中山市2013年高考数学模拟试题目理新人民教育出版

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‎2013年中山市高考模拟试题 理科数学 参考公式：锥体的体积公式，其中是锥体的底面积，是锥体的高．‎ ‎ 如果事件、互斥，那么．‎ 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．复数满足则等于（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2．若集合，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎3．命题“”为假命题，是“”的（ ）‎ A．充要条件 B．必要不充分条件 ‎ C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎4．设m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面．有下列四个命题：‎ 开始 S=0‎ M S=S+k 结束 输出S 是 否 k=1‎ ‎①若，，则； ‎ ‎②若//，，则；‎ ‎③若，，，则； ‎ ‎④若，，，则．‎ 其中正确命题的序号是（ ）‎ A．①③ 　　 B．①② 　　　 ‎ C．③④ 　　　　D．②③ ‎ ‎5．按照如图的程序框图执行，若输出结果为31，‎ 则M处的条件为 （ ）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎6．△外接圆的半径为，圆心为，且， ‎ ‎，则等于 （　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎7．如右图，某几何体的三视图均为边长为l的正方形，‎ 则该几何体的体积是 （ ）‎ A． B． C．1 D．‎ ‎8．对于定义域和值域均为的函数，定义，，…，，n=1，2，3，…．满足的点称为f的阶周期点．设 则f的阶周期点的个数是（ ）‎ A． 　　　　 　　B． C． 　　　　　　　　 D．‎ x y O A C ‎(1,1)‎ B 二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．‎ ‎（一）必做题（9～13题）‎ ‎9．不等式的解集为 ．‎ ‎10．从如图所示的正方形OABC区域内任取一个点，则点M取 自阴影部分的概率为 ．‎ ‎11．实数x，y满足，若函数z=x+y取得最大值4，则实数a的值为 ．‎ ‎12．若的展开式中含x的项为第6项，设，则的值为 ．‎ ‎13．已知数列满足，（），则的值为 ， 的值为 ．‎ ‎（二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）‎ C D MB N O B A P ‎14．（坐标系与参数方程选做题）已知是曲线M：（为参数）上的点，是曲线：（t为参数）上的点，则的最小值为 　　　　 ．‎ ‎15．（几何证明选讲选做题）如图所示，过⊙O外一点A作一条 直线与交于C，D两点，AB切⊙O于B，弦MN过CD的 中点P，已知AC=4，AB=6，则MP·NP= 　 　　 ．‎ 三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．‎ ‎16．（本小题满分12分）‎ 在△ABC中，分别为内角的对边，且．‎ ‎（Ⅰ）求角A的大小；‎ ‎（Ⅱ）设函数，当取最大值时，判断△ABC的形状．‎ ‎17．（本小题满分12分）‎ ‎ 空气质量指数 （单位:）表示每立方米空气中可入肺颗粒物的含量,这个值越高,就代表空气污染越严重：‎ 甲、乙两城市2013年2月份中的15天对空气质量指数进行监测,获得日均浓度指数数据如茎叶图所示:‎ ‎3 0 2 2 4 ‎ ‎4 8 9 6 ‎ ‎6 1 5 1 ‎ ‎7 8 ‎ ‎8 2 3 0 ‎ ‎9 8 ‎ 甲城市 ‎ ‎3 2 0 4 ‎ ‎5 5 ‎ ‎6 4 ‎ ‎7 6 9 7 ‎ ‎8 8 0 7 ‎ ‎9 1 8 0 9 ‎ ‎ ‎ 乙城市 ‎ ‎（Ⅰ）根据你所学的统计知识估计甲、乙两城市15天内哪个城市空气质量总体较好?（注：不需说明理由） ‎ ‎（Ⅱ）在15天内任取1天，估计甲、乙两城市空气质量类别均为优或良的概率；‎ ‎（III） 在乙城市15个监测数据中任取个,设为空气质量类别为优或良的天数,求的分布列及数学期望．‎ P A B C D Q M ‎18．（本小题满分14分）‎ 如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，平面⊥底面，为的中点，是棱上的点，，，．‎ ‎（I）若点是棱的中点，求证：//平面；‎ ‎（Ⅱ）求证：平面⊥平面； ‎ ‎（III）若二面角为30°，设，试确定的值．‎ ‎19．（本小题满分14分）‎ 设分别是椭圆C：的左右焦点．‎ ‎（1）设椭圆C上的点到两点距离之和等于4，求椭圆C的方程和焦点坐标；‎ ‎（2）设K是（1）中所得椭圆上的动点，求线段的中点B的轨迹方程；‎ ‎（3）设点P是椭圆C 上的任意一点，过原点的直线L与椭圆相交于M，N两点，当直线PM ，PN的斜率都存在，并记为试探究的值是否与点P及直线L有关，并证明你的结论．‎ ‎20．（本小题满分14分）‎ 设数列的前项和为，且满足．‎ ‎ （I）求证：数列为等比数列；‎ ‎ （Ⅱ）设,求证：．‎ ‎21．（本小题满分14分）‎ 已知函数 ‎（1）若函数在定义域内单调递增，求的取值范围；‎ ‎（2）若且关于的方程在上恰有两个不相等的实数根，求实数的取值范围；‎ ‎（3）设各项为正的数列满足：求证：‎ ‎2013年中山市高考模拟理科数学试卷参考答案 一、选择题： ‎ 二、填空题：‎ ‎（一）必做题（9～13题）‎ ‎9． ； 10． ； 11． 2 ；‎ ‎12． 255 ； 13． ， .‎ ‎（二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）‎ ‎14．　　　； 15．　　　 .‎ 三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．‎ ‎16．（本小题满分12分）‎ 在△ABC中，分别为内角的对边，且．‎ ‎（Ⅰ）求角A的大小；‎ ‎（Ⅱ）设函数，当取最大值时，判断△ABC的形状．‎ 解：（Ⅰ）在中，因为，由余弦定理可得．（余弦定理或公式必须有一个，否则扣1分） ………………… 3分 ‎∵ ， （或写成是三角形内角） ……………………4分 ‎∴． ……………………5分 ‎（Ⅱ） ………………7分 ‎， ……………………9分 ‎∵ ∴ ∴ （没讨论，扣1分） ………10分 ‎∴当，即时，有最大值是 …………………11分 又∵， ∴ ∴为等边三角形． ………………12分 ‎17．（本小题满分12分）‎ ‎ 空气质量指数 （单位:）表示每立方米空气中可入肺颗粒物的含量,这个值越高,就代表空气污染越严重：‎ 甲、乙两城市2013年2月份中的15天对空气质量指数进行监测,获得日均浓度指数数据如茎叶图所示:‎ ‎3 0 2 2 4 ‎ ‎4 8 9 6 ‎ ‎6 1 5 1 ‎ ‎7 8 ‎ ‎8 2 3 0 ‎ ‎9 8 ‎ 甲城市 ‎ ‎3 2 0 4 ‎ ‎5 5 ‎ ‎6 4 ‎ ‎7 6 9 7 ‎ ‎8 8 0 7 ‎ ‎9 1 8 0 9 ‎ ‎ ‎ 乙城市 ‎ ‎（Ⅰ）根据你所学的统计知识估计甲、乙两城市15天内哪个城市空气质量总体较好?（注：不需说明理由） ‎ ‎（Ⅱ）在15天内任取1天，估计甲、乙两城市空气质量类别均为优或良的概率；‎ ‎（III） 在乙城市15个监测数据中任取个,设为空气质量类别为优或良的天数,求的分布列及数学期望．‎ 解：（Ⅰ）甲城市空气质量总体较好． …………………2分 ‎（Ⅱ）甲城市在15天内空气质量类别为优或良的共有10天，任取1天，空气质量类别为优或良的概率为， …………………3分 乙城市在15天内空气质量类别为优或良的共有5天，任取1天，空气质量类别为优或良的概率为， …………………4分 在15天内任取1天，估计甲、乙两城市空气质量类别均为优或良的概率为．‎ ‎ ……………………6分 ‎（III）的取值为， …………………7分 ‎，，‎ 所以的分布列为：‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎…………………10分 数学期望 …………………12分 P A B C D Q M ‎18．（本小题满分14分）‎ 如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，‎ ‎，平面⊥底面，为的中点，‎ 是棱上的点，，，．‎ ‎（I）若点是棱的中点，求证：//平面；‎ ‎（Ⅱ）求证：平面⊥平面； ‎ ‎（III）若二面角为30°，设，试确定的值．‎ ‎（I）证明：连接，交于，连接． ……………1分 ‎∵且，即．‎ ‎∴四边形为平行四边形，且为中点，‎ 又∵点是棱的中点，‎ ‎∴ ……………………2分 ‎∵平面，平面， …………3分 ‎∴平面． ……………………4分 ‎（II）证明：∵，，为的中点，‎ ‎∴四边形为平行四边形，∴． ……………………5分 ‎∵，∴，即．‎ 又∵平面⊥底面且平面平面，…………6分 ‎∴平面． ……………………7分 ‎∵平面，‎ ‎∴平面平面． …………………8分 另证：，，为的中点， ∴且， ‎ ‎∴ 四边形为平行四边形，∴．‎ ‎∵， ∴，即． …………………5分 ‎∵ ，∴． …………………6分 ‎∵ ，∴平面． …………………7分 ‎∵ 平面，‎ P A B C D Q M N x y z ‎∴平面平面． ……………………8分 ‎（III）解：∵，为的中点，∴．‎ ‎∵平面⊥平面，且平面平面，‎ ‎ ∴平面． ……………9分 ‎（不证明平面直接建系扣1分）‎ 如图，以为原点，直线、、分别为、、轴建立空间直角坐标系，则，，，．……10分 于是平面的法向量为；‎ 设，则，，‎ ‎∵，‎ ‎∴ ， ∴ ‎ ‎ …………………11分 在平面中，，，‎ 设平面法向量为， 由，‎ ‎，不妨令，则得：‎ ‎∴平面法向量为． ……………………12分 ‎∵二面角为30°， ， ……13分 解得．又，故 …………………………14分 ‎19．（本小题满分14分）‎ 设分别是椭圆C：的左右焦点．‎ ‎（1）设椭圆C上的点到两点距离之和等于4，求椭圆C的方程和焦点坐标；‎ ‎（2）设K是（1）中所得椭圆上的动点，求线段的中点B的轨迹方程；‎ ‎（3）设点P是椭圆C 上的任意一点，过原点的直线L与椭圆相交于M，N两点，当直线PM ，PN的斜率都存在，并记为试探究的值是否与点P及直线L有关，并证明你的结论．‎ 解：（1）由于点在椭圆上， …………………1分 又2=4, …………………2分 椭圆C的方程为：， …………………3分 焦点坐标分别为； …………………4分 ‎（2）设的中点为，则点 …………………6分 把的坐标代入椭圆中，得…………………7分 线段的中点B的轨迹方程为； …………………8分 ‎（3）过原点的直线L与椭圆相交的两点M，N关于坐标原点对称， ‎ 设，且 …………………9分 ‎ ‎，得…………………10分 ‎ …………………11分 ‎== …………………13分 故：的值与点的位置无关，同时与直线无关． …………………14分 ‎20．（本小题满分14分）‎ 设数列的前项和为，且满足．‎ ‎ （I）求证：数列为等比数列；‎ ‎ （Ⅱ）设,求证：．‎ 证明：（Ⅰ），， ……………2分 又， ……………3分 是首项为，公比为的等比数列，且．……………4分 ‎（Ⅱ）当时，， ……………5分 当时， ．‎ ‎………………7分 故． ………………8分 ‎ ………………11分 ‎ ………………12分 ‎． ………………14分 ‎21．（本小题满分14分）‎ 已知函数 ‎（1）若函数在定义域内单调递增，求的取值范围；‎ ‎（2）若且关于的方程在上恰有两个不相等的实数根，求实数的取值范围；‎ ‎（3）设各项为正的数列满足：求证：‎ 解：（1） ………………1分 依题意在时恒成立，即在恒成立．‎ 则在恒成立，即 …2分 当时，取最小值 ………………3分 ‎∴的取值范围是 ………………4分 ‎ （2）‎ 设则 ………………5分 列表：‎ 极大值 ¯ 极小值 ‎∴极小值，极大值，‎ 又 ………………6分 方程在[1，4]上恰有两个不相等的实数根． 则， ………7分 得 ………………8分 ‎ （3）设，则 在为减函数，且 故当时有． ………………10分 ‎①当时，成立；‎ ‎②假设 则当时，，‎ 所以当时也成立，‎ 由①②得，成立， ………………12分 从而 ‎ ………………13分 即，∴ ………………14分