超全高考物理复习 曲线运动 万有引力与航天

超全高考物理复习 曲线运动 万有引力与航天

第四章 曲线运动 万有引力与航天 ‎ 第1 讲 曲线运动 平抛运动 ‎1.‎ 图4－1－15‎ 物理实验小组利用如图4－1－15所示装置测量物体平抛运动的初速度．他们经多次实验和计算后发现：在地面上沿抛出的速度方向水平放置一把刻度尺，让悬挂在抛出点处的重锤线的投影落在刻度尺的零刻度线上，则利用小球在刻度尺上的落点位置，就可直观地得到小球做平抛运动的初速度．如图四位同学在刻度尺旁边分别制作了速度标尺(图中P点为重锤所指位置)，可能正确的是(　　)‎ 解析：由于高度一定，平抛运动的时间t＝ 一定，水平速度v＝，即v与x成正比，在刻度线上速度分布均匀，A正确．‎ 答案：A ‎2.‎ 图4－1－16‎ 如图4－1－16为一个做匀变速曲线运动的质点的轨迹示意图，已知在B点的速度与加速度相互垂直，则下列说法中正确的是(　　)‎ A．D点的速率比C点的速率大 B．A点的加速度与速度的夹角小于90°‎ C．A点的加速度比D点的加速度大 D．从A到D加速度与速度的夹角先增大后减小 解析：质点做匀变速曲线运动，合力的大小方向均不变，加速度不变，故C错误；由B点速度与加速度相互垂直可知，合力方向与B点切线垂直且向下，故质点由C到D过程，合力做正功，速率增大，A正确．A点的加速度方向与过A的切线也即速度方向夹角大于90°，B错误，从A到D加速度与速度的夹角一直变小，D错误．‎ 答案：A ‎3.‎ 图4－1－17‎ ‎(2010·北京西城区抽样)‎ 随着人们生活水平的提高，高尔夫球将逐渐成为普通人的休闲娱乐．如图4－1－17所示，某人从高出水平地面h的坡上水平击出一个质量为m的高尔夫球．由于恒定的水平风力的作用，高尔夫球竖直地落入距击球点水平距离为L的A穴．则(　　)‎ A．球被击出后做平抛运动 B．该球从被击出到落入A穴所用的时间为 C．球被击出时的初速度大小为L D．球被击出后受到的水平风力的大小为mgh/L 解析：由于受到恒定的水平风力的作用，球被击出后在水平方向做匀减速运动，A错误；由h＝gt2得球从被击出到落入A穴所用的时间为t＝ ，B正确；由题述高尔夫球竖直地落入A穴可知球水平末速度为零，由L＝v0t/2得球被击出时的初速度大小为v0＝L ，C正确；由v0＝at得球水平方向加速度大小a＝gL/h，球被击出后受到的水平风力的大小为F＝ma＝mgL/h，D错误．‎ 答案：BC ‎4.‎ 图4－1－18‎ 如图4－1－18所示，在斜面顶端a处以速度va水平抛出一小球，经过时间ta恰好落在斜面底端P处；今在P点正上方与a等高的b处以速度vb水平抛出另一小球，经过时间tb恰好落在斜面的中点处．若不计空气阻力，下列关系式正确的是(　　)‎ A．va＝vb B．va＝vb C．ta＝tb D．ta＝tb 解析：做平抛运动的物体运动时间由竖直方向的高度决定t＝ ，a物体下落的高度是b的2倍，有ta＝tb，D正确；水平方向的距离由高度和初速度决定x＝v0 ，由题意得a的水平位移是b的2倍，可知va＝vb，B正确．‎ 答案：BD ‎5.‎ 图4－1－19‎ 甲、乙两船在同一条河流中同时开始渡河，河宽为H，河水流速为v0，划船速度均为v，出发时两船相距为H，甲、乙两船船头均与河岸成60°角，如图4－1－19所示，已知乙船恰好能垂直到达对岸A点，则下列判断正确的是(　　)‎ A．甲、乙两船到达对岸的时间不同 B．v＝2v0‎ C．两船可能在未到达对岸前相遇 D．甲船也在A点靠岸 解析：渡河时间均为，乙能垂直于河岸渡河，对乙船，由vcos 60°＝v0，可得v＝2v0，甲船在该时间内沿水流方向的位移为(vcos 60°＋v0)＝H刚好到A 点．综上所述，A、C错误，B、D正确．‎ 答案：BD ‎6.‎ 图4－1－20‎ 如图4－1－20所示，在距地面高为H＝‎45 m处，有一小球A以初速度v0＝‎10 m/s水平抛出，与此同时，在A的正下方有一物块B也以相同的初速度v0同方向滑出，B与地面间的动摩擦因数为μ＝0.5，A、B均可看做质点，空气阻力不计，重力加速度g取‎10 m/s2，求：‎ ‎(1)A球从抛出到落地的时间和这段时间内的水平位移；‎ ‎(2)A球落地时，A、B之间的距离．‎ 解析：(1)根据H＝gt2得t＝3 s，由x＝v0t　得x＝‎30 m.‎ ‎(2)对于B球，根据F合＝ma，F合＝μmg，可得加速度大小a＝‎5 m/s2.判断得在A落地之前B已经停止运动，xA＝x＝‎30 m，由v＝2axB　xB＝‎10 m，则Δx＝xA－xB＝‎‎20 m 答案：(1)3 s　‎30 m　(2)‎‎20 m ‎ ‎ ‎1．一个物体在相互垂直的恒力F1和F2作用下，由静止开始运动，经过一段时间后，突然撤去F2，则物体的运动情况将是(　　)‎ A．物体做匀变速曲线运动 B．物体做变加速曲线运动 C．物体做匀速直线运动 D．物体沿F1的方向做匀加速直线运动 解析：物体在相互垂直的恒力F1和F2的作用下，由静止开始做匀加速直线运动，其速度方向与F合的方向一致，经过一段时间后，撤去F2，F1与v不在同一直线上，故物体必做曲线运动；由于F1恒定，由a＝，a也恒定，故应为匀变速曲线运动，选项A正确．‎ 答案：A ‎2.‎ 图4－1－21‎ 一小船在河中xOy平面内运动的轨迹如图4－1－21所示，下列判断正确的是(　　)‎ A．若小船在x方向始终匀速，则y方向先加速后减速 B．若小船在x方向始终匀速，则y方向先减速后加速 C．若小船在y方向始终匀速，则x方向先减速后加速 D．若小船在y方向始终匀速，则x方向先加速后减速 解析：小船运动轨迹上各点的切线方向为小船的合速度方向，若小船在x方向始终匀速，由合速度方向的变化可知，小船在y方向的速度先减小再增加．故A错误，B正确；若小船在y方向始终匀速，由合速度方向的变化可知，小船在x方向的速度先增加后减小，故C错误，D正确．‎ 答案：BD ‎3.‎ 图4－1－22‎ 平抛运动可以分解为水平和竖直方向的两个直线运动，在同一坐标系中作出这两个分运动的v－t图线，如图4－1－22所示．若平抛运动的时间大于2t1，下列说法中正确的是(　　)‎ A．图线2表示竖直分运动的v－t图线 B．t1时刻的速度方向与初速度方向夹角为30°‎ C．t1时间内的竖直位移与水平位移之比为1∶2‎ D．2t1时刻的速度方向与初速度方向夹角为60°‎ 解析：平抛运动在竖直方向做自由落体运动，其竖直方向速度v2＝gt，选项A正确；t1时刻水平速度与竖直速度相等，v1＝gt1，合速度方向与初速度方向夹角为45°，选项B错；t1时间内的水平位移x＝v1t1，竖直位移y＝gt＝v1t1＝x，选项C正确；2t1时刻竖直速度v2′＝2gt1，tan α＝v2′/v1＝2，合速度方向与初速度方向夹角为α＝arctan 2＞60°，选项D错．‎ 答案：AC ‎4.‎ 图4－1－23‎ 如图4－1－23所示，在竖直放置的半圆形容器的中心O点分别以水平初速度v1、v2抛出两个小球(可视为质点)，最终它们分别落在圆弧上的A点和B点，已知OA与OB互相垂直，且OA与竖直方向成α角，则两小球初速度之比为(　　)‎ A．tan α B．cos α C．tan α D．cos α 解析：两小球被抛出后都做平抛运动，设容器半径为R，两小球运动时间分别为tA、tB，对A球：Rsin α＝vAtA，Rcos α＝at；对B球：Rcos α＝vBtB，Rsin α＝at，解四式可得：＝tan α，C项正确．‎ 答案：C ‎5．“5·‎12”‎汶川大地震，牵动了全国人民的心．一架装载救灾物资的直升飞机，以‎10 ‎m/s的速度水平飞行，在距地面‎180 m的高度处，欲将救灾物资准确投放至地面目标，若不计空气阻力，g取‎10 m/s2，则(　　)‎ A．物资投出后经过6 s到达地面目标 B．物资投出后经过18 s到达地面目标 C．应在距地面目标水平距离‎60 m处投出物资 D．应在距地面目标水平距离‎180 m处投出物资 解析：本题考查平抛运动的规律．物资投出后做平抛运动，其落地所用时间由高度决定，t＝ ＝6 s，A项正确，B项错误；抛出后至落地的水平位移为x＝vt＝‎60 m，C项正确，D项错误．‎ 答案：AC ‎6.‎ 图4－1－24‎ 在一个光滑水平面内建立平面直角坐标系xOy，质量为‎1 kg的物体原来静止在坐标原点O(0,0)，从t＝0时刻起受到如图4－1－24所示随时间变化的外力作用，Fy表示沿y轴方向的外力，Fx表示沿x轴方向的外力，下列说法中正确的是(　　)‎ A．前2 s内物体沿x轴做匀加速直线运动 B．后2 s内物体继续做匀加速直线运动，但加速度沿y轴方向 C．4 s末物体坐标为(‎4 m,‎4 m)‎ D．4 s末物体坐标为(‎12 m,‎4 m)‎ 解析：前2 s内物体只受x轴方向的作用力，故沿x轴做匀加速直线运动，A正确；其加速度为ax＝‎2 m/s2，位移为x1＝axt2＝‎4 m．后2 s内物体沿x轴方向做匀速直线运动，位移为x1＝‎8 m，沿y轴方向做匀加速直线运动，加速度为ay＝‎2 m/s2，位移为y＝ayt2＝‎4 m，故4 s末物体坐标为(‎12 m,‎4 m)，D正确．‎ 答案：AD ‎7.‎ 图4－1－25‎ ‎(2010·开封期末)如图4－1－25所示，取稍长的细杆，其一端固定一枚铁钉，另一端用羽毛做一个尾翼，做成A、B两只飞镖，将一软木板挂在竖直墙壁上，作为镖靶．在离墙壁一定距离的同一处，将它们水平掷出，不计空气阻力，两只飞镖插在靶上的状态如图4－1－25所示(侧视图)．则下列说法中正确的是(　　)‎ A．A镖掷出时的初速度比B镖掷出时的初速度大 B．B镖插入靶时的末速度比A镖插入靶时的末速度大 C．B镖的运动时间比A镖的运动时间长 D．A镖的质量一定比B镖的质量大 解析：平抛运动可以分为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动．即x＝v0t，y＝gt2.题目中两飞镖在同一处水平抛出，飞镖B在竖直方向下落的距离大，说明飞镖B在空中运动的时间长．又因为两飞镖抛出时距墙壁的水平距离相同，所以飞镖B的水平速度小．所以选项A、C正确；两飞镖的质量大小不能确定，所以选项D错误；飞镖B的水平速度比飞镖A小，但飞镖B的竖直速度比飞镖A大，而末速度指的是水平速度和竖直速度的合速度．因此不能确定两飞镖的末速度，所以选项B错误．‎ 答案：AC ‎8.‎ 图4－1－26‎ 如图4－1－26所示，高为h＝‎1.25 m的平台上，覆盖一层薄冰，现有一质量为‎60 kg的滑雪爱好者，以一定的初速度v向平台边缘滑去，着地时的速度方向与水平地面的夹角为45°(取重力加速度g＝‎10 m/s2)．由此可知正确的是(　　)‎ A．滑雪者离开平台边缘时的速度大小是‎5.0 m/s B．滑雪者着地点到平台边缘的水平距离是‎2.5 m C．滑雪者在空中运动的时间为0.5 s D．滑雪者着地的速度大小为‎5 m/s 解析：滑雪者平抛运动的时间t＝ ＝0.5 s，落地时的竖直速度vy＝gt＝‎5.0 m/s，因着地速度与水平方向的夹角为45°，由vcos 45°＝v0，vsin 45°＝vy，可得滑雪者离开平台的水平速度v0＝‎5.0 m/s，着地的速度大小为v＝‎5 m/s，平抛过程的水平距离为x＝v0t＝‎2.5 m，故A、B、C、D均正确．‎ 答案：ABCD ‎9.‎ 图4－1－27‎ 乒乓球在我国有广泛的群众基础，并有“国球”的美誉，中国乒乓球的水平也处于世界领先地位．现讨论乒乓球发球问题，已知球台长L、网高h，假设乒乓球反弹前后水平分速度不变，竖直分速度大小不变、方向相反，且不考虑乒乓球的旋转和空气阻力．若球在球台边缘O点正上方某高度处以一定的速度被水平发出(如图4－1－27所示)，球恰好在最高点时越过球网，则根据以上信息可以求出(　　)‎ A．发球的初速度大小 B．发球时的高度 C．球从发出到第一次落在球台上的时间 D．球从发出到对方运动员接住的时间 解析：由运动对称性可知，发球位置距球台的高度等于网高h，发球点到球第一次落在台上P1点的水平距离为L/4，根据平抛运动的规律h＝gt2，＝v0t，由此两式可求出发球时的速度v0和球从发出到第一次落在台上的时间t，所以A、B、C项均正确；但由于不知道对方运动员在何处接住球，故无法求出总时间，D项错误．‎ 答案：ABC ‎10.‎ 图4－1－28‎ ‎(2010·西安质检)质量为‎0.2 kg的物体，其速度在x、y方向的分量vx、vy与时间t的关系如图4－1－28所示，已知x、y方向相互垂直，则(　　)‎ A．0～4 s内物体做曲线运动 B．0～6 s内物体一直做曲线运动 C．0～4 s内物体的位移为‎12 m D．4～6 s内物体的位移为‎2 m 答案：AD ‎11.‎ 图4－1－29‎ 如图4－1－29所示，一小球从平台上水平抛出，恰好落在临近平台的一倾角为α＝53°的光滑斜面顶端，并刚好沿光滑斜面下滑，已知斜面顶端与平台的高度差h＝‎0.8 m，g＝‎10 m/s2，sin 53°＝0.8，cos 53°＝0.6，则 ‎(1)小球水平抛出的初速度v0是多大？‎ ‎(2)斜面顶端与平台边缘的水平距离s是多少？‎ ‎(3)若斜面顶端高H＝‎20.8 m，则小球离开平台后经多长时间t到达斜面底端？‎ 解析：(1)由题意可知：小球落到斜面上并沿斜面下滑，说明此时小球速度方向与斜面平行，否则小球会弹起，所以vy＝v0tan 53°，v＝2gh，则vy＝‎4 m/s，v0＝‎3 m/s.‎ ‎(2)由vy＝gt1得t1＝0.4 s，x＝v0t1＝3×‎0.4 m＝‎1.2 m.‎ ‎(3)小球沿斜面做匀加速直线运动的加速度a＝gsin 53°，初速度v＝‎5 m/s.则 ＝vt2＋at，解得t2＝2 s．(或t2＝－ s不合题意舍去)‎ 所以t＝t1＋t2＝2.4 s.‎ 答案：(1)‎3 m/s　(2)‎1.2 m　(3)2.4 s ‎12.‎ 图4－1－30‎ 如图4－1－30所示，在距地面‎80 m高的水平面上做匀加速直线运动的飞机上每隔1 s依次放下a、b、c三物体，抛出点a、b与b、c间距分别为‎45 m和‎55 m，分别落在水平地面上的A、B、C处．求：‎ ‎(1)飞机飞行的加速度；‎ ‎(2)刚放下b物体时飞机的速度大小；‎ ‎(3)b、c两物体落地点BC间距离．‎ 解析：(1)飞机水平方向上，由a经b到c做匀加速直线运动，由Δx＝aT2得，a＝＝＝‎10 m/s2.‎ ‎(2)因位置b对应a到c过程的中间时刻，故有vb＝＝‎50 m/s.‎ ‎(3)设物体落地时间为t，由h＝gt2得：t＝ ＝4 s，BC间距离为：BC＝bc＋vct－vbt，‎ 又vc－vb＝aT，得：BC＝bc＋aTt＝‎95 m.‎ 答案：(1)‎10 m/s2　(2)‎50 m/s　(3)‎‎95 m 第4讲 万有引力与航天 ‎1.‎ 图4－4－4‎ 三颗人造地球卫星A、B、C在同一平面内沿不同的轨道绕地球做匀速圆周运动，且绕行方向相同，已知RA＜RB＜RC.若在某一时刻，它们正好运行到同一条直线上，如图4－4－4所示．那么再经过卫星A的四分之一周期时，卫星A、B、C的位置可能是(　　)‎ 答案：C ‎2．(2009·全国Ⅰ，19)天文学家新发现了太阳系外的一颗行星．这颗行星的体积是地球的4.7倍，质量是地球的25倍．已知某一近地卫星绕地球运动的周期约为1.4小时，引力常量G＝6.67×10－11 N·m2/kg2，由此估算该行星的平均密度约为(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ A．1.8×‎103 kg/m3 B．5.6×‎103 kg/m‎3 ‎‎ C．1.1×‎104 kg/m3 D．2.9×‎104 kg/m3‎ 解析：近地卫星绕地球做圆周运动时，所受万有引力充当其做圆周运动的向心力，即：G＝m2R，由密度、质量和体积关系M＝ρ·πR3解两式得：ρ＝≈5.60×‎103 kg/m3.由已知条件可知该行星密度是地球密度的25/4.7倍，即ρ＝5.60×103× kg/m3＝2.9×‎104 kg/m3.‎ 答案：D ‎3．质量相等的甲、乙两颗卫星分别贴近某星球表面和地球表面围绕其做匀速圆周运动，已知该星球和地球的密度相同，半径分别为R和r，则(　　)‎ A．甲、乙两颗卫星的加速度之比等于R∶r ‎ B．甲、乙两颗卫星所受的向心力之比等于1∶1‎ C．甲、乙两颗卫星的线速度之比等于1∶1 ‎ D．甲、乙两颗卫星的周期之比等于R∶r 解析：由F＝G和M＝ρπR3可得万有引力F＝GπRmρ，又由牛顿第二定律F＝ma可得，A正确．卫星绕星球表面做匀速圆周运动时，万有引力等于向心力，因此B错误．由F＝GπRmρ，F＝m可得，选项C错误．由F＝GπRmρ，F＝mR可知，周期之比为1∶1，故D错误．‎ 答案：A ‎4.‎ 图4－4－5‎ 为纪念伽利略将望远镜用于天文观测400周年，2009年被定为以“探索我的宇宙”为主题的国际天文年．我国发射的“嫦娥一号”卫星经过一年多的绕月运行，完成了既定任务，于‎2009年3月1日16时13分成功撞月．如图4－4－5为“嫦娥一号”卫星撞月的模拟图，卫星在控制点①开始进入撞月轨道．假设卫星绕月球做圆周运动的轨道半径为R，周期为T，引力常量为G.根据题中信息，以下说法正确的是(　　)‎ A．可以求出月球表面的重力加速度 B．可以求出月球对“嫦娥一号”卫星的引力 C．“嫦娥一号”卫星在控制点①处应减速 D．“嫦娥一号”在地面的发射速度大于‎11.2 km/s 解析：根据G＝m2R，已知卫星的T、R和引力常量G，可以求月球的质量m1；因为不知道“嫦娥一号”卫星的质量，故无法知道月球对“嫦娥一号”卫星的引力，B项错误；在控制点①，卫星要做向心运动，故需要减速，C项正确；‎11.2 km/s是第二宇宙速度，是卫星脱离地球引力的束缚成为太阳的人造行星的最小发射速度，而“嫦娥一号”卫星并不能脱离地球引力的范围，故其发射速度小于‎11.2 km/s，D项错误．‎ 答案：C ‎5.‎ 图4－4－6‎ 神奇的黑洞是近代引力理论所预言的一种特殊天体，探寻黑洞的方案之一是观测双星系统的运动规律．天文学家观测河外星系麦哲伦云时，发现了LMCX3双星系统，它由可见星A和不可见的暗星B构成．两星视为质点，不考虑其他天体的影响，A、B围绕两者的连线上的O点做匀速圆周运动，它们之间的距离保持不变，如图4－4－6所示．引力常量为G，由观测能够得到可见星A的速率v和运行周期T.‎ ‎(1)可见星A所受暗星B的引力FA可等效为位于O点处质量为m′的星体(视为质点)对它的引力，设A和B的质量分别为m1、m2，试求m′(用m1、m2表示)；‎ ‎(2)求暗星B的质量m2与可见星A的速率v、运行周期T和质量m1之间的关系式．‎ 解析：(1)由G＝m1ω2r1＝m2ω2r2，可得r1/r2＝m2/m1，‎ 又由G＝G，可解得：m′＝.‎ ‎(2)由v＝，得r1＝，再由G＝m1可得：G＝.‎ 答案：(1)m′＝　(2)G＝ ‎ ‎ ‎1．可以发射一颗这样的人造地球卫星，使其圆轨道(　　)‎ A．与地球表面上某一纬度线(非赤道)是共面同心圆 B．与地球表面上某一经度线所决定的圆是共面同心圆 C．与地球表面上的赤道线是共面同心圆，且卫星相对地球表面是静止的 D．与地球表面上的赤道线是共面同心圆，但卫星相对地球表面是运动的 解析：人造卫星绕地球做圆周运动所需的向心力是万有引力提供的，人造卫星受地球的引力一定指向地心，所以任何人造卫星的稳定轨道平面都是通过地心的．A选项所述的卫星不能满足这个条件，A错．B选项所述的卫星虽然满足这个条件，但是由于地球在自转，经线所决定的平面也在转动，这样的卫星又不可能有与地球自转同方向的速度，所以不可能始终在某一经线所决定的平面内，如图所示，故B项也错．无论高低如何，轨道平面与地球赤道平面重合的卫星都是存在的，C选项所述卫星就是地球同步卫星，而D项所述卫星不是同步卫星，故C、D项都对．‎ 答案：CD ‎2．据报道，‎2009年4月29日，美国亚利桑那州一天文观测机构发现一颗与太阳系其他行星逆向运行的小行星，代号为2009HC82.该小行星绕太阳一周的时间为T年，直径2～‎3千米，而地球与太阳之间的距离为R0.如果该行星与地球一样，绕太阳运动可近似看做匀速圆周运动，则小行星绕太阳运动的半径约为(　　)‎ A．R0 B．R‎0 C．R0　 D．R0 解析：小行星和地球绕太阳做圆周运动，都是由万有引力提供向心力，有＝m22R，可知小行星绕太阳运行轨道半径为R＝R0　＝R0　，A正确．‎ 答案：A ‎3.‎ 图4－4－7‎ ‎2008年9月27日‎16时40分，我国航天员翟志刚打开“神舟”七号载人飞船轨道舱舱门，首度实施空间出舱活动，在茫茫太空第一次留下中国人的足迹(如图4－4－7所示)．翟志刚出舱时，“神舟”七号的运行轨道可认为是圆周轨道．下列关于翟志刚出舱活动的说法正确的是(　　)‎ A．假如翟志刚握着哑铃，肯定比举着五星红旗费力 B．假如翟志刚自由离开“神舟”七号，他将在同一轨道上运行 C．假如没有安全绳束缚且翟志刚使劲向前推“神舟”七号，他将可能沿竖直线自由落向地球 D．假如“神舟”七号上有着和轮船一样的甲板，翟志刚在上面行走的步幅将比在地面上大 解析：“神舟”七号上的一切物体都处于完全失重状态，受到的万有引力提供向心力，A错B对；假如没有安全绳束缚且翟志刚使劲向前推“神舟”七号，将使他对地的速度减小，翟志刚将在较低轨道运动，C错误；由于“神舟”七号上的一切物体都处于完全失重状态，就算“神舟”七号上有着和轮船一样的甲板，翟志刚也几乎不能行走，D错误．‎ 答案：B ‎4.‎ 图4－4－8‎ 在美国东部时间‎2009年2月10日上午11时55分(北京时间11日0时55分)，美国一颗质量约为‎560 kg的商用通信卫星“铱33”与俄罗斯一颗已经报废的质量约为‎900 kg军用通信卫星“宇宙2251”相撞，碰撞发生的地点在俄罗斯西伯利亚上空，同时位于国际空间站轨道上方‎434千米的轨道上，如图4－4－8所示．如果将卫星和空间站的轨道都近似看做圆形，则在相撞前一瞬间下列说法正确的是(　　)‎ A．“铱‎33”‎卫星比“宇宙‎2251”‎卫星的周期大 B．“铱‎33”‎卫星比国际空间站的运行速度大 C．“铱‎33”‎卫星的运行速度大于第一宇宙速度 D．“宇宙‎2251”‎卫星比国际空间站的角速度小 解析：由题意知两卫星的轨道半径相等且大于空间站的轨道半径，故A项错．又v＝ ，所以“铱33”卫星的运行速度小于空间站的运行速度，第一宇宙速度为地球表面卫星的最大运行速度，故B、C均错．由ω＝可知，半径越小，ω越大，故D正确．‎ 答案：D ‎5．(2010·杭州七校联考)一宇宙飞船绕地心做半径为r的匀速圆周运动，飞船舱内有一质量为m的人站在可称体重的台秤上．用R表示地球的半径，g表示地球表面处的重力加速度，g′表示宇宙飞船所在处的地球引力加速度，FN表示人对秤的压力，下列说法中正确的是(　　)‎ A．g′＝0 B．g′＝g C．FN＝0 D．FN＝mg 解析：做匀速圆周运动的飞船及其上的人均处于完全失重状态，台秤无法测出其重力，故FN＝0，C正确，D错误；对地球表面的物体，＝mg，宇宙飞船所在处，＝mg′，可得：g′＝g，A错误，B正确．‎ 答案：BC ‎6．“探路者”号宇宙飞船在宇宙深处飞行过程中，发现A、B两颗均匀球形天体，两天体各有一颗靠近其表面飞行的卫星，测得两颗卫星的周期相等，以下判断正确的是(　　)‎ A．天体A、B的质量一定不相等 B．两颗卫星的线速度一定相等 C．天体A、B表面的重力加速度之比等于它们的半径之比 D．天体A、B的密度一定相等 解析：假设某行星有卫星绕其表面旋转，万有引力提供向心力，可得G＝mR，那么该行星的平均密度为ρ＝＝＝卫星的环绕速度v＝ ，表面的重力加速度g＝G＝G·，所以正确答案是CD.‎ 答案：CD ‎7．‎2008年9月25日21时10分，载着翟志刚、刘伯明、景海鹏三位宇航员的“神舟七号”飞船在中国酒泉卫星发射中心发射成功.‎9月27日翟志刚成功实施了太空行走．如果“‎ 神舟七号”飞船在离地球表面h高处的轨道上做周期为T的匀速圆周运动，已知地球的半径R，万有引力常量为G.在该轨道上，“神舟七号”航天飞船(　　)‎ A．运行的线速度大小为 B．运行的线速度小于第一宇宙速度 C．运行时的向心加速度大小为 D．地球表面的重力加速度大小可表示为 解析：本题考查天体运动和万有引力定律的应用．由于飞船的轨道半径为R＋h，故A项错误；第一宇宙速度是环绕的最大速度，所以飞船运行的速度小于第一宇宙速度，B项正确；运行的向心加速度为a＝，C项正确；在地球表面mg＝G，对飞船G＝m(R＋h)，所以地球表面的重力加速度g＝，D项正确．‎ 答案：BCD ‎8.‎ 图4－4－9‎ ‎2008年9月我国成功发射“神舟七号”载人航天飞船．如图4－4－9为“神舟七号”绕地球飞行时的电视直播画面，图中数据显示，飞船距地面的高度约为地球半径的.已知地球半径为R，地面附近的重力加速度为g，大西洋星距地面的高度约为地球半径的6倍．设飞船、大西洋星绕地球均做匀速圆周运动．则(　　)‎ A．“神舟七号”飞船在轨运行的加速度为‎0.91g 　　‎ B．“神舟七号”飞船在轨运行的速度为 C．大西洋星在轨运行的角速度为 　　‎ D．大西洋星在轨运行的周期为2π　 解析：“神舟七号”飞船在轨运行时，由牛顿第二定律得＝m‎1a＝m1，h＝，由物体在地球表面受到的万有引力近似等于物体重力得：GM＝gR2，所以有a＝g＝‎0.91g，v＝ ，故A正确．大西洋星绕地球做匀速圆周运动时，由牛顿第二定律得＝m2(R＋h′)ω2＝m2(R＋h′)，且h′＝6R，所以有ω＝ ，T＝2π ，故CD正确．‎ 答案：ACD ‎9．(2009·福建，14)“嫦娥一号”月球探测器在环绕月球运行过程中，设探测器运行的轨道半径为r，运行速率为v，当探测器在飞越月球上一些环形山中的质量密集区上空时(　　)‎ A．r、v都将略为减小 B．r、v都将保持不变 C．r将略为减小，v将略为增大 D．r将略为增大，v将略为减小 解析：当探测器飞越月球上一些环形山中的质量密集区的上空时，相当于探测器和月球重心间的距离变小了，由万有引力定律F＝ 可知，探测器所受月球的引力将增大，这时的引力略大于探测器以原来轨道半径运行所需要的向心力，探测器将做靠近圆心的运动，使轨道半径略为减小，而且月球的引力对探测器做正功，使探测器的速度略微增加，故A、B、D选项错误，C选项正确．‎ 答案：C ‎10.‎ 图4－4－10‎ 如图4－4－10是“嫦娥一号”奔月示意图，卫星发射后通过自带的小型火箭多次变轨， 进入地月转移轨道，最终被月球引力捕获，成为绕月卫星，并开展对月球的探测．下列说法正确的是(　　)‎ A．发射“嫦娥一号”的速度必须达到第三宇宙速度 B．在绕月圆轨道上，卫星周期与卫星质量有关 C．卫星受月球的引力与它到月球中心距离的平方成反比 D．在绕月圆轨道上，卫星受地球的引力大于受月球的引力 解析：本题考查了与万有引力定律相联的多个知识点， 如万有引力公式、宇宙速度、卫星的周期等， 设问角度新颖．第三宇宙速度是卫星脱离太阳系的最小发射速度，所以“嫦娥一号”卫星的发射速度一定小于第三宇宙速度，A项错误；设卫星轨道半径为r，由万有引力定律知卫星受到的引力F＝G，C项正确．设卫星的周期为T，由G＝mr得T2＝ r3，所以卫星的周期与月球质量有关，与卫星质量无关，B项错误．卫星在绕月轨道上运行时，由于离地球很远，受到地球引力很小，卫星做圆周运动的向心力主要是月球引力提供，D错误．‎ 答案：C ‎11．宇航员在地球表面以一定初速度竖直上抛一小球，经过时间t小球落回原处；若他在某星球表面以相同的初速度竖直上抛同一小球，需经过时间5t小球落回原地．(取地球表面重力加速度g＝‎10 m/s2，阻力不计)‎ ‎(1)求该星球表面附近的重力加速度g′；‎ ‎(2)已知该星球的半径与地球半径之比为R星∶R地＝1∶4，求该星球的质量与地球质量之比M星∶M地．‎ 解析：(1)设竖直上抛初速度为v0，则v0＝gt/2＝g′·5t/2，故g′＝g＝‎2 m/s2.‎ ‎(2)设小球质量为m，则mg＝　M＝，故＝＝×＝.‎ 答案：(1)‎2 m/s2　(2) ‎12.‎ 图4－4－11‎ 欧盟和我国合作的“伽利略”‎ 全球卫星定位系统的空间部分由平均分布在三个轨道平面上的30颗轨道卫星构成，每个轨道平面上有10颗卫星，从而实现高精度的导航定位．现假设“伽利略”系统中每颗卫星均围绕地心O做匀速圆周运动，轨道半径为r，一个轨道平面上某时刻10颗卫星所在位置如图4－4－11所示，相邻卫星之间的距离相等，卫星1和卫星3分别位于轨道上A、B两位置，卫星按顺时针运行．地球表面重力加速度为g，地球的半径为R，不计卫星间的相互作用力．求卫星1由A位置运行到B位置所需要的时间．‎ 解析：设地球质量为M，卫星质量为m，每颗卫星的运行周期为T，万有引力常量为G，由万有引力定律和牛顿定律有G＝mr2 ①‎ 地球表面重力加速度为g＝G ②‎ 联立①②式可得T＝ ③‎ 卫星1由A位置运行到B位置所需要的时间为t＝T ④‎ 联立③④式可得t＝ .‎ 答案： 第2讲 圆周运动及其应用 ‎1.‎ 图4－2－11‎ 在观看双人花样滑冰表演时，观众有时会看到女运动员被男运动员拉着离开冰面在空中做水平方向的匀速圆周运动．已知通过目测估计拉住女运动员的男运动员的手臂和水平冰面的夹角约为45°，重力加速度为g＝‎10 m/s2，若已知女运动员的体重为‎35 kg，据此可估算该女运动员(　　) ‎ A．受到的拉力约为350 N B．受到的拉力约为350 N C．向心加速度约为‎10 m/s2 D．向心加速度约为‎10 m/s2‎ 解析：本题考查了匀速圆周运动的动力学分析．以女运动员为研究对象，受力分析如图．根据题意有G＝mg＝350 N；则由图易得女运动员受到的拉力约为350 N，A正确；向心加速度约为‎10 m/s2，C正确．‎ 答案：AC ‎2.‎ 图4－2－12‎ 中央电视台《今日说法》栏目最近报道了一起发生在湖南长沙某区湘府路上的离奇交通事故．‎ 家住公路拐弯处的张先生和李先生家在三个月内连续遭遇了七次大卡车侧翻在自家门口的场面，第八次有辆卡车冲进李先生家，造成三死一伤和房屋严重损毁的血腥惨案．经公安部门和交通部门协力调查，画出的现场示意图如图4－2－12所示．交警根据图示作出以下判断，你认为正确的是(　　)‎ A．由图可知汽车在拐弯时发生侧翻是因为车做离心运动 B．由图可知汽车在拐弯时发生侧翻是因为车做向心运动 C．公路在设计上可能内(东)高外(西)低 D．公路在设计上可能外(西)高内(东)低 解析：由题图可知发生事故时，卡车在做圆周运动，从图可以看出卡车冲入民宅时做离心运动，故选项A正确，选项B错误；如果外侧高，卡车所受重力和支持力提供向心力，则卡车不会做离心运动，也不会发生事故，故选项C正确．‎ 答案：AC ‎3.‎ 图4－2－13‎ ‎(2010·湖北部分重点中学联考)如图4－2－13所示，质量为m的小球置于正方体的光滑盒子中，盒子的边长略大于球的直径．某同学拿着该盒子在竖直平面内做半径为R的匀速圆周运动，已知重力加速度为g，空气阻力不计，要使在最高点时盒子与小球之间恰好无作用力，则(　　)‎ A．该盒子做匀速圆周运动的周期一定小于2π B．该盒子做匀速圆周运动的周期一定等于2π C．盒子在最低点时盒子与小球之间的作用力大小可能小于2mg D．盒子在最低点时盒子与小球之间的作用力大小可能大于2mg 解析：要使在最高点时盒子与小球之间恰好无作用力，则有mg＝，解得该盒子做匀速圆周运动的速度v＝，该盒子做匀速圆周运动的周期为T＝＝2π.选项A错误，B正确；在最低点时，盒子与小球之间的作用力和小球重力的合力提供小球运动的向心力，由F－mg＝，解得F＝2mg，选项C、D错误．‎ 答案：B ‎4.‎ 图4－2－14‎ 如图4－2－14所示，半径为r＝‎20 cm的两圆柱体A和B，靠电动机带动按相同方向均以角速度ω＝8 rad/s转动，两圆柱体的转动轴互相平行且在同一平面内，转动方向已在图中标出，质量均匀的木棒水平放置其上，重心在刚开始运动时恰在B的正上方，棒和圆柱间动摩擦因数μ＝0.16，两圆柱体中心间的距离s＝‎1.6 m，棒长l>‎2 m，重力加速度取‎10 m/s2，求从棒开始运动到重心恰在A正上方需多长时间？‎ 解析：棒开始与A、B两轮有相对滑动，棒受向左摩擦力作用，做匀加速运动，末速度v＝ωr＝8×‎0.2 m/s＝‎1.6 m/s，加速度a＝μg＝‎1.6 m/s2，时间t1＝＝1 s，此时间内棒运动位移s1＝at＝‎0.8 m．此后棒与A、B无相对运动，棒以v＝ωr做匀速运动，再运动s2＝AB－s1＝‎0.8 m，重心到A正上方时间t2＝＝0.5 s，故所求时间t＝t1＋t2＝1.5 s.‎ 答案：1.5 s ‎5．‎ 图4－2－15‎ 在一次抗洪救灾工作中，一架直升机A用长H＝‎50 m的悬索(重力可忽略不计)系住一质量m＝‎50 kg的被困人员B，直升机A和被困人员B以v0＝‎10 m/s的速度一起沿水平方向匀速运动，如图4－2－15甲所示．某时刻开始收悬索将人吊起，在5 s时间内，A、B之间的竖直距离以l＝50－t2(单位：m)的规律变化，取g＝‎10 m/s2.‎ ‎(1)求这段时间内悬索对被困人员B的拉力大小．‎ ‎(2)求在5 s末被困人员B的速度大小及位移大小．‎ ‎(3)直升机在t＝5 s时停止收悬索，但发现仍然未脱离洪水围困区，为将被困人员B尽快运送到安全处，飞机在空中旋转后静止在空中寻找最近的安全目标，致使被困人员B在空中做圆周运动，如图乙所示．此时悬索与竖直方向成37°角，不计空气阻力，求被困人员B做圆周运动的线速度以及悬索对被困人员B的拉力．(sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)‎ 解析：(1)被困人员在水平方向上做匀速直线运动，在竖直方向上被困人员的位移y＝H－l＝50－(50－t2)＝t2，由此可知，被困人员在竖直方向上做初速度为零、加速度a＝‎2 m/s2的匀加速直线运动，由牛顿第二定律可得F－mg＝ma，解得悬索的拉力F＝m(g＋a)＝600 N.‎ ‎(2)被困人员5 s末在竖直方向上的速度为vy＝at＝‎10 m/s，合速度v＝＝‎10 m/s，竖直方向上的位移y＝at2＝‎25 m，水平方向的位移x＝v0t＝‎50 m，合位移s＝＝‎25 m.‎ ‎(3)t＝5 s时悬索的长度l′＝50－y＝‎25 m，旋转半径r＝l′sin 37°，‎ 由m＝mgtan 37°，解得v′＝ m/s.此时被困人员B的受力情况如右图所示，‎ ‎ ‎ 由图可知Tcos 37°＝mg，解得T＝＝625 N.‎ 答案：(1)600 N　(2)‎10 m/s　‎25 m　(3)625 N ‎ ‎ ‎1.‎ 图4－2－16‎ 图示4－2－16所示为某一皮带传动装置．主动轮的半径为r1，从动轮的半径为r2.已知主动轮做顺时针转动，转速为n，转动过程中皮带不打滑．下列说法正确的是(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ A．从动轮做顺时针转动 B．从动轮做逆时针转动 C．从动轮的转速为n D．从动轮的转速为n 解析：本题考查的知识点是圆周运动．因为主动轮顺时针转动，从动轮通过皮带的摩擦力带动转动，所以从动轮逆时针转动，选项A错误B正确；由于通过皮带传动，皮带与轮边缘接触处的速度相等，所以由2πnr1＝2πn2r2，得从动轮的转速为n2＝，选项C正确D错误．‎ 答案：BC ‎2.‎ 图4－2－17‎ 质量为m的石块从半径为R的半球形的碗口下滑到碗的最低点的过程中，如果摩擦力的作用使得石块的速度大小不变，如图4－2－17所示，那么(　　)‎ A．因为速率不变，所以石块的加速度为零 B．石块下滑过程中受的合外力越来越大 C．石块下滑过程中受的摩擦力大小不变 D．石块下滑过程中的加速度大小不变，方向始终指向球心 解析：由于石块做匀速圆周运动，只存在向心加速度，大小不变，方向始终指向球心，D对，A错．由F合＝F向＝ma向知合外力大小不变，B错，又因石块在运动方向(切线方向)上合力为零，才能保证速率不变，在该方向重力的分力不断减小，所以摩擦力不断减小，C错．‎ 答案：D ‎3.‎ 图4－2－18‎ ‎2008年4月28日凌晨，山东境内发生两列列车相撞事故，造成了大量人员伤亡和财产损失．引发事故的主要原因是其中一列列车转弯时超速行驶．如图4－2－18所示，是一种新型高速列车，当它转弯时，车厢会自动倾斜，提供转弯需要的向心力；假设这种新型列车以‎360 km/h的速度在水平面内转弯，弯道半径为‎1.5 km，则质量为‎75 kg的乘客在列车转弯过程中所受到的合外力为(　　)‎ A．500 N B．1 000 N C．500 N D．0‎ 解析：‎360 km/h＝‎100 m/s，乘客在列车转弯过程中所受的合外力提供向心力F＝＝75× N＝500 N.‎ 答案：A ‎4.‎ 图4－2－19‎ 如图4－2－19甲所示，一根细线上端固定在S点，下端连一小铁球A，让小铁球在水平面内做匀速圆周运动，此装置构成一圆锥摆(不计空气阻力)．下列说法中正确的是(　　)‎ A．小球做匀速圆周运动时，受到重力、绳子的拉力和向心力作用 B．小球做匀速圆周运动时的角速度一定大于 (l为摆长)‎ C．另有一个圆锥摆，摆长更大一点，两者悬点相同，如图4－2－19乙所示，如果改变两小球的角速度，使两者恰好在同一水平面内做匀速圆周运动，则B球的角速度大于A球的角速度 D．如果两个小球的质量相等，则在图乙中两条细线受到的拉力相等 解析：如下图所示，小铁球做匀速圆周运动时，只受到重力和绳子的拉力，而向心力 是由重力和拉力的合力提供的，故A项错误．根据牛顿第二定律和向心力公式可得：mgtan θ＝mlω2sin θ，即ω＝.当小铁球做匀速圆周运动时，θ一定大于零，即cos θ一定小于1，因此，当小铁球做匀速圆周运动时角速度一定大于，故B项正确．设点S到点O的距离为h，则mgtan θ＝mhω2tan θ，即ω＝，若两圆锥摆的悬点相同，且两者恰好在同一水平面内做匀速圆周运动时，它们的角速度大小一定相等，即C项错误．如右上图所示，细线受到的拉力大小为FT＝，当两个小球的质量相等时，由于θA＜θB，即cos θA＞cos θB，所示A球受到的拉力小于B球受到的拉力，进而可以判断两条细线受到的拉力大小不相等，故D项错误．‎ 答案：B ‎5．汽车甲和汽车乙质量相等，以相等速率沿同一水平弯道做匀速圆周运动，甲车在乙车的外侧．两车沿半径方向受到的摩擦力分别为Ff甲和Ff乙．以下说法正确的是(　　)‎ A．Ff甲小于Ff乙 B．Ff甲等于Ff乙 C．Ff甲大于Ff乙 D．Ff甲和Ff乙大小均与汽车速率无关 解析：本题重点考查的是匀速圆周运动中向心力的知识．根据题中的条件可知，两车在水平面做匀速圆周运动，则地面对车的摩擦力来提供其做圆周运动的向心力，则F向＝f，又有向心力的表达式F向＝，因为两车的质量相同，两车运行的速率相同，因此轨道半径大的车的向心力小，即摩擦力小，A正确．‎ 答案：A ‎6.‎ 图4－2－20‎ 在高速公路的拐弯处，通常路面都是外高内低．如图4－2－20所示，在某路段汽车向左拐弯，司机左侧的路面比右侧的路面低一些．汽车的运动可看作是做半径为R 的圆周运动．设内外路面高度差为h，路基的水平宽度为d，路面的宽度为L.已知重力加速度为g.要使车轮与路面之间的横向摩擦力(即垂直于前进方向)等于零，则汽车转弯时的车速应等于(　　)‎ A. B. C. D. 解析：考查向心力公式．汽车做匀速圆周运动，向心力由重力与斜面对汽车的支持力的合力提供，且向心力的方向水平，向心力大小F向＝mgtan θ，根据牛顿第二定律：‎ F向＝m，tan θ＝，解得汽车转弯时的车速v＝ ，B对．‎ 答案：B ‎7.‎ 图4－2－21‎ ‎(2010·衡水模拟)如图4－2－21所示，在竖直的转动轴上，a、b两点间距为‎40 cm，细线ac长‎50 cm，bc长‎30 cm，在c点系一质量为m的小球，在转动轴带着小球转动过程中，下列说法不正确的是(　　)‎ A．转速小时，ac受拉力，bc松弛 B．bc刚好拉直时ac中拉力为1.25mg C．bc拉直后转速增大，ac拉力不变 D．bc拉直后转速增大，ac拉力增大 答案：D ‎8.‎ 图4－2－22‎ 如图4－2－22所示，某同学用硬塑料管和一个质量为m的铁质螺丝帽研究匀速圆周运动，将螺丝帽套在塑料管上，手握塑料管使其保持竖直并在水平方向做半径为r的匀速圆周运动，则只要运动角速度合适，螺丝帽恰好不下滑，假设螺丝帽与塑料管间的动摩擦因数为μ，认为最大静摩擦力近似等于滑动摩擦力．则在该同学手转塑料管使螺丝帽恰好不下滑时，下述分析正确的是(　　)‎ A．螺丝帽受的重力与最大静摩擦力平衡 B．螺丝帽受到杆的弹力方向水平向外，背离圆心 C．此时手转动塑料管的角速度ω＝ D．若杆的转动加快，螺丝帽有可能相对杆发生运动 解析：由于螺丝帽做圆周运动过程中恰好不下滑，则竖直方向上重力与摩擦力平衡，杆对螺丝帽的弹力提供其做匀速圆周运动的向心力，选项A正确、BC错误；无论杆的转动速度增大多少，但竖直方向受力平衡，故选项D错误．‎ 答案：A ‎9.‎ 图4－2－23‎ 如图4－2－23所示，螺旋形光滑轨道竖直放置，P、Q为对应的轨道最高点，一个小球以一定速度沿轨道切线方向进入轨道，且能过轨道最高点P，则下列说法中正确的是(　　)‎ A．轨道对小球做正功，小球的线速度vP>vQ B．轨道对小球不做功，小球的角速度ωP<ωQ C．小球的向心加速度aP>aQ D．轨道对小球的压力FP>FQ 解析：本题考查圆周运动和机械能守恒，中档题．轨道光滑，小球在运动的过程中只受重力和支持力，支持力时刻与运动方向垂直所以不做功，A错；那么在整个过程中只有重力做功满足机械能守恒，根据机械能守恒有vPrQ，根据ω＝，a＝，得小球在P点的角速度小于在Q点的角速度，B正确；在P点的向心加速度小于在Q点的向心加速度，C错；小球在P和Q两点的向心力由重力和支持力提供，即mg＋FN＝ma向，可得P点对小球的支持力小于Q点对小球的支持力，D错．‎ 答案：B ‎10.‎ 图4－2－24‎ 如图4－2－24所示，一个竖直放置的圆锥筒可绕其中心OO′转动，筒内壁粗糙，筒口半径和筒高分别为R和H，筒内壁A点的高度为筒高的一半．内壁上有一质量为m的小物块随圆锥筒一起做匀速转动，则下列说法正确的是(　　)‎ A．小物块所受合外力指向O点 B．当转动角速度ω＝时，小物块不受摩擦力作用 C．当转动角速度ω> 时，小物块受摩擦力沿AO方向 D．当转动角速度ω< 时，小物块受摩擦力沿AO方向 解析：匀速圆周运动物体所受合外力提供向心力，指向物体圆周运动轨迹的圆心，A项错；当小物块在A点随圆锥筒做匀速转动，且其所受到的摩擦力为零时，小物块在筒壁A点时受到重力和支持力的作用，它们的合力提供向心力，设筒转动的角速度为ω，有：mgtan θ＝mω2·，由几何关系得：tan θ＝，联立以上各式解得ω＝，B项正确；当角速度变大时，小物块所需向心力增大，故摩擦力沿AO方向，其水平方向分力提供部分向心力，C项正确；当角速度变小时，小物块所需向心力减小，故摩擦力沿OA方向，抵消部分支持力的水平分力，D项错．‎ 答案：BC ‎11.‎ 图4－2－25‎ 如图4－2－25所示，一水平光滑、距地面高为h、边长为a的正方形MNPQ桌面上，用长为L的不可伸长的轻绳连接质量分别为mA、mB的A、B两小球，两小球在绳子拉力的作用下，绕绳子上的某点O以不同的线速度做匀速圆周运动，圆心O与桌面中心重合，已知mA＝‎0.5 kg，L＝‎1.2 m，LAO＝‎0.8 m，a＝‎2.1 m，h＝‎1.25 m，A球的速度大小vA＝‎0.4 m/s，重力加速度g取‎10 m/s2，求：‎ ‎(1)绳子上的拉力F以及B球的质量mB；‎ ‎(2)若当绳子与MN平行时突然断开，则经过1.5 s两球的水平距离；‎ ‎(3)两小球落至地面时，落点间的距离．‎ 解析：(1)F＝mA＝0.5× N＝0.1 N，由F＝mAω2LOA＝mBω2LOB得mB＝mA＝‎1 kg.‎ ‎(2)x＝(vA＋vB)t1＝0.6×‎1.5 m＝‎0.9 m，水平距离为s＝＝ m＝‎1.5 m.‎ ‎(3)t2＝ ＝ s＝0.5 s，x′＝(vA＋vB)t2＋a＝0.6×‎0.5 m＋‎2.1 m＝‎‎2.4 m 距离为s′＝＝ m＝ m.‎ 答案：(1)‎1 kg　(2)‎1.5 m　(3) m ‎12．‎ 图4－2－26‎ 如图4－2－26所示，小球从光滑的圆弧轨道下滑至水平轨道末端时，光电装置被触动，控制电路会使转筒立刻以某一角速度匀速连续转动起来．转筒的底面半径为R，已知轨道末端与转筒上部相平，与转筒的转轴距离为L，且与转筒侧壁上的小孔的高度差为h；开始时转筒静止，且小孔正对着轨道方向．现让一小球从圆弧轨道上的某处无初速滑下，若正好能钻入转筒的小孔(小孔比小球略大，小球视为质点，不计空气阻力，重力加速度为g)，求：‎ ‎(1)小球从圆弧轨道上释放时的高度为H；‎ ‎(2)转筒转动的角速度ω.‎ 解析：(1)设小球离开轨道进入小孔的时间为t，则由平抛运动规律得h＝gt2，‎ L－R＝v0t 小球在轨道上运动过程中机械能守恒，故有mgH＝mv 联立解得：t＝ ，H＝.‎ ‎(2)在小球做平抛运动的时间内，圆筒必须恰好转整数转，小球才能钻进小孔，‎ 即ωt＝2nπ(n＝1,2,3…)．所以ω＝nπ (n＝1,2,3…)‎ 答案：(1)　(2)nπ (n＝1,2,3…)‎ 第3讲 专题 圆周运动的临界问题 ‎1.‎ 图4－3－6‎ 质量为m的小球由轻绳a和b分别系于一轻质木架上的A点和C点，如图4－3－6所示，当轻杆绕轴BC以角速度ω匀速转动时，小球在水平面内做匀速圆周运动，绳a在竖直方向，绳b在水平方向，当小球运动到图示位置时，绳b被烧断的同时杆子停止转动，则(　　) ‎ A．小球仍在水平面内做匀速圆周运动 B．在绳被烧断瞬间，a绳中张力突然增大 C．若角速度ω较小，小球在垂直于平面ABC的竖直平面内摆动 D．若角速度ω较大，小球可在垂直于平面ABC的竖直平面内做圆周运动 解析：绳b烧断前，竖直方向合力为零，即Fa＝mg，烧断b后，因惯性，要在竖直面内做圆周运动，且Fa′－mg＝m，所以Fa′＞Fa，A错B对，当ω足够小时，小球不能摆过AB所在高度，C对，当ω足够大时，小球在竖直面内能通过AB上方最高点，从而做圆周运动，D对．‎ 答案：BCD ‎2.‎ 图4－3－7‎ m为在水平传送带上被传送的小物体(可视为质点)，A为终端皮带轮，如图4－3－7所示，已知皮带轮半径为 r，传送带与皮带轮间不会打滑，当m可被水平抛出时，A轮每秒的转数最少是(　　) ‎ A. B. C. D. 解析：当m被水平抛出时只受重力的作用，支持力N＝0.在圆周最高点，重力提供向心力，即mg＝，所以v＝.而v＝2πf·r，所以f＝＝ ，所以每秒的转数最小为 ，A正确．‎ 答案：A ‎3.‎ 图4－3－8‎ ‎(2010·西南师大附中模拟)如图4－3－8所示，小球在竖直放置的光滑圆形管道内做圆周运动，内侧壁半径为R，小球半径为r，则下列说法正确的是(　　)‎ A．小球通过最高点时的最小速度vmin＝ B．小球通过最高点时的最小速度vmin＝0‎ C．小球在水平线ab以下的管道中运动时，内侧管壁对小球一定无作用力 D．小球在水平线ab以上的管道中运动时，外侧管壁对小球一定有作用力 解析：小球沿管上升到最高点的速度可以为零，故A错误，B正确；小球在水平线ab以下的管道中运动时，由外侧管壁对小球的作用力FN与球重力在背离圆心方向的分力Fmg的合力提供向心力，即：FN－Fmg＝m，因此，外侧管壁一定对球有作用力，而内侧壁无作用力，C正确；小球在水平线ab以上的管道中运动时，小球受管壁的作用力与小球速度大小有关，D错误．‎ 答案：BC ‎4.‎ 图4－3－9‎ 某实验中学的学习小组在进行科学探测时，一位同学利用绳索顺利跨越了一道山涧，他先用绳索做了一个单摆(秋千)，通过摆动，使自身获得足够速度后再平抛到山涧对面，如图4－3－9所示，若他的质量是M，所用绳长为L，在摆到最低点B处时的速度为v，离地高度为h，当地重力加速度为g，则：‎ ‎(1)他用的绳子能承受的最大拉力不小于多少？‎ ‎(2)这道山涧的宽度不超过多大？‎ 解析：(1)该同学在B处，由牛顿第二定律得：F－Mg＝M，‎ 解得：F＝Mg＋M，即他用的绳子能承受的最大拉力不小于Mg＋M.‎ ‎(2)对该同学做平抛运动的过程由运动学公式得：水平方向有：x＝vt，竖直方向有： h＝gt2，‎ 解得：x＝v ，即这道山涧的宽度不超过v .‎ 答案：(1)Mg＋M　(2)v ‎5.‎ 图4－3－10‎ ‎(2010·诸城模拟)如图4－3－10所示，半径为R，内径很小的光滑半圆管道竖直放置，质量为m的小球以某一速度进入管内，小球通过最高点P时，对管壁的压力为0.5mg.求：‎ ‎(1)小球从管口飞出时的速率；‎ ‎(2)小球落地点到P点的水平距离．‎ 解析：(1)分两种情况，当小球对管下部有压力时，则有mg－0.5mg＝，v1＝.当小球对管上部有压力时，则有mg＋0.5mg＝，v2＝ ‎(2)小球从管口飞出做平抛运动，2R＝gt2，t＝2 ，x1＝v1t＝R，x2＝v2t＝R.‎ 答案：(1) 或 　(2)R或R