高考数学—导数专题

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高考数学—导数专题

导数 ‎ ‎(选修2-2P18A7改编)曲线y=在x=处的切线方程为(  )‎ A.y=0 B.y= C.y=-x+ D.y=x 解析 ∵y′=,∴y′|x==-,‎ 当x=时,y=,‎ ‎∴切线方程为y-=-,即y=-x+.‎ ‎(2016·天津卷)已知函数f(x)=(2x+1)ex,f′(x)为f(x)的导函数,则f′(0)的值为________.‎ 解析 因为f(x)=(2x+1)ex,‎ 所以f′(x)=2ex+(2x+1)ex=(2x+3)ex,‎ 所以f′(0)=3e0=3.‎ ‎(2017·西安月考)设曲线y=ax-ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为y=2x,则a=________.‎ 解析 y′=a-,由题意得y′|x=0=2,即a-1=2,‎ 所以a=3.‎ ‎(2017·威海质检)已知函数f(x)=xln x,若直线l过点(0,-1),并且与曲线y=f(x)相切,则直线l的方程为(  )‎ A.x+y-1=0 B.x-y-1=0‎ C.x+y+1=0 D.x-y+1=0‎ 解析 ∵点(0,-1)不在曲线f(x)=xln x上,‎ ‎∴设切点为(x0,y0).‎ 又∵f′(x)=1+ln x,∴ 解得x0=1,y0=0.‎ ‎∴切点为(1,0),∴f′(1)=1+ln 1=1.‎ ‎∴直线l的方程为y=x-1,即x-y-1=0.‎ ‎(2015·全国Ⅱ卷)已知曲线y=x+ln x在点(1,1)处的切线与曲线y=ax2+(a+2)x+1相切,则a=________.‎ 解析 法一 ∵y=x+ln x,∴y′=1+,y′|x=1=2.‎ ‎∴曲线y=x+ln x在点(1,1)处的切线方程为y-1=2(x-1),即y=2x-1.‎ ‎∵y=2x-1与曲线y=ax2+(a+2)x+1相切,‎ ‎∴a≠0(当a=0时曲线变为y=2x+1与已知直线平行).‎ 由消去y,得ax2+ax+2=0.‎ 由Δ=a2-8a=0,解得a=8.‎ 法二 同法一得切线方程为y=2x-1.‎ 设y=2x-1与曲线y=ax2+(a+2)x+1相切于点(x0,ax+(a+2)x0+1).‎ ‎∵y′=2ax+(a+2),∴y′|x=x0=2ax0+(a+2).‎ 由解得 答案 8‎ ‎(2017·西安质测)曲线f(x)=x3-x+3在点P处的切线平行于直线y=2x-1,则P点的坐标为(  )‎ A.(1,3) B.(-1,3)‎ C.(1,3)和(-1,3) D.(1,-3)‎ 解析 f′(x)=3x2-1,令f′(x)=2,则3x2-1=2,解得x=1或x=-1,∴P(1,3)或(-1,3),经检验,点(1,3),(-1,3)均不在直线y=2x-1上,故选C.‎ ‎(2015·天津卷)已知函数f(x)=axln x,x∈(0,+∞),其中a为实数,f′(x)为f(x)的导函数,若f′(1)=3,则a的值为________.‎ 解析 f′(x)=a=a(1+ln x),由于f′(1)=a(1+ln 1)=a,又f′(1)=3,所以a=3.‎ ‎(2016·全国Ⅲ卷)已知f(x)为偶函数,当x<0时,f(x)=ln(-x)+3x,则曲线y=f(x)在点(1,-3)处的切线方程是________.‎ 解析 设x>0,则-x<0,f(-x)=ln x-3x,又f(x)为偶函数,f(x)=ln x-3x,‎ f′(x)=-3,f′(1)=-2,切线方程为y=-2x-1.‎ 答案 2x+y+1=0‎ ‎(2015·陕西卷)设曲线y=ex在点(0,1)处的切线与曲线y=(x>0)上点P处的切线垂直,则P的坐标为________.‎ 解析 y′=ex,曲线y=ex在点(0,1) 处的切线的斜率k1=e0=1,设P(m,n),y=(x>0)的导数为y′=-(x>0),曲线y=(x>0)在点P处的切线斜率k2=-(m>0),因为两切线垂直,所以k1k2=-1,所以m=1,n=1,则点P的坐标为(1,1).‎ 答案 (1,1)‎ ‎(2016·北京卷)设函数f(x)=xea-x+bx,曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为y=(e-1)x+4.‎ ‎(1)求a,b的值;‎ ‎(2)求f(x)的单调区间.‎ 解 (1)∵f(x)=xea-x+bx,∴f′(x)=(1-x)ea-x+b.‎ 由题意得即 解得a=2,b=e.‎ ‎(2)由(1)得f(x)=xe2-x+ex,‎ 由f′(x)=e2-x(1-x+ex-1)及e2-x>0知,f′(x)与1-x+ex-1同号.‎ 令g(x)=1-x+ex-1,则g′(x)=-1+ex-1.‎ 当x∈(-∞,1)时,g′(x)<0,g(x)在(-∞,1)上递减;‎ 当x∈(1,+∞)时,g′(x)>0,g(x)在(1,+∞)上递增,‎ ‎∴g(x)≥g(1)=1在R上恒成立,‎ ‎∴f′(x)>0在R上恒成立.‎ ‎∴f(x)的单调递增区间为(-∞,+∞).‎ ‎(2016·四川卷)已知a为函数f(x)=x3-12x的极小值点,则a=(  )‎ A.-4 B.-2 C.4 D.2‎ 解析 f′(x)=3x2-12,∴x<-2时,f′(x)>0,-22时,‎ f′(x)>0,∴x=2是f(x)的极小值点.‎ 答案 D ‎(2016·全国Ⅲ卷)设函数f(x)=ln x-x+1.讨论f(x)的单调性;‎ 解 依题意,f(x)的定义域为(0,+∞).‎ f′(x)=-1,令f′(x)=0,得x=1,‎ ‎∴当00,f(x)单调递增.‎ 当x>1时,f′(x)<0,f(x)单调递减.‎ ‎(2015·北京卷)设函数f(x)=-kln x,k>0.求f(x)的单调区间和极值;‎ 解 由f(x)=-kln x(k>0),得x>0且f′(x)=x-=.由f′(x)=0,解得x=(负值舍去).‎ f(x)与f′(x)在区间(0,+∞)上的变化情况如下表:‎ x ‎(0,)‎ ‎(,+∞)‎ f′(x)‎ ‎-‎ ‎0‎ ‎+‎ f(x)‎   所以,f(x)的单调递减区间是(0,),单调递增区间是(,+∞).‎ f(x)在x=处取得极小值f()=.‎ ‎(2017·西安调研)定积分(2x+ex)dx的值为(  )‎ A.e+2 B.e+1 C.e D.e-1‎ 解析 (2x+ex)dx=(x2+ex))=1+e1-1=e.故选C.‎ ‎(2015·全国Ⅱ卷)已知函数f(x)=ln x+a(1-x).讨论f(x)的单调性;‎ 解 f(x)的定义域为(0,+∞),f′(x)=-a.‎ 若a≤0,则f′(x)>0,所以f(x)在(0,+∞)上单调递增.‎ 若a>0,则当x∈时,f′(x)>0;‎ 当x∈时,f′(x)<0,‎ 所以f(x)在上单调递增,在上单调递减.‎ 综上,知当a≤0时,f(x)在(0,+∞)上单调递增;‎ 当a>0时,f(x)在上单调递增,在上单调递减.‎
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