2013浙江高考数学理科试题及答案完美版

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‎2013年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）‎ 数学（理科）‎ 乐享玲珑，为中国数学增光添彩！‎ 免费，全开放的几何教学软件，功能强大，好用实用 一．选择题 ‎1．已知是虚数单位，则 A． B. C. D.‎ ‎2．设集合，则 A． B. C. D.‎ ‎3．已知为正实数，则 A. B. ‎ ‎ C. D.‎ ‎4．已知函数，则“是奇函数”是的 A．充分不必要条件 B. 必要不充分条件 ‎ ‎ C. 充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎5．某程序框图如图所示，若该程序运行后输出的值是，则 A. B. C. D.‎ 开始 S=1，k=1‎ k>a?‎ S=S+ k=k+1‎ 输出S ‎ 结束 是 否 ‎（第5题图）‎ ‎6．已知，则 A. B. C. D.‎ ‎7．设是边上一定点，满足，且对于边上任一点，恒有。则 A. B. C. D.‎ ‎8．已知为自然对数的底数，设函数，则 A．当时，在处取得极小值 B．当时，在处取得极大值 ‎ C．当时，在处取得极小值 D．当时，在处取得极大值 ‎ ‎9．如图，是椭圆与双曲线的公共焦点，分别是，在第二、四象限的公共点。若四边形为矩形，则的离心率是 O x y A B F1‎ F2‎ ‎（第9题图）‎ A. B. C. D.‎ ‎10．在空间中，过点作平面的垂线，垂足为，记。设是两个不同的平面，对空间任意一点，,恒有，则 A．平面与平面垂直 B. 平面与平面所成的（锐）二面角为 ‎ C. 平面与平面平行 D.平面与平面所成的（锐）二面角为 ‎ 二、填空题 ‎11．设二项式的展开式中常数项为，则________。‎ ‎12．若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则此几何体的体积等于________。‎ ‎4‎ ‎3‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎3‎ 正视图 侧视图 俯视图 ‎（第12题图）‎ ‎13．设，其中实数满足，若的最大值为12，则实数________。‎ ‎14．将六个字母排成一排，且均在的同侧，则不同的排法共有________种（用数字作答）‎ ‎15．设为抛物线的焦点，过点的直线交抛物线于两点，点为线段的中点，若，则直线的斜率等于________。‎ ‎16．中，,是的中点，若，则________。‎ ‎17．设为单位向量，非零向量，若的夹角为，则的最大值等于________。‎ 三、 解答题 18． 在公差为的等差数列中，已知，且成等比数列。‎ ‎（1）求； （2）若，求 ‎19．设袋子中装有个红球，个黄球，个蓝球，且规定：取出一个红球得1分，取出一个黄球2分，取出蓝球得3分。‎ ‎（1）当时，从该袋子中任取（有放回，且每球取到的机会均等）2个球，记随机变量为取出此2球所得分数之和，.求分布列；‎ ‎（2）从该袋子中任取（且每球取到的机会均等）1个球，记随机变量为取出此球所得分数.若，求 ‎20．如图，在四面体中，平面,.是的中点， 是的中点，点在线段上，且.‎ ‎（1）证明：平面；（2）若二面角的大小为，求的大小.‎ A B C D P Q M ‎（第20题图）‎ ‎21．如图，点是椭圆的一个顶点，的长轴是圆的直径.是过点且互相垂直的两条直线，其中交圆于两点，交椭圆于另一点 ‎（1）求椭圆的方程； （2）求面积取最大值时直线的方程.‎ x O y B l1‎ l2‎ P D A ‎（第21题图）‎ ‎22．已知，函数 ‎（1）求曲线在点处的切线方程；（2）当时，求的最大值。‎ ‎ ‎ 参考答案 一、选择题 ‎1．B【解析】原式，所以选B；‎ ‎2．C【解析】如图1所示，由已知得到。所以选C ‎3．D【解析】此题中，由。所以选D；‎ ‎4．B【解析】当为奇函数时，，所以不是充分条件；反之当 时，函数是奇函数，是必要条件，所以选B。‎ ‎【考点定位】充分条件的判断和三角函数的奇偶性性质知识点；‎ 函数，若是奇函数，则；若是偶函数，则；‎ 函数，若是奇函数，则；若是偶函数，则；‎ 充分和必要条件判断的三种方法 ‎（1）定义法（通用的方法）：‎ ‎ ①若，则是的充分不必要条件；‎ ‎②若，则是的必要不充分条件；‎ ‎③若，则是的充分必要条件；‎ ‎④若，则是的既不充分又不必要条件；‎ ‎（2）集合判断法：若已知条件给的是两个集合问题，可以利用此方法判断：‎ 设条件和对应的集合分别是 ‎①若，则是充分条件；若，则是的充分不必要条件；‎ ‎②若，则是必要条件；若，则是的必要不充分条件；‎ ‎③若，则是的充分必要条件；‎ ‎④若，则是的既不充分又不必要条件；‎ ‎（3）命题真假法：利用原命题和真命题的真假来判断：设若则为原命题，‎ ‎①若原命题真，逆命题假，则是的充分不必要条件；‎ ‎②若原命题假，逆命题真，则是的必要不充分条件；‎ ‎③若原命题真，逆命题真，则是的充分必要条件；‎ ‎④若原命题假，逆命题假，则是的既不充分又不必要条件；‎ ‎5．A【解析】由图可知 ‎，即程序执行到，当时程序运行结束，即最后一次运行；所以选A ‎6．C解：由已知得到：‎ ‎，所以 ‎，所以选C；‎ ‎7．D解：利用特殊值法可以解决，如或即可求出答案，所以选D；‎ ‎8．C解：当时，，且，所以当时，，函数递增；当时，，函数递减；所以当时函数取得极小值；所以选C；‎ ‎9．D解：由已知得，设双曲线实半轴为，由椭圆及双曲线的定义和已知得到：，所以双曲线的离心率为，所以选D；‎ ‎10．A解：设所以，由已知得到：于，于，于，于，且恒成立，即与重合，即当时满足；如图2所示：‎ ‎11． 解：由，由已知得到：，所以，所以填-10；‎ ‎12．24 解：由已知得此几何体的直观图是一个底面是直角三角形且两直角边分别是3,4高是5的直三棱柱在上面截去一个三棱锥，三棱锥从一个顶点出发的三条棱两两垂直，底面边长分别是3,4高是3，如图3所示，红色为截去的三棱锥，所以体积为；‎ ‎13．2 解：此不等式表示的平面区域如下图4所示：，‎ 当时，直线平移到A点时目标函数取最大值，即；当时，直线平移到A或B点时目标函数取最大值，可知k取值是大于零，所以不满足，所以，所以填2；‎ ‎14．480 解：对特殊元素进行分类讨论即可，即在第1,2,3，4,5,6，位置上讨论，其中在第1和第6位置上，在第2和第5位置上，在第3和第4位置上结果是相同的，在第1位置上有种，在第2位置上有，在第3位置上有，所以共有，所以填；‎ ‎15． 解：由已知得到：，设，，由，所以 ‎，由已知得到 ‎，所以答案是 ‎16． 解：如图5所示，设，由已知得到，在中，由余弦定理得到：；所以填；‎ ‎17．2 解：由已知得到： ，设的最大值为4，所以答案是2；‎ ‎18．解：（Ⅰ）由已知得到：‎ ‎ ；‎ ‎（Ⅱ）由（1）知，当时，，‎ ‎①当时，‎ ‎②当时，‎ 所以，综上所述：；‎ ‎19．解：（Ⅰ）由已知得到：当两次摸到的球分别是红红时，此时；当两次摸到的球分别是黄黄，红蓝，蓝红时，此时；当两次摸到的球分别是红黄，黄红时，此时；当两次摸到的球分别是黄蓝，蓝黄时，此时；当两次摸到的球分别是蓝蓝时，此时；所以的分布列是：‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ P ‎（Ⅱ）由已知得到：有三种取值即1,2,3，所以的分布列是：‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P 所以：，所以。‎ ‎20．解：：证明（Ⅰ）方法一：如图6，取的中点，且是中点，所以。因为是中点，所以；又因为（Ⅰ）且，所以，所以面面，且面，所以面；‎ 方法二：如图7所示，取中点，且是中点，所以；取的三等分点，使，且，所以，所以，且，所以面；‎ ‎（Ⅱ）如图8所示，由已知得到面面，过作于，所以，过作于，连接，所以就是的二面角；由已知得到，设，所以 ‎，‎ 在中，，所以在中， ，所以在中 ‎；‎ ‎21．解：（Ⅰ）由已知得到，且，所以椭圆的方程是；‎ ‎（Ⅱ）因为直线，且都过点，所以设直线，直线，所以圆心到直线的距离为，所以直线被圆所截的弦； ‎ 由，所以 ‎，所以 ‎，‎ 当时等号成立，此时直线 ‎22．解：（Ⅰ）由已知得：，且，所以所求切线方程为：，即为：；‎ ‎（Ⅱ）由已知得到：，其中，当时，，‎ ‎（1）当时，，所以在上递减，所以，因为；‎ ‎（2）当，即时，恒成立，所以在上递增，所以，因为 ‎；‎ ‎（3）当，即时，‎ ‎ ，且，即 ‎2‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎-‎ ‎0‎ ‎+‎ 递增 极大值 递减 极小值 递增 所以，且 所以，‎ 所以；‎ 由，所以 ‎（ⅰ）当时，，所以时，递增，时，递减，所以，因为 ‎，又因为，所以，所以，所以 ‎（ⅱ）当时，，所以，因为，此时，当时，是大于零还是小于零不确定，所以 当时，，所以，所以此时；‎ 当时，，所以，所以此时 综上所述：；‎