s，t∈[ 1 3，2]都有 f(s)≥g(t)成立⇔当 x∈[1 3，2]时，f(x)＝ a 2x＋xlnx≥1 恒成立． 则有 f(1)＝a 2≥1，∴a≥2. 当 a≥2 且 x∈[1 3，2]时，f(x)＝ a 2x＋xlnx≥1 x＋xlnx. 记 h(x)＝1 x＋xlnx，∴h′(x)＝－1 x2＋lnx＋1，且 h′(1)＝0. 当 x∈(1 3，1)时，h′(x)＝－1 x2＋lnx＋1<0， 当 x∈(1,2)时，h′(x)＝－1 x2＋lnx＋1>0， ∴h(x)＝1 x＋xlnx 在(1 3，1)上单调递减，在(1,2)上单调递增， ∴h(x)min＝h(1)＝1，即 h(x)≥1， ∴当 a≥2 时原不等式成立． ∴a 的取值范围是[2，＋∞)． 13．(文)甲乙两地相距 400km，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过 100km/h， 已知该汽车每小时的运输成本 P(元)关于速度 v(km/h)的函数关系是 P＝ 1 19200v4－ 1 160v3＋ 15v. (1)求全程运输成本 Q(元)关于速度 v 的函数关系式； (2)为使全程运输成本最少，汽车应以多大速度行驶？并求此时运输成本的最小值． [解析]　(1)汽车从甲地到乙地需用 400 v h，故全程运输成本为 Q＝400P v ＝v3 48－5v2 2 ＋6000　 (00， 故 x＝5 是 f(x)的最小值点，对应的最小值为 f(5)＝6×5＋ 800 15＋5＝70. 当隔热层修建 5 cm 厚时，总费用达到最小值 70 万元． 14. 某单位用木料制作如图所示的框架，框架的下部是边长分别为 x、y(单位：m)的矩形， 上部是等腰直角三角形，要求框架围成的总面积为 8m2，问 x、y 分别为多少时用料最省？(精 确到 0.001m) [解析]　依题意，有 xy＋1 2x·x 2＝8， ∴y＝ 8－x2 4 x ＝8 x－x 4(00； 所以当 x＝8－4 2时，l 取得最小值，此时，x＝8－4 2≈2.343m，y≈2.828m. 即当 x 约为 2.343m，y 约为 2.828m 时，用料最省． 考纲要求 1．能利用导数研究函数的单调性、极值或最值，并会解决与之有关的不等式问题． 2．会利用导数解决某些简单的实际问题． 补充说明 1．利用导数解决含参数函数的单调性问题一般转化为不等式恒成立问题． 2．不等式的证明、方程根的个数的判定可转化为函数的单调性与极值问题． 3．实际问题转化为函数问题后，要注意定义域的限制，结果要符合实际情况，若实际 问题目标函数只有一个极值点，该点就是最值点． 备选习题 1．一艘渔艇停泊在距岸 9km 处，今需派人送信给距渔艇 3 34km 处的海岸渔站，如果 送信人步行速度每小时 5km，船行速度每小时 4km，问应在何处登岸再步行可以使抵达渔 站的时间最省？ [分析]　如图，设 BC 为海岸线，A 为渔艇停泊处，设 D 为海岸线上一点，CD＝x，只 需将时间 T 表示为 x 的函数，即可确定登岸的位置． [解析]　∵AB＝9，AC＝3 34，BC＝ AC2－AB2＝15，设 CD＝x，由 A 到 C 所需时间 为 T，则 T＝1 5x＋1 4 (15－x)2＋81　(0≤x≤15)， T′＝1 5－ 15－x 4 (15－x)2＋81 . 令 T′＝0，解得 x＝3.在 x＝3 附近，T′由负到正，因此在 x＝3 处取得极小值． 又 T(0)＝3 34 4 ，T(15)＝21 4 ，T(3)＝87 20，比较可知 T(3)最小． 答：在距渔站 3km 处登岸可使抵达渔站的时间最省． 2．已知球的直径为 d，求当其内接正四棱柱体积最大时，正四棱柱的高为多少？ [解析]　如图所示，设正四棱柱的底面边长为 x，高为 h， 由于 x2＋x2＋h2＝d2， ∴x2＝1 2(d2－h2)． ∴球内接正四棱柱的体积为 V＝x2·h＝1 2(d2h－h3)，0xln2 对任意 x>0 恒成立，现定义f(t) t 为该类学习任务在 t 时刻的学习效率指数， 研究表明，当学习时间 t∈(1,2)时，学习效率最佳，当学习效率最佳时，求学习效率指数相 应的取值范围． [解析]　(1)∵f(t)＝ 3 4＋a·2－t·100%(t 为学习时间)，且 f(2)＝60%， 则 3 4＋a·2－2·100%＝60%，解得 a＝4. ∴f(t)＝ 3 4(1＋2－t)·100%(t≥0)， ∴f(0)＝ 3 4(1＋2－0)·100%＝37.5%， f(0)表示某项学习任务在开始学习时已掌握的程度为 37.5%. (2)令学习效率指数f(t) t ＝y， 则 y＝f(t) t ＝ 3 4t(1＋2－t)＝ 3 4(t＋ t 2t ) (t>0)， 现研究函数 g(t)＝t＋ t 2t的单调性， 由于 g′(t)＝1＋2t－t·2tln2 (2t)2 ＝2t－tln2＋1 2t (t>0)， 又已知 2x>xln2 对任意 x>0 恒成立，即 2t－tln2>0，则 g′(t)>0 恒成立， ∴g(t)在(0，＋∞)上为增函数，且 g(t)为正数． ∴y＝f(t) t ＝ 3 4(t＋ t 2t ) (t>0)在(0，＋∞)上为减函数， 而 y|t＝1＝f(1) 1 ＝1 2，y|t＝2＝f(2) 2 ＝ 3 10， 即 y＝f(t) t ∈( 3 10，1 2)， 故所求学习效率指数的取值范围是( 3 10，1 2)．