高考数学专题讲义解析几何专题4圆锥曲线中的最值和范围问题

高考数学专题讲义解析几何专题4圆锥曲线中的最值和范围问题

第二十一讲 圆锥曲线中的最值和范围问题（一）‎ ‎★★★高考在考什么 ‎【考题回放】‎ ‎1．已知双曲线(a>0,b>0)的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是(C )‎ A.( 1,2) B. (1,2) C. D.(2,+∞)‎ ‎2． P是双曲线的右支上一点，M、N分别是圆(x＋5)2＋y2＝4和(x－5)2＋y2＝1上的点，则|PM|－|PN|的最大值为（ D ）‎ A. 6 B‎.7 C.8 D.9‎ ‎3．抛物线y=-x2上的点到直线4x+3y-8=0距离的最小值是( A )‎ A． B． C． D．‎ ‎4．已知双曲线的左、右焦点分别为F1、F2，点P在双曲线的右支上，且|PF1|=4|PF2|,则此双曲线的离心率e的最大值为：（B）‎ ‎ (A) (B) (C) (D)‎ ‎5．已知抛物线y2=4x,过点P(4,0)的直线与抛物线相交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点，则y12+y22的最小值是 32 .‎ ‎6．对于抛物线y2=4x上任意一点Q，点P（a，0）都满足|PQ|≥|a|，则a的取值范围是( B )‎ ‎（A）（－∞，0） （B）（－∞，2 （C）［0，2］ （D）（0，2）‎ ‎★★★高考要考什么 ‎【热点透析】‎ 与圆锥曲线有关的最值和范围问题的讨论常用以下方法解决：‎ ‎（1）结合定义利用图形中几何量之间的大小关系；‎ ‎（2）不等式（组）求解法：利用题意结合图形（如点在曲线内等）列出所讨论的参数适合的不等式（组），通过解不等式组得出参数的变化范围；‎ ‎（3）函数值域求解法：把所讨论的参数作为一个函数、一个适当的参数作为自变量来表示这个函数，通过讨论函数的值域来求参数的变化范围。‎ ‎（4）利用代数基本不等式。代数基本不等式的应用，往往需要创造条件，并进行巧妙的构思；‎ ‎（5）结合参数方程，利用三角函数的有界性。直线、圆或椭圆的参数方程，它们的一个共同特点是均含有三角式。因此，它们的应用价值在于：‎ ‎① 通过参数θ简明地表示曲线上点的坐标；‎ ‎② 利用三角函数的有界性及其变形公式来帮助求解诸如最值、范围等问题；‎ ‎（6）构造一个二次方程，利用判别式D³0。‎ ‎★★★突破重难点 ‎【例1】已知点M(-2，0)，N(2,0)，动点P满足条件.记动点的轨迹为W.‎ ‎（Ⅰ）求W的方程；‎ ‎（Ⅱ）若A，B是W上的不同两点，O是坐标原点，求的最小值.‎ 解：（Ⅰ）依题意，点P的轨迹是以M，N为焦点的双曲线的右支，‎ 所求方程为： （x>0）‎ ‎（Ⅱ）当直线AB的斜率不存在时，设直线AB的方程为x＝x0，‎ 此时A（x0，），B（x0，－），＝2 ‎ 当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y＝kx＋b，‎ 代入双曲线方程中，得：(1－k2)x2－2kbx－b2－2＝0‎ 依题意可知方程1°有两个不相等的正数根，设A(x1,y1),B(x2,y2)，则 解得|k|>1，‎ 又＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋（kx1＋b）（kx2＋b）‎ ‎＝（1＋k2）x1x2＋kb（x1＋x2）＋b2＝>2‎ 综上可知的最小值为2‎ ‎【例2】给定点A(-2,2)，已知B是椭圆上的动点，F是右焦点，当取得最小值时，试求B点的坐标。‎ 解：因为椭圆的，所以，而为动点B到左准线的距离。故本题可化为，在椭圆上求一点B，使得它到A点和左准线的距离之和最小，过点B作l的垂线，垂点为N，过A作此准线的垂线，垂点为M，由椭圆定义 于是 为定值 其中，当且仅当B点AM与椭圆的定点时等点成立，此时B为 所以，当取得最小值时，B点坐标为 ‎【例3】已知P点在圆x2+(y-2)2=1上移动，Q点在椭圆上移动,试求|PQ|‎ 的最大值。‎ 解：故先让Q点在椭圆上固定，显然当PQ通过圆心O1时|PQ|最大，因此要求|PQ|的最大值，只要求|O1Q|的最大值.设Q(x，y)，则|O1Q|2= x2+(y-4)2 ①‎ 因Q在椭圆上,则x2=9(1-y2) ② ‎ 将②代入①得|O1Q|2= 9(1-y2)+(y-4)2 ‎ 因为Q在椭圆上移动，所以-1£y£1，故当时，‎ 此时 ‎【点睛】1.与圆有关的最值问题往往与圆心有关；‎ ‎2.函数法是我们探求解析几何最值问题的首选方法，其中所涉及到的函数最常见的有二次函数等，值得注意的是函数自变量取值范围的考察不能被忽视。‎ ‎【例4】已知椭圆的一个焦点为F1(0,-2)，对应的准线方程为，且离心率e满足：成等差数列。‎ ‎（1）求椭圆方程；‎ ‎（2）是否存在直线l，使l与椭圆交于不同的两点M、N，且线段MN恰被直线平分，若存在，求出l的倾斜角的范围；若不存在，请说明理由。‎ ‎（1）解：依题意e ，‎ ‎ ∴a＝3，c＝2，b＝1， ‎ ‎ 又F1(0，－2)，对应的准线方程为 ‎ ∴椭圆中心在原点，所求方程为 ‎ (2)假设存在直线l，依题意l交椭圆所得弦MN被平分 ‎∴直线l的斜率存在。 设直线l：y＝kx＋m 由消去y，整理得 (k2＋9)x2＋2kmx＋m2－9＝0‎ ‎∵l与椭圆交于不同的两点M、N，‎ ‎∴Δ＝4k‎2m2‎－4(k2＋9)(m2－9)＞0 即m2－k2－9＜0 ①‎ 设 M(x1,y1),N(x2,y2) ②‎ 把②代入①式中得，‎ ‎∴k＞或k＜－‎ ‎∴直线l倾斜角 第二十二讲圆锥曲线中的最值和范围问题（二）‎ ‎【例5】长度为（）的线段的两个端点、分别在轴和轴上滑动，点在线段上，且（为常数且）．‎ ‎（1）求点的轨迹方程，并说明轨迹类型；‎ ‎（2）当=2时，已知直线与原点O的距离为，且直线与轨迹有公共点，求直线的斜率的取值范围．‎ 答案：(1)设、、，则 ‎，由此及，得 ‎，即 （*）‎ ‎①当时，方程（*）的轨迹是焦点为，长轴长为的椭圆．‎ ‎②当时，方程（*）的轨迹是焦点为，长轴长为的椭圆．‎ ‎③当时，方程（*）的轨迹是焦点为以O点为圆心，为半径的圆．‎ ‎（2）设直线的方程：，据题意有，即．‎ 由得 ．‎ 因为直线与椭圆有公共点，所以 ‎ 又把代入上式得 ：．‎ ‎【例6】椭圆E的中心在原点O，焦点在轴上，其离心率, 过点C（－1,0）的直线与椭圆E相交于A、B两点，且满足点C分向量的比为2.‎ ‎（1）用直线的斜率k ( k≠0 ) 表示△OAB的面积；（2）当△OAB的面积最大时，求椭圆E的方程。‎ 解：（1）设椭圆E的方程为( a＞b＞0 )，由e =‎ ‎∴a2=3b2 故椭圆方程x2 + 3y2 = 3b2 ‎ 设A(x1,y1)、B(x2,y2),由于点C（－1，0）分向量的比为2，‎ ‎①‎ ‎②‎ ‎∴ 即 ‎ 由消去y整理并化简得 (3k2+1)x2+6k2x+3k2－3b2=0‎ 由直线l与椭圆E相交于A（x1,y1）, B(x2,y2)两点得：‎ ‎③‎ ‎④‎ ‎⑤‎ ‎ ‎ 而S△OAB ⑤‎ 由①③得:x2+1=－，代入⑤得：S△OAB = ‎ ‎（2）因S△OAB=,‎ 当且仅当S△OAB取得最大值 此时 x1 + x2 =－1, 又∵ =－1 ∴x1=1,x2 =－2‎ 将x1,x2及k2 = 代入④得3b2 = 5 ∴椭圆方程x2 + 3y2 = 5 ‎ ‎【例7】设直线过点P（0，3），和椭圆顺次交于A、B两点，若试求l的取值范围.‎ 解：当直线垂直于x轴时，可求得;‎ 当与x轴不垂直时，设，直线的方程为：，代入椭圆方程，消去得 解之得 ‎ 因为椭圆关于y轴对称，点P在y轴上，所以只需考虑的情形.‎ 当时，，，‎ 所以 ＝＝＝.‎ 由 ， 解得 ，‎ 所以 ，‎ y O ‎.‎ ‎.‎ ‎.‎ M x ‎.‎ 综上 .‎ ‎【例8】我们把由半椭圆 与半椭圆 合成的曲线称作“果圆”，其中，，． ‎ 如图，设点，，是相应椭圆的焦点，，和，是“果圆” 与，轴的交点，是线段的中点．‎ （1） 若是边长为1的等边三角形，求该“果圆”的方程； ‎ ‎（2）设是“果圆”的半椭圆上任意一点．求证：当取得最小值时，在点或处；‎ ‎（3）若是“果圆”上任意一点，求取得最小值时点的横坐标．‎ 解：（1） ，‎ ‎，于是，‎ 所求“果圆”方程为，． ‎ ‎（2）设，则 ‎， ‎ ‎ ， 的最小值只能在或处取到．‎ ‎ 即当取得最小值时，在点或处． ‎ ‎ （3），且和同时位于“果圆”的半椭圆和半椭圆上，所以，由（2）知，只需研究位于“果圆”的半椭圆上的情形即可． ‎ ‎．‎ ‎ 当，即时，的最小值在时取到，‎ 此时的横坐标是． ‎ ‎ 当，即时，由于在时是递减的，的最小值在时取到，此时的横坐标是． ‎ 综上所述，若，当取得最小值时，点的横坐标是；‎ 若，当取得最小值时，点的横坐标是或．‎