专题07三角变换及解三角形易错起源高考数学理备考黄金易错点Word版含解析

专题07三角变换及解三角形易错起源高考数学理备考黄金易错点Word版含解析

‎1.【2017山东，理9】在中，角，，的对边分别为，，．若为锐角三角形，且满足，则下列等式成立的是 ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【答案】A ‎【解析】 ‎ 所以，选A.‎ ‎2.【2017北京，理12】在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称.若，=___________.‎ ‎【答案】‎ ‎3.【2017浙江，14】已知△ABC，AB=AC=4，BC=2． 点D为AB延长线上一点，BD=2，连结CD，则△BDC的面积是______，cos∠BDC=_______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】取BC中点E，DC中点F，由题意：，‎ ‎△ABE中，，，‎ ‎．‎ 又，‎ ‎，‎ 综上可得，△BCD面积为，．‎ ‎4.【2017课标II，理17】的内角所对的边分别为，已知，‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）若，的面积为，求。‎ ‎【答案】(1)； (2) b=2‎ ‎【解析】b=2（1）由题设及，故 上式两边平方，整理得 ‎ 解得 ‎ ‎（2）由，故 又 由余弦定理 及得 所以b=2.‎ ‎1.【2016高考新课标2理数】若，则（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【答案】D ‎【解析】 ，‎ 且，故选D.‎ ‎2.【2016高考新课标3理数】若 ，则（ ）‎ ‎(A) (B) (C) 1 (D) ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 由，得或，所以，故选A．‎ ‎7.【2016高考天津理数】在△ABC中，若,BC=3， ,则AC= （ ）‎ ‎（A）1 （B）2 （C）3 （D）4‎ ‎【答案】A ‎【解析】由余弦定理得,选A.‎ ‎8.【2016高考江苏卷】在锐角三角形中，若，则的最小值是 ▲ .‎ ‎【答案】8.‎ ‎【解析】，又，因即最小值为8.‎ ‎9.【2016年高考四川理数】（本小题满分12分）‎ 在△ABC中，角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且.‎ ‎（I）证明：；‎ ‎（II）若，求.‎ ‎【答案】（Ⅰ）证明详见解析；（Ⅱ）4.‎ ‎【解析】‎ ‎（Ⅱ）由已知，b2+c2–a2=bc，根据余弦定理，有 cos A==．‎ 所以sin A==．‎ 由（Ⅰ），sin Asin B=sin Acos B+cos Asin B，‎ 所以sin B=cos B+sin B，‎ 故tan B==4．‎ ‎10.【2016高考浙江理数】（本题满分14分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c. 已知b+c=‎2a cos B.‎ ‎（I）证明：A=2B；‎ ‎（II）若△ABC的面积，求角A的大小.‎ ‎【答案】（I）证明见解析；（II）或．‎ ‎【解析】‎ ‎（Ⅰ）由正弦定理得，‎ 故，‎ 于是．‎ 又，，故，所以或，‎ 因此（舍去）或，‎ 所以，．‎ ‎（Ⅱ）由得，故有，‎ 因为，所以．‎ 又，，所以．‎ 当时，；‎ 当时，．‎ 综上，或．‎ 易错起源1、三角恒等变换 例1、(1)已知α为锐角，若cos＝，则cos＝________.‎ ‎(2)已知sinα＝，sin(α－β)＝－，α，β均为锐角，则角β等于(　　)‎ A. B. C. D. 答案　(1)　(2)C 解析　(1)因为α为锐角，cos(α＋)＝>0，‎ 所以α＋为锐角，sin(α＋)＝，‎ 则sin(2α＋)＝2sin(α＋)cos(α＋)＝2××＝.‎ 又cos(2α－)＝sin(2α＋)，‎ 所以cos(2α－)＝.‎ ‎(2)因为α，β均为锐角，‎ 所以－<α－β<.‎ 又sin(α－β)＝－，‎ 所以cos(α－β)＝.‎ 又sinα＝，所以cosα＝，‎ 所以sinβ＝sin[α－(α－β)]‎ ‎＝sinαcos(α－β)－cosαsin(α－β)‎ ‎＝×－×(－)＝.‎ 所以β＝.‎ ‎【变式探究】(1)已知sin＝，cos2α＝，则sinα等于(　　)‎ A. B．－ C．－ D. ‎(2)－等于(　　)‎ A．4 B．2‎ C．－2 D．－4‎ 答案　(1)D　(2)D 解析　(1)由sin＝，‎ 得sinαcos－cosαsin＝，‎ 即sinα－cosα＝，①‎ 又cos2α＝，所以cos2α－sin2α＝，‎ 即(cosα＋sinα)·(cosα－sinα)＝，‎ 因此cosα＋sinα＝－.②‎ 由①②得sinα＝，故选D.‎ ‎(2)－＝－ ‎＝＝ ‎＝＝－4，‎ 故选D.‎ ‎【名师点睛】‎ ‎　(1)三角变换的关键在于对两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角公式，三角恒等变换公式的熟记和灵活应用，要善于观察各个角之间的联系，发现题目所给条件与恒等变换公式的联系，公式的使用过程要注意正确性，要特别注意公式中的符号和函数名的变换，防止出现张冠李戴的情况．(2)求角问题要注意角的范围，要根据已知条件将所求角的范围尽量缩小，避免产生增解．‎ ‎【锦囊妙计，战胜自我】‎ ‎1．三角求值“三大类型”‎ ‎“给角求值”、“给值求值”、“给值求角”．‎ ‎2．三角函数恒等变换“四大策略”‎ ‎(1)常值代换：特别是“1”的代换，1＝sin2θ＋cos2θ＝tan45°等；‎ ‎(2)项的分拆与角的配凑：如sin2α＋2cos2α＝(sin2α＋cos2α)＋cos2α，α＝(α－β)＋β等；‎ ‎(3)降次与升次：正用二倍角公式升次，逆用二倍角公式降次；‎ ‎(4)弦、切互化：一般是切化弦．‎ 易错起源2、正弦定理、余弦定理 例2、(1)(2016·课标全国丙)在△ABC中，B＝，BC边上的高等于BC，则cosA等于(　　)‎ A.B.C．－D．－ ‎(2)(2015·北京)在△ABC中，a＝3，b＝，A＝，则B＝________.‎ 答案　(1)C　(2) 解析　(1)设△ABC中角A，B，C所对的边分别为a，b，c，‎ 则由题意得S△ABC＝a·a＝acsinB，∴c＝a.‎ 由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accosB ‎＝a2＋a2－2×a×a×＝a2，‎ ‎∴b＝a.‎ ‎∴cosA＝＝＝－.‎ 故选C.‎ ‎(2)由正弦定理得sinB＝＝＝，‎ 因为A为钝角，所以B＝.‎ ‎【变式探究】如图，在△ABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，△ABD面积是△ADC面积的2倍．‎ ‎(1)求；‎ ‎(2)若AD＝1，DC＝，求BD和AC的长．‎ ‎ ‎ ‎(2)因为S△ABD∶S△ADC＝BD∶DC，所以BD＝.‎ 在△ABD和△ADC中，由余弦定理知 AB2＝AD2＋BD2－2AD·BDcos∠ADB，‎ AC2＝AD2＋DC2－2AD·DCcos∠ADC.‎ 故AB2＋2AC2＝3AD2＋BD2＋2DC2＝6，‎ 由(1)知AB＝2AC，所以AC＝1.‎ ‎【名师点睛】‎ 关于解三角形问题，一般要用到三角形的内角和定理，正弦、余弦定理及有关三角形的性质，常见的三角变换方法和原则都适用，同时要注意“三统一”，即“统一角、统一函数、统一结构”，这是使问题获得解决的突破口．‎ ‎【锦囊妙计，战胜自我】‎ ‎1．正弦定理：在△ABC中，＝＝＝2R(R为△ABC的外接圆半径)．变形：a＝2RsinA，sinA＝，a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC等．‎ ‎2．余弦定理：在△ABC中，‎ a2＝b2＋c2－2bccosA；‎ 变形：b2＋c2－a2＝2bccosA，cosA＝.‎ 易错起源3、解三角形与三角函数的综合问题 例3　(2015·山东)设f(x)＝sinxcosx－cos2.‎ ‎(1)求f(x)的单调区间；‎ ‎(2)在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若f＝0，a＝1，求△ABC面积的最大值．‎ 解　(1)由题意知f(x)＝－ ‎＝－＝sin2x－.‎ 由－＋2kπ≤2x≤＋2kπ，k∈Z，‎ 可得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z；‎ 由＋2kπ≤2x≤＋2kπ，k∈Z，‎ 可得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z.‎ 所以f(x)的单调递增区间是 (k∈Z)；‎ 单调递减区间是(k∈Z)．‎ ‎(2)由f＝sinA－＝0，得sinA＝，‎ 由题意知A为锐角，所以cosA＝.‎ 由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA，‎ 可得1＋bc＝b2＋c2≥2bc，‎ 即bc≤2＋，且当b＝c时等号成立．‎ 因此bcsinA≤.‎ 所以△ABC面积的最大值为.‎ ‎【变式探究】已知函数f(x)＝cos2x＋2sinxcosx－sin2x.‎ ‎(1)求f(x)的最小正周期和值域；‎ ‎(2)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若f()＝2且a2＝bc，试判断△ABC的形状．‎ 解　(1)f(x)＝cos2x＋2sinxcosx－sin2x ‎＝sin2x＋cos2x ‎＝2sin(2x＋)，‎ 所以T＝π，f(x)∈[－2,2]．‎ ‎【名师点睛】‎ 解三角形与三角函数的综合题，要优先考虑角的范围和角之间的关系；对最值或范围问题，可以转化为三角函数的值域来求．‎ ‎【锦囊妙计，战胜自我】‎ 解三角形与三角函数的综合是近几年高考的热点，主要考查三角形的基本量，三角形的面积或判断三角形的形状．‎