圆的方程知识点总结及相关高考习题详解

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圆的方程知识点总结及相关高考习题详解

圆的方程 ‎1.圆的定义 :在平面内到定点(圆心)的距离等于定长(半径)的点的集合。‎ ‎2.圆的方程 标准式:,其中为圆的半径,为圆心.‎ 一般式:().‎ 其中圆心为,半径为 ‎ 参数方程:,是参数). 消去θ可得普通方程 ‎3. 点与圆的位置关系 判断点与圆的位置关系代入方程看符号.‎ ‎4.直线与圆的位置关系 ‎ ‎ ‎ 直线与圆的位置关系有:相离、相切和相交.‎ 判断方法: (1)代数法:(判别式法)时分别相离、相交、相切. ‎ ‎(2)几何法:圆心到直线的距离 时相离、相交、相切. ‎ ‎5.弦长求法 ‎(1)几何法:弦心距d,圆半径r,弦长l,则 .‎ ‎(2)解析法:弦长公式= │x1-x2│√(k^2+1)=│y1-y2│√[(1/k^2)+1]‎ ‎6.圆与圆的位置关系:相交、相离、相切 直线与圆的经典例题解析 ‎1.已知圆x2+y2+x-6y+m=0和直线x+2y-3=0交于P,Q两点,且OP⊥OQ(O为坐标原点),求该圆的圆心坐标及半径. 解: 将x=3-2y代入方程x2+y2+x-6y+m=0,得5y2-20y+12+m=0. 设P(x1,y1),Q(x2,y2),则y1、y2满足条件:y1+y2=4, y1y2=‎ ‎∵OP⊥OQ, ∴x1x2+y1y2=0. 而x1=3-2y1,x2=3-2y2. ‎∴x1x2=9-6(y1+y2)+4y1y2.∴m=3, ‎ 此时Δ>0,圆心坐标为 , 半径r=. 圆的方程 ‎1.方程x2+y2+ax+2ay+‎2a2+a-1=0表示圆,则a的取值范围是 ( D ) A.a<-2或a> B.-<a<0C.-2<a<0 D.-2<a< ‎2. 已知实数x,y满足y=x2-2x+2 (-1≤x≤1).‎ 试求:的最大值与最小值.‎ 解 由的几何意义可知,它表示经过定点P(-2,-3)与曲线段AB上任一点(x,y)的直线的斜率k, 如图可知:kPA≤k≤kPB,由已知可得:A(1,1),B(-1,5),‎ ‎∴≤k≤8,故的最大值为8,最小值为.‎ 直线斜率 ‎2.(08·安徽卷)若过点的直线与曲线有公共点,则直线的斜率的取值范围为 ( ) A. B. C. D.‎ 解析:记圆心为,记上、下两切点分别记为,则 ‎,∴的斜率 即 .‎ 直线的方程 ‎3.(07·浙江)直线关于直线对称的直线方程是 ( )‎ A. B.‎ C. D.‎ 解析:(利用相关点法)设所求直线上任一点(x,y),则它关于对称点为(2-x, y)在直线上, 即,化简得答案D.‎ 直线与直线的位置关系 ‎4.(06·福建)已知两条直线和互相垂直,则等于 ( ) A.2   B.‎1  ‎C.0  D.‎ 解析:两条直线和互相垂直,则,∴ a=-1,选D.‎ 点与直线的位置关系 ‎5.(06·湖南)圆上的点到直线 的最大距离与最小距离的差是 ( )A.36 B. ‎18 ‎‎ C. D. ‎ 解析:圆的圆心为(2,2),半径为3,圆心到直线的距离为>3,圆上的点到直线的最大距离与最小距离的差是2R =6,选C.‎ 圆的方程 ‎6. (06·重庆)以点(2,-1)为圆心且与直线相切的圆的方程为 ( )A. B.‎ C. D.‎ 解析 =3,故选C.‎ ‎7.(08·福建)若直线3x+4y+m=0与圆 (为参数)没有公共点,则实数m的取值范围是 .‎ 解析:将圆化成标准方程得 ‎,圆心,半径. 直线与圆相离,‎ ‎∴,∴,∴ .‎ 直线与圆的位置关系 ‎7.(09•辽宁)已知圆C与直线x-y=0 及x-y-4=0都相切,圆心在直线x+y=0上,则圆C的方程为 ( B )‎ A. B.‎ C. D. ‎ 解析:圆心在x+y=0上,排除C、D,再结合图象,‎ 或者验证A、B中圆心到两直线的距离等于半径即可.‎ 一.选择题 ‎ 1.(09·湖南重点中学联考)过定点作直线分别交轴、轴正向于A、B两点,若使△ABC(O为坐标原点)的面积最小,则的方程是 ( ) ‎ A. B. C. D.‎ ‎2.(09·湖北重点中学联考)若P(2,-1)为圆(x-1)2+y2=25的弦AB的中点,则直线AB的方程是 ( ) ‎ A.x-y-3=0 B.2x+y-3=‎0 ‎ C.x+y-1=0 D.2x-y-5=0‎ ‎ ‎ ‎3.(09·陕西)过原点且倾斜角为的直线被圆学所截得的弦长为( )‎ A. B‎.2 C. D.2 ‎ ‎4.(09·宁夏海南)已知圆:+=1,圆与圆关于直线对称,则圆的方程为 ( )‎ A.+=1 B.+=‎1 ‎ ‎ C.+=1 D.+=1‎ ‎5.(09·重庆)直线与圆的位置关系为 ( )‎ A.相切 B.相交但直线不过圆心 C.直线过圆心 D.相离 ‎6.(09·重庆)圆心在轴上,半径为1,且过点(1,2)的圆的方程为 ( )‎ A. B. ‎ ‎ C. D.‎ ‎7.(08·湖北)过点作圆的弦,其中弦长为整数的共有 (  )A.16条 B. 17条 C. 32条 D. 34条 ‎8.(08·北京)过直线上的一点作圆的两条切线,当直线关于对称时,它们之间的夹角为 ( ) A. B. C. D.‎ 二.填空题 ‎9.(07·上海)已知与,若两直线平行,则的值为____________.‎ ‎10.(08·天津)已知圆C的圆心与点关于直线对称.直线与圆C相交于两点,且,则圆C的方程为____________. ‎ ‎11.(09·四川)若⊙与⊙相交于A、B两点,且两圆在点A处的切线互相垂直,则线段AB的长度是 w.‎ ‎12.(09·全国)若直线被两平行线所截得的线段的长为,则的倾斜角可以是: ① ② ③ ④⑤ 其中正确答案的序号是 .(写出所有正确答案的序号)‎ ‎13.(09·天津)若圆与圆(a>0)的公共弦的长为,则a=___________ .‎ ‎14.(09·辽宁)已知圆C与直线x-y=0 及x-y-4=0都相切,圆心在直线x+y=0上,则圆C的方程为_____________.‎ 一.选择题 ‎1.【答案】D【解析】由题设,可知,且,‎ ‎ ∴‎ 当且仅当时,.∴ 的方程为: ∴应选D. ‎ ‎2.【答案】A【解析】由(x-1)2+y2=25知圆心为Q(1,0).据kQP·kAB=-1,‎ ‎∴kAB=-=1(其中kQP==-1).∴AB的方程为y=(x-2)-1=x-3,‎ 即x-y-3=0.∴ 应选A.‎ ‎3. 【答案】D【解析】直线方程,圆的方程为:‎ 圆心到直线的距离,由垂径定理知所求弦长为 ,‎ ‎4.【答案】B【解析】设圆的圆心为(a,b),则依题意,有解得,‎ 对称圆的半径不变,为1.‎ ‎5.【答案】B【解析】圆心为到直线,即的距离,而,选B.‎ ‎6.【答案】A【解法】设圆心坐标为,则由题意知,解得,‎ 故圆的方程为.‎ ‎7.【答案】C【解析】由已知得圆心为P(-1,2),半径为13,显然过A点的弦长中最长的是直径,此时只有一条,其长度为26,过A点的弦长中最短的是过A点且垂直于线段PA的弦,也只有一条,其长度为10(PA的长为12,弦长=2=10),而其它的弦可以看成是绕A点不间断旋转而成 的,并且除了最长与最短的外,均有两条件弦关于过A点的直径对称,所以所求的弦共有2(‎26-10-1‎)+2=32.故选C.‎ ‎8.【答案】C【解析】此圆的圆心为C(5,1),半径 ‎.设直线上的点P符合要求,连结PC,则由题意知,又.‎ 设与⊙切于点A,连结AC,则.在中,,∴,‎ ‎∴l1与l2的夹角为60°. 故选C.‎ 二.填空题 ‎9.【答案】 【解析】 .‎ ‎10.【答案】.‎ ‎【解析】圆C的圆心与P(-2,1)关于直线y=x+1对称的圆心为(0,-1),设该圆的方程为设AB中点为M,连结CM、CA,在三角形CMA中 ‎ 故圆的方程为 ‎11.【答案】4 【解析】由题知,且,又,‎ 所以有∴.‎ ‎12.【答案】①或⑤‎ ‎【解析】两平行线间的距离为,由图知直线与的夹角为,的倾斜角为,‎ 所以直线的倾斜角等于或.‎ ‎13.【答案】1【解析】由知的半径为,‎ 解之得.‎ ‎14.【答案】‎ ‎【解析】圆心在x+y=0上,结合图象,或者验证A、B中圆心到两直线的距离等于半径即可.‎
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