- 2021-05-13 发布 |
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文档介绍
高考真题数学理江苏卷答案解析版
、2012年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷) 注 意 事 项 考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求: 1.本试卷共4页,均为非选择题(第1题~第20题,共20题)。本卷满分为160分。考试时间为120分钟。考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回。 2.答题前,请您务必将自己的姓名、考试证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置。 3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与您本人是否相符。 4.作答试题必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡的指定位置作答,在其它位置作答一律无效。 5.如需作图,须用2B铅笔绘、写清楚,线条、符号等须加黑、加粗。 数学Ⅰ 参考公式: 棱锥的体积,其中为底面积,为高. 一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上. 1.已知集合,,则 ▲ . 【解析】由已知,集合,,所以{1,2,4,6}. 答案:{1,2,4,6}, 2.某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为,现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本,则应从高二年级抽取 ▲ 名学生. 【解析】由已知,高二人数占总人数的,所以抽取人数为. 3.设,(i为虚数单位),则的值为 ▲ . 结束 k←k +1 开始 k←1 k2-5k+4>0 N 输出k Y 【解析】由已知,. . 4.右图是一个算法流程图,则输出的k的值是 ▲ . 【解析】将带入0=0不满足, 将带入不满足, 将带入不满足, 将带入不满足, 将带入满足, 所以. 5.函数的定义域为 ▲ . 【解析】由题意,所以. 6.现有10个数,它们能构成一个以1为首项,为公比的等比数列,若从这10个数中随机抽取一个数,则它小于8的概率是 ▲ . D A B C 【解析】满足条件的数有1,-3,,,,;所以. 7.如图,在长方体中,,, 则四棱锥的体积为 ▲ cm3. (第7题) 【解析】. 8.在平面直角坐标系中,若双曲线的离心率为,则m的值为 ▲ . 【解析】,解得. A B C E F D 9.如图,在矩形ABCD中,点E为BC的中点, 点F在边CD上,若,则的值是 ▲ . 【解析】以A为坐标原点,AB,AD所在直线分别为x轴和y轴建立 平面直角坐标系, 则由题意知:点B,点E,设点F, (第9题) 所以,; 由条件解得点, 所以,; 所以. 10.设是定义在上且周期为2的函数,在区间上, 其中.若,则的值为 ▲ . 【解析】因为,所以,求得. 由,得,解得. 联立,解得 所以. 11.设为锐角,若,则的值为 ▲ . 【解析】为锐角,,,; , . 12.在平面直角坐标系中,圆C的方程为,若直线上至少存在一点,使得以该点为圆心,1为半径的圆与圆C有公共点,则k的最大值是 ▲ . 【解析】圆C的圆心为,半径为1;由题意,直线上至少存在一点,以该点为圆心,1为半径的圆与圆C有公共点;故存在,使得成立,即;而即为点C到直线的距离,故,解得,即k的最大值是. 13.已知函数的值域为,若关于x的不等式的解集为,则实数c的值为 ▲ . 【解析】由值域为得,即; , 解得; 不等式的解集为,,解得. 14.已知正数满足:则的取值范围是 ▲ . 【解析】题中条件可转化为:,令,, 则题目转化为:已知,满足,求的取值范围. 作出(,)所在平面区域如图所示,以求出的切线为,且易判断切点P(1,)在区域顶点A,B之间,故易求出的取值范围为[,7]. 二、解答题:本大题共6小题,共计90分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(本小题满分14分) 在中,已知. (1)求证:; (2)若求A的值. 【命题意图】本题主要考查平面向量的数量积、三角函数的基本关系式、两角和的正切公式、解三角形,考查运算求解能力和推理论证能力. 【解析】(1) ∵=,∴,即, 由正弦定理,∴, 又∵,∴,,∴, (2)∵,∴==,∴=2,∴=2, ∴,即,由(1)得,解得=1或, ∵,∴,∴. 16.(本小题满分14分) 如图,在直三棱柱中,,分别是棱上的点(点D 不同于点C),且为的中点. 求证:(1)平面平面; (2)直线平面ADE. 【命题意图】本题主要考查直线与平面、平面与平面的位置关系,考查空间想象能力和推理论证能力. 【证明】(1)∵是直棱柱, ∴⊥面ABC, ∵AD面ABC, ∴⊥AD, ∵AD⊥DE,面,DE面,, ∴AD⊥面, ∵AD面ADE, ∴面ADE⊥面. (2) ∵=,F为的中点, ∴⊥, ∵⊥面,且面, ∴⊥, ∵面,面,∩=, ∴⊥面, 由(1)知,AD⊥面, ∴∥AD. ∵AD面ADE,面ADE, ∴∥面ADE.. 17.(本小题满分14分) 如图,建立平面直角坐标系xOy,x轴在地平面上,y轴垂直于地平面,单位长度为1千米.某炮位于坐标原点.已知炮弹发射后的轨迹在方程表示的曲线上,其中k与发射方向有关.炮的射程是指炮弹落地点的横坐标. (1)求炮的最大射程; (2)设在第一象限有一飞行物(忽略其大小),其飞行高度为3.2千米,试问它的横坐标a不超过多少时,炮弹可以击中它?请说明理由. 【命题意图】本题主要考查函数、方程和基本不等式基础知识,考察数学阅读能力和解决实际问题能力. 【解析】(1)令,得,由实际意义和题设条件知,, 故=≤=10,当且仅当=1时取等号. (2) ∵>0,∴炮弹可击中目标存在>0,使3.2=成立 关于的方程有正根 判别式. ∴当不超过6(千米)时,可击中目标. 18.(本小题满分16分) 若函数在处取得极大值或极小值,则称为函数的极值点. 已知a,b是实数,1和是函数的两个极值点. (1)求a和b的值; (2)设函数的导函数,求的极值点; (3)设,其中,求函数的零点个数. 【命题意图】本题主要考查函数的概念、性质及导数等基础知识,考查运算求解能力、运用数形结合思想、分类讨论思想方法分析与解决问题的能力. 【解析】(1)由题设知=,且=,, 解得=0,. (2)由(1)知=,∵, ∴的根为, 于是的极值点只可能是1或-2. 当时,<0,当-2<<1时,>0,故-2是的极值点,当-2<<1或>1时,>0,故1不是的极值点. ∴的极值点为-2. (3)令,则,先讨论关于的方程=的根的情况,∈[ -2,2]. 当||=2时,由(2)可知,=-2的两个不同的根为1和-2,注意到是奇函数, ∴=2的两个不同的根为-1和2. 当||<2时,∵,, ∴-2,-1,1,2都不是=的根,由(1)知=. ① 当∈(2,+∞)时,,于是是单调增函数,∴>=2, 此时=无实根,同理,=在(-∞,-2)上无实根. ② 当∈(1,2)时,>0,于是是单调增函数, ∵,,的图像不间断, ∴=在(1,2)内唯一实根,同理,=在(―2,―1)内有唯一实根. ③ 当∈(-1,1)时,<0,故是单调减函数, 又∵,,的图像不间断, ∴=在(-1,1)内唯一实根, 由上可知:当||=2时,=有两个不同的根,满足||=1,||=2; 当||<2时,=有三个不同的根,,满足||<2,=3,4,5, 现考虑函数的零点. (ⅰ)当||=2时,有两个不同根,满足,,而有三个不同的根,=有两个不同的根,故有5个零点. (ⅱ)当||<2时,有三个不同根满足<2,=3,4,5,而=(=3,4,5)有三个不同根,故有9个零点. 综上可知,当||=2时,函数有5个零点;当||<2时,故有9个零点. A B P O x y (第19题) 19.(本小题满分16分)如图,在平面直角坐标系xOy中,椭圆的左、右焦点分别为,.已知和都在椭圆上,其中e为椭圆的离心率. (1)求椭圆的方程; (2)设A,B是椭圆上位于x轴上方的两点,且直线 与直线平行,与交于点P. (i)若,求直线的斜率; (ii)求证:是定值. 【命题意图】本题主要考查椭圆的定义、标准方程及几何性质、直线方程、两点间的距离公式等基础知识,考查运算求解能力和推理论证能力. 【解析】(1)设题设知,,由点(1,)在椭圆上, 得=1,解得=1,于是, 又点(,)在椭圆上,∴=1,即,解得=2, ∴所求椭圆方程的方程是=1; (2)由(1)知(-1,0),(1,0), ∵∥, ∴可设直线的方程为:,直线的方程为:, 设,, 由,得,解得, 故===, ① 同理,=, ② (ⅰ)由①②得-=,解得=得=2, ∵,∴,∴直线的斜率为. (ⅱ)∵∥, ∴, ∴, ∴, 由B点在椭圆知,∴,同理 , ∴== 由①②知,+=,×=, ∴==,∴是定值. 20.(本小题满分16分) 已知各项均为正数的两个数列和满足:. (1)设,求证:数列是等差数列; (2)设,且是等比数列,求和的值. 【命题意图】本题主要考查等比数列、等差数列的基本性质、基本不等式等基础知识,考查考生分析探究及逻辑推理的能力. 【解析】(1)有题设知,==,∴,∴=1, ∴数列是公差为1的等差数列; (2)∵>0,>0,∴≤<,∴1<=≤, ① 设等比数列{}的公比为,由>0知>0,下面证=1, 当>1时,则=<≤,故当>时,=>,与①矛盾; 当0<<1时,则=>>1,故当>时,=<1,与①矛盾, 综上,=1,故=(∈),所以1<≤. ∵==(∈),∴{}是公比为的等比数列,若≠,则>1, 于是<<, 又由=得=,∴,,至少有两项相同,矛盾,故=,∴==,∴=. 绝密★启用前 2012年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷) 数学Ⅱ(附加题) 注 意 事 项 考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求: 1.本试卷共2页,均为非选择题(第21题~第23题)。本卷满分为40分。考试时间为30分钟。考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回。 2.答题前,请您务必将自己的姓名、考试证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置。 3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与您本人是否相符。 4.作答试题必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡的指定位置作答,在其它位置作答一律无效。 5.如需作图,须用2B铅笔绘、写清楚,线条、符号等须加黑、加粗。 21.[选做题]本题包括A、B、C、D四小题,请选定其中两题,并在相应的答题区域内作 答.若多做,则按作答的前两题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. A.[选修4 - 1:几何证明选讲](本小题满分10分) 如图,AB是圆O的直径,D,E为圆上位于AB异侧的两点,连结BD并延长至点C,使BD = DC,连结AC,AE,DE. 求证:. 【命题意图】本题主要考查三角形和圆的基础知识,考查推理论证能力. 【解析】连结OD,∵BD=DC,O是AB的中点, ∴OD∥AC, ∴∠ODC=∠C, ∵OB=OD, ∴∠ODB=∠B,∴∠B=∠C, ∵点A,E,B,D都在圆O上,且D,E为圆O上位于AB异侧的两点, ∴∠B和∠E是同弧所对的圆周角, ∴∠B=∠E, ∴∠E=∠C. B.[选修4 - 2:矩阵与变换](本小题满分10分) 已知矩阵A的逆矩阵,求矩阵A的特征值. 【命题意图】本题主要考查矩阵的基础知识,考查运算求解能力. 【解析】∵,∴, ∵=, ∴=, ∴矩阵的特征多项式为==, 令=0,解得得特征值=-1,=4. C.[选修4 - 4:坐标系与参数方程](本小题满分10分) 在极坐标中,已知圆C经过点,圆心为直线与极轴的交点,求圆C的极坐标方程. 【命题意图】本题主要考查直线和圆的极坐标方程等基础知识,考查转化问题的能力. 【解析】在中令=0,得=1,∴圆C的圆心坐标为(1,0). ∵圆C经过点, ∴圆C的半径PC==1, ∴圆C过极点,∴圆C的极坐标方程为. D.[选修4 - 5:不等式选讲](本小题满分10分) 已知实数x,y满足:求证:. 【命题意图】本题主要考查绝对值不等式的基础知识,考查推理论证能力. 【证明】∵≤, ∵∴<, ∴. 【必做题】第22题、第23题,每题10分,共计20分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 22.(本小题满分10分) 设为随机变量,从棱长为1的正方体的12条棱中任取两条,当两条棱相交时,;当两条棱平行时,的值为两条棱之间的距离;当两条棱异面时,. (1)求概率; (2)求的分布列,并求其数学期望. 【命题意图】本题主要考查概率分布列、数学期望等基础知识,考查运算求解能力. 【解析】(1)若两条棱相交,则交点必为正方形8个顶点中的一个,过任意一个顶点恰有3条棱, ∴共有对相交棱, ∴==. (2)若两条棱平行,则它们的距离为1或,其中距离为的共有6对,故==, ==. ∴随机变量的分布列是 0 1 P ∴. 23.(本小题满分10分) 设集合,.记为同时满足下列条件的集合A的个数: ①;②若,则;③若,则. (1)求; (2)求的解析式(用n表示). 【命题意图】本题主要考查集合概念和运算、计数原理等基础知识,考查探究能力. 【解析】(1)当=4时,符合条件的集合A为:{2},{1,4},{2,3},{1,3,4},故. (2)任取偶数,将除以2,若商仍为偶数,再除以2,…,经过次以后,商必为奇数,此时记商为,于是=,其中是奇数,∈. 由条件知,若∈A,则∈A为偶数; 若A,则∈A为奇数; 于是是否属于A由是否属于A确定,设是中所有奇数的集合,因此等于的子集的个数,当为偶数(或奇数)时,中奇数的个数是(或),∴. www.7caiedu.cn查看更多