高考数学复习点拨直线与圆锥曲线的位置关系

高考数学复习点拨直线与圆锥曲线的位置关系

核心突破——直线与圆锥曲线的位置关系 山东 刘乃东 ‎1．有关直线与圆锥曲线的交点个数问题 有关直线与圆锥曲线的交点个数问题，就是求由它们的方程所组成的方程组的实数解的个数问题，特别地，对于直线与圆的交点的个数问题，则常利用初中所学有关知识解决；有关弦的中点问题，则应注意灵活运用“差分法”，设而不求，简化运算。‎ ‎2．解析几何中的最值、定值问题 常用的方法和技巧有：利用二次函数的性质、三角函数的有界性、基本不等式、函数的单调性、函数的导数、数形结合等。‎ ‎ 3．向量与解析几何的结合 ‎ 运用向量的方法解决解析几何问题，有时可简化运算（平行、垂直与夹角）；也可以把向量转化为坐标运算。‎ 注：（1）关于圆锥曲线的参数取值范围和几何最值问题实属一类问题，其解题方法是统一的，往往都是代数、三角、几何多方面知识的渗透与综合，函数、方程、不等式、转化、化归、分类讨论等多种思想的交叉运用，换元、数形结合、三角代换等多种方法技巧的灵活运用。‎ ‎ （2）求范围与最值问题首先应在做题前弄清：①平面几何知识，如三角形三边不等关系，两点之间线段最短等；②涉及直线与圆锥曲线的公共点，判别式解出不等式；③圆锥曲线上点的坐标的范围；④题目已知条件，某一参数已知的取值范围。‎ ‎ （3）求范围与最值问题的解题方法主要有以下几种：①数形结合法；②函数法；③变量替换法；④不等式法。‎ ‎ 例1 已知抛物线的弦经过点，且（为坐标原点），求弦的长。‎ ‎ 分析：要求弦的长，只需求出、两点的坐标，为此设出、两点的坐标，利用的条件和、、三点共线的条件求解。‎ 解析：由、两点在抛物线上，可设，‎ ‎∵，∴。‎ 由得，‎ ‎∵，∴。 ①‎ ‎∵点、与点在一条直线上，‎ ‎∴，化简整理得， ‎ 将①代入得 ②‎ 由①和②得，从而点的坐标为，点的坐标为，‎ ‎∴。‎ 点评：通过解方程组求得、两点的坐标，然后利用两点间的距离公式求解。‎ 例2 给定双曲线。‎ ‎（1）过点的直线与所给曲线交于两点、，如果点是弦的中点，求的方程；‎ ‎（2）把点改为，具备上述性质的直线是否存在？如果存在，求出方程；如果不存在，请说明理由。‎ 分析：该例综合性较强，要注意分类讨论思想的运用。‎ ‎ 解析：（1）法1：设过点的弦的端点、，‎ 则两式相减得，‎ 故所求直线的方程为。‎ 法2：设直线斜率为，‎ ‎①不存在时，过的直线是，它与双曲线的交点是方程组，交点为不符合题意，舍去。‎ ‎②当存在时，由消去得 ‎ ①‎ 设直线与双曲线的两个交点为、，则是方程①的两个根，则 解此方程组得，故所求直线的方程为。‎ ‎（2）点坐标为，直线方程为不存在时，舍去）。‎ ‎∴，消去得，‎ 则 解得，但不满足条件。‎ 故不存在适合题意的直线。‎ 点评：以某一定点为弦的中点求弦的方程，也要结合韦达定理的中点坐标公式，或者用设点不求的技巧——差点法巧妙地求出斜率。‎ 例3 已知直线与曲线恰有一个公共点，求实数的值。‎ ‎ 分析：切莫先入为主，武断地届定为抛物线方程，因为参数在变化，当时，即变为，此时是一条直线。‎ ‎ 解析：直线与抛物线组成方程组 ‎ 当时，此方程组恰有一组解为 ‎ 当时，消去得。若，即，方程变为，此时方程组有一组解；若时，即，由得，解得，此时直线与抛物线相切，只有一个公共点。‎ 综上所述，当或或时，直线与曲线只有一个公共点。‎ 点评：对于开放的曲线，仅是直线与圆锥曲线有一个公共点的充分但不必要条件，解题时应特别注意。‎ 练习：‎ ‎1．为过椭圆中心的弦，是椭圆的右焦点，则的面积的最大值是（ ）‎ ‎． ． ． ． ‎ ‎2．若椭圆经过点，则的最小值为（ ）‎ ‎．12 ．16 ．18 ．20‎ ‎3．点在直线上，过作圆的两条切线，其中、是切点，那么四边形（是原点）面积的最小值是。‎ 答案：‎ ‎1．‎ ‎2．‎ ‎3．8‎