高考真题数学理江苏卷答案解析版

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高考真题数学理江苏卷答案解析版

‎、2012年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷)‎ 注 意 事 项 考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求:‎ ‎1.本试卷共4页,均为非选择题(第1题~第20题,共20题)。本卷满分为160分。考试时间为120分钟。考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回。‎ ‎2.答题前,请您务必将自己的姓名、考试证号用‎0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置。‎ ‎3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与您本人是否相符。‎ ‎4.作答试题必须用‎0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡的指定位置作答,在其它位置作答一律无效。‎ ‎5.如需作图,须用2B铅笔绘、写清楚,线条、符号等须加黑、加粗。‎ 数学Ⅰ 参考公式:‎ 棱锥的体积,其中为底面积,为高.‎ 一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上.‎ ‎1.已知集合,,则 ▲ .‎ ‎【解析】由已知,集合,,所以{1,2,4,6}.‎ 答案:{1,2,4,6},‎ ‎2.某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为,现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本,则应从高二年级抽取 ▲ 名学生.‎ ‎【解析】由已知,高二人数占总人数的,所以抽取人数为.‎ ‎3.设,(i为虚数单位),则的值为 ▲ .‎ 结束 k←k +1‎ 开始 k←1‎ k2-5k+4>0‎ N 输出k ‎ Y ‎【解析】由已知,.‎ ‎.‎ ‎4.右图是一个算法流程图,则输出的k的值是 ▲ .‎ ‎【解析】将带入0=0不满足,‎ ‎ 将带入不满足,‎ ‎ 将带入不满足,‎ ‎ 将带入不满足,‎ ‎ 将带入满足,‎ ‎ 所以.‎ ‎5.函数的定义域为 ▲ .‎ ‎【解析】由题意,所以.‎ ‎6.现有10个数,它们能构成一个以1为首项,为公比的等比数列,若从这10个数中随机抽取一个数,则它小于8的概率是 ▲ .‎ D A B C ‎【解析】满足条件的数有1,-3,,,,;所以.‎ ‎7.如图,在长方体中,,,‎ 则四棱锥的体积为 ▲ cm3.‎ ‎(第7题)‎ ‎【解析】.‎ ‎8.在平面直角坐标系中,若双曲线的离心率为,则m的值为 ▲ .‎ ‎【解析】,解得.‎ A B C E F D ‎9.如图,在矩形ABCD中,点E为BC的中点,‎ 点F在边CD上,若,则的值是 ▲ .‎ ‎【解析】以A为坐标原点,AB,AD所在直线分别为x轴和y轴建立 平面直角坐标系,‎ 则由题意知:点B,点E,设点F,‎ ‎(第9题)‎ 所以,;‎ 由条件解得点,‎ 所以,;‎ 所以.‎ ‎10.设是定义在上且周期为2的函数,在区间上,‎ 其中.若,则的值为 ▲ .‎ ‎【解析】因为,所以,求得.‎ 由,得,解得.‎ 联立,解得 所以.‎ ‎11.设为锐角,若,则的值为 ▲ .‎ ‎【解析】为锐角,,,;‎ ‎,‎ ‎.‎ ‎12.在平面直角坐标系中,圆C的方程为,若直线上至少存在一点,使得以该点为圆心,1为半径的圆与圆C有公共点,则k的最大值是 ▲ .‎ ‎【解析】圆C的圆心为,半径为1;由题意,直线上至少存在一点,以该点为圆心,1为半径的圆与圆C有公共点;故存在,使得成立,即;而即为点C到直线的距离,故,解得,即k的最大值是.‎ ‎13.已知函数的值域为,若关于x的不等式的解集为,则实数c的值为 ▲ .‎ ‎【解析】由值域为得,即;‎ ‎,‎ 解得;‎ 不等式的解集为,,解得.‎ ‎14.已知正数满足:则的取值范围是 ▲ .‎ ‎【解析】题中条件可转化为:,令,,‎ 则题目转化为:已知,满足,求的取值范围.‎ 作出(,)所在平面区域如图所示,以求出的切线为,且易判断切点P(1,)在区域顶点A,B之间,故易求出的取值范围为[,7].‎ 二、解答题:本大题共6小题,共计90分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎15.(本小题满分14分)‎ 在中,已知.‎ ‎(1)求证:;‎ ‎(2)若求A的值.‎ ‎【命题意图】本题主要考查平面向量的数量积、三角函数的基本关系式、两角和的正切公式、解三角形,考查运算求解能力和推理论证能力.‎ ‎【解析】(1) ∵=,∴,即,‎ 由正弦定理,∴,‎ 又∵,∴,,∴,‎ ‎(2)∵,∴==,∴=2,∴=2,‎ ‎∴,即,由(1)得,解得=1或,‎ ‎∵,∴,∴.‎ ‎16.(本小题满分14分)‎ 如图,在直三棱柱中,,分别是棱上的点(点D 不同于点C),且为的中点.‎ 求证:(1)平面平面;‎ ‎ (2)直线平面ADE.‎ ‎【命题意图】本题主要考查直线与平面、平面与平面的位置关系,考查空间想象能力和推理论证能力.‎ ‎【证明】(1)∵是直棱柱, ∴⊥面ABC, ‎ ‎∵AD面ABC, ∴⊥AD,‎ ‎∵AD⊥DE,面,DE面,,‎ ‎∴AD⊥面, ∵AD面ADE, ∴面ADE⊥面.‎ ‎(2) ∵=,F为的中点, ∴⊥,‎ ‎∵⊥面,且面, ∴⊥,‎ ‎∵面,面,∩=,‎ ‎∴⊥面, 由(1)知,AD⊥面, ∴∥AD.‎ ‎∵AD面ADE,面ADE, ∴∥面ADE..‎ ‎17.(本小题满分14分)‎ 如图,建立平面直角坐标系xOy,x轴在地平面上,y轴垂直于地平面,单位长度为‎1千米.某炮位于坐标原点.已知炮弹发射后的轨迹在方程表示的曲线上,其中k与发射方向有关.炮的射程是指炮弹落地点的横坐标.‎ ‎(1)求炮的最大射程;‎ ‎(2)设在第一象限有一飞行物(忽略其大小),其飞行高度为‎3.2千米,试问它的横坐标a不超过多少时,炮弹可以击中它?请说明理由.‎ ‎【命题意图】本题主要考查函数、方程和基本不等式基础知识,考察数学阅读能力和解决实际问题能力.‎ ‎【解析】(1)令,得,由实际意义和题设条件知,,‎ 故=≤=10,当且仅当=1时取等号.‎ ‎(2) ∵>0,∴炮弹可击中目标存在>0,使3.2=成立 ‎ 关于的方程有正根 ‎ 判别式.‎ ‎ ∴当不超过6(千米)时,可击中目标.‎ ‎18.(本小题满分16分)‎ 若函数在处取得极大值或极小值,则称为函数的极值点.‎ 已知a,b是实数,1和是函数的两个极值点.‎ ‎(1)求a和b的值;‎ ‎(2)设函数的导函数,求的极值点;‎ ‎(3)设,其中,求函数的零点个数.‎ ‎【命题意图】本题主要考查函数的概念、性质及导数等基础知识,考查运算求解能力、运用数形结合思想、分类讨论思想方法分析与解决问题的能力.‎ ‎【解析】(1)由题设知=,且=,,‎ 解得=0,.‎ ‎(2)由(1)知=,∵,‎ ‎∴的根为,‎ 于是的极值点只可能是1或-2.‎ 当时,<0,当-2<<1时,>0,故-2是的极值点,当-2<<1或>1时,>0,故1不是的极值点. ∴的极值点为-2.‎ ‎(3)令,则,先讨论关于的方程=的根的情况,∈[‎ ‎-2,2].‎ 当||=2时,由(2)可知,=-2的两个不同的根为1和-2,注意到是奇函数,‎ ‎∴=2的两个不同的根为-1和2.‎ 当||<2时,∵,,‎ ‎∴-2,-1,1,2都不是=的根,由(1)知=.‎ ① 当∈(2,+∞)时,,于是是单调增函数,∴>=2,‎ 此时=无实根,同理,=在(-∞,-2)上无实根.‎ ② 当∈(1,2)时,>0,于是是单调增函数,‎ ‎∵,,的图像不间断,‎ ‎∴=在(1,2)内唯一实根,同理,=在(―2,―1)内有唯一实根.‎ ③ 当∈(-1,1)时,<0,故是单调减函数,‎ 又∵,,的图像不间断,‎ ‎∴=在(-1,1)内唯一实根,‎ 由上可知:当||=2时,=有两个不同的根,满足||=1,||=2;‎ 当||<2时,=有三个不同的根,,满足||<2,=3,4,5,‎ 现考虑函数的零点.‎ ‎(ⅰ)当||=2时,有两个不同根,满足,,而有三个不同的根,=有两个不同的根,故有5个零点.‎ ‎(ⅱ)当||<2时,有三个不同根满足<2,=3,4,5,而=(=3,4,5)有三个不同根,故有9个零点.‎ 综上可知,当||=2时,函数有5个零点;当||<2时,故有9个零点.‎ A B P O x y ‎(第19题)‎ ‎19.(本小题满分16分)如图,在平面直角坐标系xOy中,椭圆的左、右焦点分别为,.已知和都在椭圆上,其中e为椭圆的离心率.‎ ‎(1)求椭圆的方程;‎ ‎(2)设A,B是椭圆上位于x轴上方的两点,且直线 与直线平行,与交于点P.‎ ‎(i)若,求直线的斜率;‎ ‎(ii)求证:是定值.‎ ‎【命题意图】本题主要考查椭圆的定义、标准方程及几何性质、直线方程、两点间的距离公式等基础知识,考查运算求解能力和推理论证能力.‎ ‎【解析】(1)设题设知,,由点(1,)在椭圆上,‎ 得=1,解得=1,于是,‎ 又点(,)在椭圆上,∴=1,即,解得=2,‎ ‎∴所求椭圆方程的方程是=1;‎ ‎(2)由(1)知(-1,0),(1,0), ∵∥, ‎ ‎ ∴可设直线的方程为:,直线的方程为:,‎ 设,,‎ 由,得,解得,‎ 故===, ①‎ 同理,=, ②‎ ‎(ⅰ)由①②得-=,解得=得=2,‎ ‎∵,∴,∴直线的斜率为.‎ ‎(ⅱ)∵∥, ∴, ∴, ∴,‎ 由B点在椭圆知,∴,同理 ‎,‎ ‎∴==‎ 由①②知,+=,×=,‎ ‎∴==,∴是定值.‎ ‎20.(本小题满分16分)‎ ‎ 已知各项均为正数的两个数列和满足:.‎ ‎(1)设,求证:数列是等差数列;‎ ‎(2)设,且是等比数列,求和的值.‎ ‎【命题意图】本题主要考查等比数列、等差数列的基本性质、基本不等式等基础知识,考查考生分析探究及逻辑推理的能力.‎ ‎【解析】(1)有题设知,==,∴,∴=1,‎ ‎∴数列是公差为1的等差数列;‎ ‎(2)∵>0,>0,∴≤<,∴1<=≤, ①‎ 设等比数列{}的公比为,由>0知>0,下面证=1,‎ 当>1时,则=<≤,故当>时,=>,与①矛盾;‎ 当0<<1时,则=>>1,故当>时,=<1,与①矛盾,‎ 综上,=1,故=(∈),所以1<≤.‎ ‎∵==(∈),∴{}是公比为的等比数列,若≠,则>1,‎ 于是<<, 又由=得=,∴,,至少有两项相同,矛盾,故=,∴==,∴=.‎ 绝密★启用前 ‎ ‎2012年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷)‎ 数学Ⅱ(附加题)‎ 注 意 事 项 考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求:‎ ‎1.本试卷共2页,均为非选择题(第21题~第23题)。本卷满分为40分。考试时间为30分钟。考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回。‎ ‎2.答题前,请您务必将自己的姓名、考试证号用‎0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置。‎ ‎3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与您本人是否相符。‎ ‎4.作答试题必须用‎0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡的指定位置作答,在其它位置作答一律无效。‎ ‎5.如需作图,须用2B铅笔绘、写清楚,线条、符号等须加黑、加粗。‎ ‎21.[选做题]本题包括A、B、C、D四小题,请选定其中两题,并在相应的答题区域内作 答.若多做,则按作答的前两题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ A.[选修4 - 1:几何证明选讲](本小题满分10分)‎ ‎ 如图,AB是圆O的直径,D,E为圆上位于AB异侧的两点,连结BD并延长至点C,使BD = DC,连结AC,AE,DE.‎ 求证:.‎ ‎【命题意图】本题主要考查三角形和圆的基础知识,考查推理论证能力.‎ ‎【解析】连结OD,∵BD=DC,O是AB的中点, ∴OD∥AC, ∴∠ODC=∠C,‎ ‎∵OB=OD, ∴∠ODB=∠B,∴∠B=∠C, ‎ ‎ ∵点A,E,B,D都在圆O上,且D,E为圆O上位于AB异侧的两点,‎ ‎∴∠B和∠E是同弧所对的圆周角,‎ ‎∴∠B=∠E, ∴∠E=∠C.‎ B.[选修4 - 2:矩阵与变换](本小题满分10分)‎ 已知矩阵A的逆矩阵,求矩阵A的特征值.‎ ‎【命题意图】本题主要考查矩阵的基础知识,考查运算求解能力.‎ ‎【解析】∵,∴, ∵=, ∴=,‎ ‎∴矩阵的特征多项式为==,‎ 令=0,解得得特征值=-1,=4.‎ C.[选修4 - 4:坐标系与参数方程](本小题满分10分)‎ 在极坐标中,已知圆C经过点,圆心为直线与极轴的交点,求圆C的极坐标方程.‎ ‎【命题意图】本题主要考查直线和圆的极坐标方程等基础知识,考查转化问题的能力.‎ ‎【解析】在中令=0,得=1,∴圆C的圆心坐标为(1,0).‎ ‎∵圆C经过点, ∴圆C的半径PC==1,‎ ‎∴圆C过极点,∴圆C的极坐标方程为.‎ D.[选修4 - 5:不等式选讲](本小题满分10分)‎ 已知实数x,y满足:求证:.‎ ‎【命题意图】本题主要考查绝对值不等式的基础知识,考查推理论证能力.‎ ‎【证明】∵≤,‎ ‎∵∴<, ∴.‎ ‎【必做题】第22题、第23题,每题10分,共计20分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎22.(本小题满分10分)‎ 设为随机变量,从棱长为1的正方体的12条棱中任取两条,当两条棱相交时,;当两条棱平行时,的值为两条棱之间的距离;当两条棱异面时,.‎ ‎ (1)求概率;‎ ‎ (2)求的分布列,并求其数学期望.‎ ‎【命题意图】本题主要考查概率分布列、数学期望等基础知识,考查运算求解能力.‎ ‎【解析】(1)若两条棱相交,则交点必为正方形8个顶点中的一个,过任意一个顶点恰有3条棱,‎ ‎∴共有对相交棱, ∴==.‎ ‎(2)若两条棱平行,则它们的距离为1或,其中距离为的共有6对,故==,‎ ‎==.‎ ‎∴随机变量的分布列是 ‎0‎ ‎1‎ P ‎ ∴.‎ ‎23.(本小题满分10分)‎ 设集合,.记为同时满足下列条件的集合A的个数:‎ ‎①;②若,则;③若,则.‎ ‎(1)求;‎ ‎(2)求的解析式(用n表示).‎ ‎【命题意图】本题主要考查集合概念和运算、计数原理等基础知识,考查探究能力.‎ ‎【解析】(1)当=4时,符合条件的集合A为:{2},{1,4},{2,3},{1,3,4},故.‎ ‎(2)任取偶数,将除以2,若商仍为偶数,再除以2,…,经过次以后,商必为奇数,此时记商为,于是=,其中是奇数,∈.‎ 由条件知,若∈A,则∈A为偶数;‎ ‎ 若A,则∈A为奇数;‎ 于是是否属于A由是否属于A确定,设是中所有奇数的集合,因此等于的子集的个数,当为偶数(或奇数)时,中奇数的个数是(或),∴.‎ www.7caiedu.cn
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