高考数学总复习基础知识与典型例题04三角函数

高考数学总复习基础知识与典型例题04三角函数

数学基础知识与典型例题 第四章三角函数 三 角 函 数 相 关 知 识 关 系 表 角 的 概 念 1.①与 （0°≤ <360°）终边相同的角的集合 （角 与角  的终边重合）: Zkk  ,360|   ; ②终边在 x 轴上的角的集合: Zkk  ,180|  ; ③终边在 y 轴上的角的集合：  Zkk  ,90180|  ; ④终边在坐标轴上的角的集合： Zkk  ,90|  . 2. 角度与弧度的互换关系：360°=2 180°= 1°=0.01745 1=57.30°=57°18′ 注意：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角 的弧度数为零, 熟记特殊角的弧度制. 3.弧度制下，扇形弧长公式 1 2 r ，扇形面积公 式 21 1 | |2 2S R R   ，其中 为弧所对圆心角的弧 度数。 例 1.已知 2 弧度的圆心 角所对的弦长为 2,那么 这个圆心角所对的弧长 为( ) ( )2A ( )sin 2B 2( ) sin1C ( )2sin1D 例 2. 已知  为第三象 限角,则 2  所在的象限 是( ) (A)第一或第二象限 (B)第二或第三象限 (C)第一或第三象限 (D)第二或第四象限 三 角 函 数 的 定 义 1.三角函数定义:利用直角坐标系，可以把直角三角 形中的三角函数推广到任意角的三角数.在 终边上 任 取 一 点 ( , )P x y （ 与 原 点 不 重 合 ）， 记 2 2| |r OP x y   ， 则sin y r   ，cos x r   ， tan y x   ，cot x y   。 注: ⑴三角函数值只与角 的终边的位置有关，由 角 的大小唯一确定,三角函数是以角为自变量, 以比值为函数值的函数. ⑵根据三角函数定义可以推出一些三角公式: ①诱导公式：即 2 k    或 90 2 k     之间函数值关系( )k Z ，其规律是“奇变偶不变， 符号看象限” ；如sin(270 )  cos ②同角三角函数关系式：平方关系，倒数关系，商 数关系. ⑶重视用定义解题. ⑷三角函数线是通过有向线段直观地表示出角的各 种三角函数值的一种图示方法.如单位圆 ; ;MP OM AT正弦线: 余弦线: 正切线: 2. 各象限角的各种三角函数值符号: 一全二正弦,三切四余弦 sin y r   cos x r   tan y x  ,cot x y   (纵坐标 y 的符号) (横坐标 x 的符号) 例 3.已知角 的终边经 过 P(4, 3),求 2sin +cos 的值. 例 4.若  是第三象限 角,且 cos cos2 2    , 则 2  是( ) ( )A 第一象限角 ( )B 第二象限角 ( )C 第三象限角 ( )D 第四象限角 例 5. 若cos 0,  sin2 0, 且 则角 的终边所在象限 是（ ） (A)第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限 三 角 函 数 公 式 三角函数的公式：（一）基本关系 公式组二 ( k Z ) sin(2 ) sin , cos(2 ) cos tan(2 ) tan , cot(2 ) cot k x x k x x k x x k x x             公式组三 sin( ) sin tan( ) tan cos( ) cos cot( ) cot x x x x x x x x            公式组四 公式组五 xx xx xx xx cot)cot( tan)tan( cos)cos( sin)sin(         xx xx xx xx cot)2cot( tan)2tan( cos)2cos( sin)2sin(         公式组六 sin( ) sin tan( ) tan cos( ) cos cot( ) cot x x x x x x x x                (二)两角和与差公式 公式组一  sinsincoscos)cos(   sinsincoscos)cos(   sincoscossin)sin(   sincoscossin)sin(    tantan1 tantan)tan(     tantan1 tantan)tan(   公式组二:  cossin22sin   2222 sin211cos2sincos2cos    2tan1 tan22tan   2 cos1 2sin   2 cos1 2cos   , 1 cos sin 1 costan 2 1 cos 1 cos sin              公式组三 1cos( ) sin2     , 1cos( ) sin2      , 1sin( ) cos2     1sin( ) cos2     , 1tan( ) cot2     , 1tan( ) cot2      常用数据: 30 45 60 90   、 、 、 的三角函数值 6 2sin 15 cos 75 4    , 4 2615cos75sin   3275cot15tan   , 3215cot75tan   例 6. 化 简 ： 440sin1 2 例 7.已知 tanα，tanβ是 方程 2 3 3 4 0x x   两 根，且α，β )2,2(  ， 则α+β等于( ) (A)  3 2 (B)  3 2 或 3  (C) 3  或  3 2 (D) 3  例 8.  15cot15tan 的 值是（ ） (A)2 (B)2+ 3 (C)4 (D) 3 34 三 角 函 数 公 式 注: ⑴以上公式务必要知道其推导思路，从而清晰 地“看出”它们之间的联系，它们的变化形式. 如 tan( )(1 tan tan ) tan tan         2 21 cos 1 coscos ,sin2 2 2 2       等. 从而可做到:正用、逆用、变形用自如使用各公式. ⑵三角变换公式除用来化简三角函数式外，还为研 究三角函数图象及性质做准备. ⑶三角函数恒等变形的基本策略。 ①常值代换：特别是用“1”的代换，如 1=cos2θ+sin2 θ=tanx·cotx=tan45°等。 ②项的分拆与角的配凑。 如分拆项： 2 2 2 2 2 2sin 2cos (sin cos ) cos 1 cosx x x x x x      ; 配凑角(常用角变换): 2 ( ) ( )        、 2 ( ) ( )        、 2 2        、 2 2        、 ( )      等. ③降次与升次。即倍角公式降次与半角公式升次。 ④化弦（切）法。将三角函数利用同角三角函 数基本关系化成弦（切）。 ⑤引入辅助角。asinθ+bcosθ= 22 ba  sin(θ+ )， 这里辅助角 所在象限由 a、b 的符号确定， 角的 值由 tan = a b 确定。 例 9. 设 )2,0(  , 若 ,5 3sin  则 )4cos(2  = （ ） (A) 5 7 (B) 5 1 (C) 2 7 (D)4 例 10.sin163 sin223   sin 253 sin313   ( ) 1( ) 2A  1( ) 2B 3( ) 2C  3( ) 2D 例 11. 求 下 列 各 式 的 值：⑴   75tan1 75tan1   ; ⑵tan17+tan28+tan17tan28 例 12.已知 为锐角，且 1tan 2  ， 求 sin2 cos sin sin2 cos2       的值. 三 角 函 数 公 式 例 13. 已知α为第二象限角，且 sinα= ,4 15 求 12cos2sin )4sin(     的值. 例 14. 已知 2 1)4tan(  ，（1）求 tan 的值；（2）求   2cos1 cos2sin 2  a 的值 例 15. 已知  cos2sin , sin 4cos 5sin 2cos       ⑴求 的值; 2sin 2sin cos  ⑵求 的值. 三 角 函 数 公 式 例 16. 已知 4 5cossin  ，求sin cos 的值. 例 17. 已知锐角 ,满足 cos= 5 3 ,cos(+)= 13 5 ,求 cos. 例 18. 已知  2 ， 0 ，tan = 3 1 ，tan = 7 1 ，求 2 + . 例 19. 在△ABC 中，已知 cosA =13 5 ，sinB = 5 3 ，则 cosC 的值为( ) (A) 65 16 (B) 65 56 (C) 65 56 65 16 或 (D) 65 16 例 20. 若关于 x 的方程 2cos2( + x)  sinx + a = 0 有实根，求实数 a 的取值范 围。 三 角 函 数 三角函数的性质: siny x cosy x    xAy sin （A、 ＞0） 定 义 域 R R R 值域 [ 1,1] [ 1,1]  AA, 周 期 性 2 2 2  奇 偶 性 奇函数 偶函数 当 ,0 非 奇 非 偶 , 当 ,0 奇函数 单 调 性 [ 2 , 2 ]2 2k k     上为增函数； 3[ 2 , 2 ]2 2k k    上为减函数. （ Zk  ）  [ 2 1 ,2 ]k k  上为增函数;  [2 , 2 1 ]k k  上为减函数. （ Zk  ） 12 22 2, k k                   上为增函数； 32 22 2, k k                   上为减函数（ Zk  ） 三 角 函 数 tany x coty x 定义域 1| ,2x x R x k k Z        且  | ,x x R x k k Z  且 值域 R R 周期性   奇偶性 奇函数 奇函数 单调性        kk 2,2 上 为 增 函 数（ Zk  ）    1, kk 上为减函数（ Zk  ） 以上性质的理解记忆关键是能想象或画出函数图象．．．．．．．．．．. 函数 sin( )y A x   的图像和性质以函数 siny x 为基础,通过图像变 换来把握.如① siny x 图例变化为 ② sin( )y A x   (A>0, >0)相应地， ①的单调增区间 2 , 22 2k k        变为 2 22 2k x k       ≤ ≤ 的解集是②的增区间. 注:⑴ )sin(   xy 或 cos( )y x   （ 0 ）的周期  2T ; ⑵ sin( )y x   的对称轴方程是 2x k   （ Zk  ），对称中心( ,0)k ； cos( )y x   的对称轴方程是 x k （ Zk  ），对称中心 1( ,0)2k  ； )tan(   xy 的对称中心（ 0,2 k ）. 三 角 函 数 例 21.下列函数中，既是（0， 2  ）上的增函数，又是以π为周期的偶函数是( ) (A)y=lgx2 (B)y=|sinx| (C)y=cosx (D)y= x2sin2 例 22.函数 sin 2 xy  的最小正周期是（ ） (A) 2  (B) (C) 2 (D) 4 例 23. 函数 ]),0[)(26sin(2   xxy 为增函数的区间是( ) (A) ]3,0[  (B) ]12 7,12[  (C) ]6 5,3[  (D) ],6 5[  例 24．函数 22cos( )( )3 6 3y x x    ≤ ≤ 的最小值是（ ） ( ) 2A  ( ) 3B  ( ) 1C  ( )1D 三 角 函 数 例 25. 为了得到函数 )62sin(  xy 的图象，可以将函数 xy 2cos 的图象（ ） (A)向右平移 6  个单位长度 (B)向右平移 3  个单位长度 (C)向左平移 6  个单位长度 (D)向左平移 3  个单位长度 例 26. 若函数 )sin()(   xxf 的图象（部分）如图所示，则 和 的取值是 ( ) (A) 3,1   (B) 3,1   (C) 6,2 1   (D) 6,2 1   例 27. 函数 f x x x x( ) cos sin cos 2 2 3 的最小正周期是_____. 例 28．将函数 siny x 的图象上各点的横坐标扩大为原来的 2 倍，纵坐标不 变，再把所得图象上所有点向左平移 3  个单位，所得图象的解析式是 __________________. 例 29. 函数 sin 3 cosy x x  在区间[0, 2  ]的最小值为______. 例 30.函数 )(2cos2 1cos)( Rxxxxf  的最大值等于 . 例 31. 已知     2,0 x ，求函数 )12 5cos()12cos( xxy   的值域 例 32.已知函数 1 2 ( ) log (sin cos )f x x x  ⑴求它的定义域和值域； ⑵求它的单调区间； ⑶判断它的奇偶性； ⑷判断它的周期性. 三 角 函 数 例 33. 已知 f(x)=5sinxcosx- 35 cos2x+ 32 5 （x∈R） ⑴求 f(x)的最小正周期；⑵求 f(x)单调区间； ⑶求 f(x)图象的对称轴，对称中心。 例 34. 求函数 f (x)= 1 2 1log cos( )3 4x  的单调递增区间 反 三 角 函 数 反 三 角 函 数 符 号 的 运 用 : arcsin ,2 2a       、  arccos 0,a  、 arc tan ( , )2 2a    注意：反三角数符号只表示．．．这个范围的角，其他范围的角需要用诱导公式变 到这个范围. 例 35．适合 1 3sin , ,3 2x x         的角 x 是（ ） 1( )arcsin( )3A  1( ) arcsin 3B  1( )2 arcsin( )3C    1( ) arcsin( )3D    例 36.求 3arctan2arctan1arctan  的值. 数学基础知识与典型例题(第四章三角函数)答案 例 1.C 例 2.D 例 3. 由定义 ： 5r ,sin = 5 3 ,cos = 5 4 ,∴2sin +cos = 5 2 例 4.B 解：∵(2 1) (2 1) 2k k        )( Zk  ,∴ 4 3 22   kk )( Zk  ,则 2  是第二或 第四象限角,又∵ cos cos2 2   ,∴cos 02   ,则 2  是第二或第三象限角,∴ 2  必为第二象限角 例 5.D 例 6. 解：原式  80cos80cos80sin1)80360(sin1 222  例 7. A 例 8.C 例 9.B 例 10.B 例 11. 解：⑴原式= 3120tan)7545tan(75tan45tan1 75tan45tan      ; ⑵ ∵    28tan17tan1 28tan17tan)2817tan(   , ∴ tan17+tan28=tan(17+28)(1tan17tan28)=1 tan17tan28∴原式=1 tan17tan28+ tan17tan28=1 例 12.解：∵ 1tan 2  , 为锐角,∴ 2cos 5  ∴ 2sin2 cos sin sin (2cos 1) 1 5 sin2 cos2 2sin cos cos2 2cos 4                例 13.解：     2cos2cossin2 )cos(sin2 2 12cos2sin )4sin(     .)cos(sincos4 )cos(sin2     当 为第二象限角， 且 4 15sin  时， 4 1cos,0cossin   ，所以 12cos2sin )4sin(     = .2cos4 2  例 14. 解（1）：由 2 1 tan1 tan1 tan4tan1 tan4tan )4tan(           ，解得 3 1tan  （2） 1cos21 coscossin2 2cos1 cos2sin 2 22        6 5 2 1 3 1 2 1tancos2 cossin2    例 15. 解： sin 2cos , tan 2     ∴⑴ sin 4cos tan 4 2 1 5sin 2cos 5tan 2 12 6              ⑵ 5 6 14 24 1tan tan2tan cossin cossin2sincossin2sin 2 2 22 2 2       例 16.解:∵ 16 25)cos(sin 2  ∴ 16 25cossin21  , 32 9cossin  例 17. 解：∵cos= 5 3 ,∴sin= 5 4 ,又∵cos(+)= 13 5 <0 ,∴+为钝角, ∴sin(+)= 13 12 , ∴cos=cos[(+)]=cos(+)cos+sin(+)sin= 65 33 5 4 13 12 5 3 13 5  （角变换技巧） 例 18. 解： 4 3 tan1 tan22tan 2   ,∴ 1tan2tan1 tan2tan)2tan(   ,又∵tan2 < 0，tan < 0 , ∴  222 3 ， 02  , ∴  22 ,∴2 +  = 4 7 例 19. 解：∵C =   (A + B) ,∴cosC =  cos(A + B) 又∵A(0, ),∴sinA = 13 12 而 sinB = 5 3 , 显然 sinA > sinB ∴A > B,即 B 必为锐角 , ∴ cosB = 5 4 ,∴cosC =  cos(A + B) = sinAsinB  cosAcosB = 65 16 5 4 13 5 5 3 13 12  例 20. 解 ： 原 方 程 变 形 为 ： 2cos2x  sinx + a = 0 即 2  2sin2x  sinx + a = 0, ∴ 8 17)4 1(sin22sinsin2 22  xxxa ,∵ 1≤sinx≤1 ,∴ 8 17 4 1sin min  ax 时，当 ； 11sin max  ax 时，当 , ∴a 的取值范围是[ 1,8 17 ] 例 21.B 例 22.C 例 23.C 例 24.D 例 25.B 例 26.C 例 27. 例 28. sin( )2 6 xy   例 29.1 例 30. 3 4 例 31.解： 5cos( ) cos( ) 2 cos( )12 12 3y x x x        ,∵ 0, 2x     ,∴ 6 3 3x   ≤ ≤ ,∴ 1cos( ) ,13 2x      ,∴函数 y 的值域是 2 , 22       例 32. 解（1）x 必须满足 sinx-cosx>0，利用单位圆中的三角函数线及 52 24 4k x k      ， k ∈ Z ∴ 函 数 定 义 域 为 )4 5k2,4k2(  ， k ∈ Z ∵ sin cos 2sin( )4x x x    ∴ 当 x ∈ 5(2 , 2 )4 4k k    时，0 sin( ) 14x   ≤ ∴ 0 sin cos 2x x  ≤ ∴ 1 2 1log 2 2y  ≥ ∴ 函数值域 为[  ,2 1 ）（3）∵ ( )f x 定义域在数轴上对应的点关于原点不对称,∴ ( )f x 不具备奇偶性 （4）∵ f(x+2π)=f(x)∴ 函数 f(x)最小正周期为 2π 注；利用单位圆中的三角函数线可知，以Ⅰ、Ⅱ象限角平分线为标准，可区分 sinx-cosx 的符 号；以Ⅱ、Ⅲ象限角平分线为标准，可区分 sinx+cosx 的符号 例 33. （1）T=π（2）增区间[kπ- 12  ，kπ+ 12 5 π]，减区间[kπ+ ]12 11k,12 5  （3）对称中心（ 62 k  ，0），对称轴  12 5 2 kx ，k∈Z 例34. 解：∵f (x)= 1 2 1log cos( )3 4x  令 43 1  xt ,∴y= tcoslog 2 1 ,t是x的增函数,又∵0< 2 1 <1, ∴当 y= tcoslog 2 1 为单调递增时,cost 为单调递减 且 cost>0,∴2k≤t<2k+ 2  (kZ),∴2k≤ 43 1 x <2k+ 2  (kZ) ,6k- 4 3 ≤x<6k+ 4 3 (kZ),∴f (x)= )43 1cos(log 2 1 x 的单调递减区间 是[6k- 4 3 ,6k+ 4 3 ) (kZ) 例 35.D 例 36. 解：arctan2 = , arctan3 =  ,则 tan = 2， tan = 3,且 24  ， 24  , ∴ 1321 32 tantan1 tantan)tan(    ,而  2 ,∴ +  = 4 3 ,又 arctan1 = 4  , ∴ 3arctan2arctan1arctan  = 