高考数学之数列专题学生

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专题五： 数 列 一、等差数列的有关概念：‎ ‎1、等差数列的判断方法：定义法或。‎ ‎2、等差数列的通项：或。‎ 如(1)等差数列中，，，则通项　　　　‎ ‎（2）首项为-24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差的取值范围是______‎ ‎3、等差数列的前和：，。‎ 如数列 中，，，前n项和，‎ 则＝ ＿，＝＿‎ ‎4、等差中项：若成等差数列，则A叫做与的等差中项，且。‎ 提醒：为减少运算量，要注意设元的技巧，如奇数个数成等差，可设为…，…（公差为）；偶数个数成等差，可设为…，,…（公差为2）‎ ‎5、等差数列的性质：‎ ‎（1）当公差时，等差数列的通项公式是关于的一次函数，且斜率为公差；前和是关于的二次函数且常数项为0.‎ ‎（2）若公差，则为递增等差数列，若公差，则为递减等差数列，若公差，则为常数列。‎ ‎（3）当时,则有，特别地，当时，则有.‎ 如等差数列中，，则＝____‎ ‎ (4) 若、是等差数列，则、 (、是非零常数)、、 ，…也成等差数列，而成等比数列；若是等比数列，且，则是等差数列. ‎ 如等差数列的前n项和为25，前2n项和为100，则它的前3n和为 。‎ ‎（5）在等差数列中，当项数为偶数时，；项数为奇数时，，（这里即）；。‎ 如（1）在等差数列中，S11＝22，则＝_____‎ （6） 若等差数列、的前和分别为、，且，则.如设{}与{}是两个等差数列，它们的前项和分别为和，若，那么___________‎ ‎(7)“首正”的递减等差数列中，前项和的最大值是所有非负项之和；“首负”的递增等差数列中，前项和的最小值是所有非正项之和。法一：由不等式组确定出前多少项为非负（或非正）；法二：因等差数列前项是关于的二次函数，故可转化为求二次函数的最值，但要注意数列的特殊性。上述两种方法是运用了哪种数学思想？（函数思想），由此你能求一般数列中的最大或最小项吗？‎ 如（1）等差数列中，，，问此数列前多少项和最大？并求此最大值。‎ （2） 若是等差数列，首项，，则使前n项和成立的最大正整数n是 ‎ ‎（3）在等差数列中，，且，是其前项和，则（ ）‎ A、都小于0，都大于0　　‎ B、都小于0，都大于0　　‎ C、都小于0，都大于0　　‎ D、都小于0，都大于0　‎ 二、等比数列的有关概念：‎ ‎1、等比数列的判断方法：定义法，其中或。‎ 如一个等比数列{}共有项，奇数项之积为100，偶数项之积为120，则为____‎ ‎2、等比数列的通项：或。‎ 如等比数列中，，，前项和＝126，求和.‎ ‎3、等比数列的前和：当时，；当时，。‎ 如等比数列中，＝2，S99=77，求 ‎4、等比中项：若成等比数列，那么A叫做与的等比中项。提醒：不是任何两数都有等比中项，只有同号两数才存在等比中项，且有两个。如已知两个正数的等差中项为A，等比中项为B，则A与B的大小关系为______‎ ‎5.等比数列的性质：‎ ‎（1）当时，则有，特别地，当时，则有.‎ 如（1）在等比数列中，，公比q是整数，则=___（2）各项均为正数的等比数列中，若，则 ‎ ‎(2) 若是等比数列，则、、成等比数列；若 成等比数列，则、成等比数列； 若是等比数列，且公比，则数列 ，…也是等比数列。‎ 如（1）已知且，设数列满足，且，则　　　　　. ‎ ‎（2）在等比数列中，为其前n项和，若，则的值为______‎ ‎(3)若，则为递增数列；若, 则为递减数列；若 ，则为递减数列；若, 则为递增数列；若，则为摆动数列；若，则为常数列.‎ ‎(4) 当时，，这里，但，是等比数列前项和公式的一个特征，据此很容易根据，判断数列是否为等比数列。‎ 如若是等比数列，且，则＝ ‎ ‎(5) .如设等比数列的公比为，前项和为，若成等差数列，则的值为_____‎ ‎(6) 在等比数列中，当项数为偶数时，；项数为奇数时，. ‎ ‎(7)如果数列既成等差数列又成等比数列，那么数列是非零常数数列，故常数数列仅是此数列既成等差数列又成等比数列的必要非充分条件。‎ 如设数列的前项和为（）， 关于数列有下列三个命题：①若，则既是等差数列又是等比数列；②若，则是等差数列；③若，则是等比数列。这些命题中，真命题的 序号是 ‎ 三、数列通项公式的求法 一、公式法 ‎①；‎ ‎②等差、等比数列公式.‎ 例 已知数列满足，，求数列的通项公式。‎ 二、累加法 例1 已知数列满足，求数列的通项公式。‎ 例 2 已知数列满足，求数列的通项公式。‎ 三、累乘法 例1 已知数列满足，求数列的通项公式。‎ ‎。‎ 四、取倒数法 例 1 已知数列{}中，其中，且当n≥2时，，求通项公式。‎ 五、待定系数法 例 1 已知数列满足，求数列的通项公式。‎ 例2 已知数列满足，求数列的通项公式。‎ 六、对数变换法 例1 已知数列满足，，求数列的通项公式。‎ 七、迭代法 例 1 已知数列满足，求数列的通项公式。‎ 八、数学归纳法 例 已知数列满足，求数列的通项公式。‎ 九、换元法 例 已知数列满足，求数列的通项公式。‎ 十、构造等差、等比数列法 ① ‎；②；③；④.‎ 例1 已知数列中，，求数列的通项公式.‎ 例 2 已知数列中，，求数列的通项公式.‎ 十一、不动点法 例 已知数列满足，求数列的通项公式。‎ 四、数列求和的基本方法和技巧 一、利用常用求和公式求和 1、 等差数列求和公式： ‎ ‎2、等比数列求和公式：‎ 前个正整数的和 ‎ 前个正整数的平方和 ‎ 例 已知，求的前n项和.‎ 二、错位相减法求和 例1在数列中，‎ ‎（I）设，求数列的通项公式（II）求数列的前项和 三、倒序相加法求和 例 求证：‎ 四、分组法求和 例1 求数列的前n项和：，…‎ 五、裂项法求和 例 1 求数列的前n项和.‎ 例 2 在数列{an}中，，又，求数列{bn}的前n项的和.‎ 六、合并法求和 ‎ 例 1 数列{an}：，求S2002.‎ 例2 在各项均为正数的等比数列中，若的值.‎ 七、利用数列的通项求和 例 求之和.‎