南京师范大学附属中学高考模拟数学试题正稿

南京师范大学附属中学高考模拟数学试题正稿

输出n 开始 结束 Y N ‎2011年南京师范大学附属中学高考模拟 数　学　试　题 ‎1、已知全集，集合，则= .‎ ‎2、已知复数，则该复数的虚部为 .‎ ‎3、已知双曲线过点(2,1)且一条渐近线方程为x-y=0，‎ 则该双曲线的标准方程为 .‎ ‎4、在如图所示的流程图中，输出的结果是 .‎ ‎5、在△ABC中，三边a,b,c所对的角分别为A，B，C，‎ 若，则＝ .‎ ‎（第4题图）‎ ‎6、已知向量与的夹角为，且，，‎ 则 .‎ ‎7、已知函数，若，则的取值范围是 .‎ ‎8、如图是函数图像的一部分，则此函数的表达式为 .‎ ‎9、某人2011年初向银行申请个人住房公积金贷款元购买住房，‎ 年利率为，按复利计算，每年等额还贷一次，并从贷款后的 次年初开始还贷.如果10年还清，那么每年应还贷款 　元.(用a,r表示) ‎ ‎（第8题图）‎ ‎10、已知函数，若函数y=为奇函数，则= .‎ ‎11、已知等差数列的公差不为零且，，依次成等比数列，则= .‎ ‎12、已知椭圆C：＋＝1（a＞b＞0）的右准线与x轴交于点A，点B的坐标为(0,a)，若椭圆上的点M满足＝2，则椭圆C的离心率为 .‎ ‎13、在平面直角坐标系中，集合且，‎ ‎，则当(x,y)∈N时，z=x-2y的最大值为 .‎ ‎14、已知函数,若对于任意实数，均存在以为三边边长的三角形，则实数k的取值范围是 .‎ ‎15．在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且.‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）若a=，求三角形面积的最大值.‎ ‎16.如图，在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD为矩形，，M,N分别为AC,PD的中点.‎ ‎(1)求证：MN//平面ABP;‎ ‎(2)求证：平面平面的充要条件是.‎ ‎（第16题图）‎ ‎17．已知直线l1，l2分别与抛物线x2=4y相切于点A，B，且A，B两点的横坐标分别为a,b (a,b∈R).‎ ‎(1)求直线l1，l2的方程；‎ ‎(2)若l1，l2与x轴分别相交于P，Q，且l1，l2交于点R，经过P，Q，R三点作⊙C.‎ ‎ ①当a=4,b＝－2时，求⊙C的方程；‎ ‎②当a,b变化时，⊙C是否过定点? 若是，求出所有定点坐标；若不是，请说明理由.‎ ‎18．已知数列{}的前n项的和为，且.‎ ‎（1）求证：{}为等比数列；‎ ‎（2）是否存在实数k，使得对于任意的都成立，若存在，求出实数k的取值范围；若不存在，说明理由.‎ ‎19 已知函数，.（1）当时，求的单调增区间；‎ ‎ (2) 若在上只有一个极值点，求实数的取值范围；‎ ‎ (3) 对于任意，都有，求实数的取值范围.‎ ‎2011年南京师范大学附属中学高考模拟 数　学　附　加　题 B.选修4-2：矩阵与变换 已知M,,试计算M9.‎ C.选修4-4：坐标系与参数方程 已知曲线(θ为参数)和曲线(t为参数)相交于两点A，B，求A，B的坐标.‎ ‎ 22.如图，已知正四棱柱ABCD－A1B‎1C1D1中， AB=2， AA1=4，E为BC的中点，F为直线CC1上的动点，‎ A C B D B1‎ C1‎ D1‎ A1‎ E 设．‎ ‎（1）当=1时，求二面角F－DE－C的余弦值；‎ ‎（2）当为何值时，有BD1⊥EF？‎ ‎（第22题图）‎ ‎23.某养鸡场对疑似有传染病的100只鸡进行抽血化验，根据流行病学理论这些鸡的感染率为10%，为了减少抽检次数，首先把这些鸡平均分成若干组，每组n只，并把同组的n只鸡抽到的血混合在一起化验一次，若发现有问题，再分别对该组n只鸡逐只化验.‎ ‎(1)当n=4时，记某一组中病鸡的数量为X，求X的概率分布和数学期望；‎ ‎(2)当n为多少时，化验次数最少？并说明理由. ‎ ‎1． (-∞,2] 2． 1 3． － =1 4． 10 5．或 6．５ 7. ‎ ‎8. 9. 10. -２ 11． 2 12． 13．0 14．‎ ‎15．（1）‎ ‎＝＝‎ ‎＝＝‎ ‎（2）∵ ∴,‎ 又∵ ∴ 当且仅当 b=c=时, bc=, 故bc的最大值是.‎ ‎∵= ∴= ，． ∴三角形面积的最大值是．‎ ‎17. 解：(1) A(a,)，B(b,)，记f(x)= ，f'(x)= ，则l1的方程为y-=(x-a)，即y=x- 同理得l1的方程为y=x- ‎(2) 由题意a≠b且a,b不为零，联立方程组可求得P(,0)，Q(,0) ，R (,)‎ 抛物线的焦点F(0,1)，∵KPF＝－，∴KPF·KPA=-1，故l1⊥PF，同理l2⊥RF ‎∴经过P，Q，R三点的⊙C就是以FR为直径的圆 ‎∴⊙C：x(x-)+(y-1)(y-)=0‎ 当a=4,b＝－2时，⊙C：x(x-1)+(y-1)(y+2)=0，x2+y2-x+y-2=0‎ 显然当a≠b且a,b不为零时，⊙C总过定点F(0,1）.‎ ‎18. （1） n=1时，，解得 ‎ 时，， 即 ‎ 可得 ‎ ‎ 所以{}是首项为1，公比为的等比数列.‎ ‎（2）由（1）可得：，‎ ‎ 所以 ‎ ‎ 由 得：‎ ‎ 只需求出的最大值即可 ‎ 设 ‎ 易得单调递减，‎ ‎ ，所以 ‎ 故单调递减，‎ ‎ ‎ ‎ 当时，，故时， 单调递减，‎ ‎ 所以，时，随着n的增大而减小 ‎ 而，‎ ‎ 所以的最大值为，‎ ‎ 故.‎ ‎19.解：（1）当时，，令，解出：，‎ 所以的单调增区间为或。‎ ‎(2) 令，‎ ‎ 在上只有一个极值点在上只有一个根且不是重根。‎ 令，，‎ ①当时，，不在上有一个根，舍去。‎ ②当时，，在上只有一个根且不是重根；‎ ③当时，，在上只有一个根且不是重根；矛盾！‎ 综上所述，实数的取值范围是：。‎ 注：②③可以合并为：。‎ ‎(3) 当，显然满足，以下讨论的情况。‎ ⑴ 当时，，‎ ‎，得到，即在上单调递增。‎ 对于任意，不放设，则有，且代入不等式 ‎，‎ 引入新函数：，‎ 所以问题转化为上恒成立 令，通过求导或不等式判断都可以：‎ ‎，当；，所以当，‎ 所以；‎ ⑵当且时，，令，方程判别式且；‎ 所以在上只有一个极大值。不妨设极大值点为，记，在A点处的切线的斜率为0；‎ 过A点作一条割线AB，肯定存在点使的，因为慢慢变成0。这样存在存在，使得与矛盾！‎ 当时，在上只有一个极大值，同样得出矛盾！‎ 综上所述，求实数的取值范围为。‎ 附加题参考答案 B.由 ‎ 得: ‎ 当时,对应的特征向量为,当时,对应的特征向量为,‎ ‎,所以 M9=.‎ C.(2,0)和(1,)‎ ‎22. （1）二面角F－DE－C的余弦值为．‎ ‎（2）=－9． ‎ ‎23.解：（1）由题意X服从B(4，0.1)，概率分布略，E(X)= 4×0.1×0.9=0.36　　4分 ‎(2)由题意n=1,2,4,5,10,20,25,50,100　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ 当n=1或100时，就是逐只检验，检验次数为100. 　　　　　　　　　　　　5分 当n∈{2,4,5,10,20,25,50}‎ 将100只鸡平均分成组，每组n只，设X为n只鸡中的病鸡数，则X服从B(n，0.1)，这n只鸡中无病鸡的概率为0.9n，这时化验1次；若n只鸡中有病鸡，其概率为1-0.9n，此时化验n+1次.‎ 设Y为n只鸡的化验次数，则Y的概率分布为 Y 1 n+1‎ P 0.9n 1-0.9n　　‎ E(Y)＝0.9n＋(n+1)( 1-0.9n)=n+1-n·0.9n= n+1－n·(1-0.1)n 则组共需化验次数为E(Y)=[n+1－n·(1-0.1)n]‎ ‎≈[n+1－n·(1-0.1n+×0.12)]=(1+0.1n2－)=+9.5n+0.5　　　　　8分 函数f(x)= +9.5x在(0,3]内减，在[4,+∞)内增.‎ 又f(2)=‎69 f(4)=63，‎ 故n=4时，化验次数最少. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　10分 江苏省宿迁市老四所四星级县中联考试卷 ‎1．已知集合，，则__ ．‎ ‎2．复数在复平面上对应的点位于第 __ 象限．‎ ‎3．根据表格中的数据，可以判定方程的一个零点所在的区间为，则的值为 ．‎ x ‎－1‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎0.37‎ ‎1‎ ‎2.72‎ ‎7.39‎ ‎20.09‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎4. 若x, y满足条件的最大值等于 ．‎ ‎5．设则tan的值等于__ ．‎ ‎6．设是定义在上的奇函数，且当时，，则_____．‎ ‎7．在△ABC中，BC=1，，当△ABC的面积等于时，__ ．‎ ‎8．若曲线在点P处的切线平行于直线3x－y＝0，则点P的坐标为 ．‎ ‎9．设是一次函数，，且成等比数列，则…_ ．‎ ‎10．函数的图象恒过定点，若点在一次函数的图象上，其中，则的最小值为__ ．‎ ‎11．设O是△ABC内部一点，且的面积之比为__ ．‎ ‎12．若函数是定义在（0，+）上的增函数，且对一切x>0,y>0满足，则不等式的解集为__ ．‎ ‎13．第29届奥运会在北京举行.设数列=，定义使为整数的实数k为奥运吉祥数，则在区间[1，2008]内的所有奥运吉祥数之和为________．‎ ‎14．给出定义：若（其中为整数），则叫做离实数 最近的整数，记作，即 . 在此基础上给出下列关于函数的四个命题： ①函数的定义域是R，值域是[0，]； ②函数的图像关于直线(k∈Z)对称；‎ ‎③函数是周期函数，最小正周期是1；④ 函数在上是增函数； ‎ 则其中真命题是__ ．‎ ‎15．已知向量，，函数．‎ ‎（1）求的最大值及相应的的值；（2）若，求的值．‎ Tesoon.com ‎ 天星版权 ‎16． 已知mÎR，设P：不等式；Q：函数在(－¥,+¥)上有极值．求使P正确且Q正确的m的取值范围．‎ ‎17．已知函数的图象关于原点对称． ‎ ‎(1) 求m的值； (2)判断函数在区间上的单调性并加以证明；‎ ‎(3)当的值域是，求与的值.‎ ‎18．设数列的前项和为，且；数列为等差数列，且，.‎ ‎(1)求数列的通项公式；‎ ‎(2)若，为数列的前项和. 求证：.‎ ‎19．(本题满分16分) 徐州、苏州两地相距500千米，一辆货车从徐州匀速行驶到苏州，规定速度不得超过100千米/小时．已知货车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度v(千米/时)的平方成正比，比例系数为0.01；固定部分为a元(a>0)．‎ ‎（1）把全程运输成本y（元）表示为速度v（千米/时）的函数，并指出这个函数的定义域；‎ ‎（2）为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？‎ Tesoon.com ‎ 天星版权 ‎1. 2. 三 3. 1 4. 25 5. 6. -1 7. 8. (1,0) ‎ 9. ‎ 10. 8 11. 1 12. （0，2） 13. 2026 14. ①②③‎ ‎15. 解：（1）因为，，所以 ‎ ‎ 因此，当，即（）时，取得最大值； ‎ ‎（2）由及得，两边平方得 ‎，即．……………………………………………12分 因此，．……………………………14分 ‎16.解：由已知不等式得 ‎　① 或　　②‎ 不等式①的解为不等式②的解为或…………………………………………………4分 因为，对或或时，P是正确的………………………..6分 对函数求导…8分 令，即 当且仅当D>0时，函数f()在(－¥,+¥)上有极值 由得或，因为，当或时，Q是正确的……12分 综上，使P正确且Q正确时，实数m的取值范围为(-¥,-1)È……….14分 ‎17.解：（1）因为函数的图象关于原点对称，所以即，‎ ‎，得或……………………………………….2分 当时，舍去；‎ 当时，，令，解得或.‎ 所以符合条件的m值为-1 …………………………………………………………………4分 ‎（2）由（1）得，任取，‎ ‎……………………6分 ‎ ∴，‎ ‎∴………………………………………………………………….8分 ‎∴当时，即，此时为增函数；‎ 当时，即，此时为减函数…10分 ‎（3）由（2）知，当时在上为减函数；同理在上也为减函数 当时，与已知矛盾，舍去；………………12分 当时，因为函数的值域为 ‎∴且，解得，……………………………………14分 ‎18.解：（1）由，令，则，又，所以.‎ ‎，则. …………………………………………………………………………………….2分 当时，由，可得. 即..6分 ‎ 所以是以为首项，为公比的等比数列，于是. ……8分 ‎（2）数列为等差数列，公差,可得. ….10分 从而. ……………………………………………..12分 ‎∴……….16分 ‎19.解：（1）依题意知汽车从甲地匀速行驶到乙地所用时间为，全程运输成本为 ……………………………………….4分 故所求函数及其定义域为 ………………………….6分 ‎(2)依题意知a，v都为正数，故有 当且仅当．即时上式中等号成立………………………...8分 Tesoon.com ‎ 天星版权 ‎（1）若，即时则当时，全程运输成本y最小.10分 ‎（2）若，即时，则当时，有 ‎.‎ ‎。也即当v=100时，全程运输成本y最小．…….14分 综上知，为使全程运输成本y最小，当时行驶速度应为千米/时；‎ 当时行驶速度应为v=‎100千米/时。………………………………………………16分 江苏省南京师大附中2012届高三12月阶段性检测 1． 若a,b∈R，i为虚数单位，且(a+i)i=b+i，则a+b= ．‎ 2． 过点（—1,—2）的直线l被圆截得的弦长为，则直线l的斜率为 ．‎ 3． 已知四棱椎P－ABCD的底面是边长为6 的正方形，侧棱底面，且，则该四棱椎的体积是 ．‎ 4． 已知a,b,c分别是△ABC的三个内角A,B,C所对的边，若a=1,b=,A+C=2B,则sinC= ． ‎ 5． 给定下列四个命题： ‎ 第7题图 x y O ‎①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行； ‎ ‎②垂直于同一直线的两条直线相互平行；‎ ‎③平行于同一直线的两个平面相互平行；‎ ‎④垂直于同一直线的两个平面相互平行 上面命题中，真命题的序号是 （写出所有真命题的序号）．‎ 6． 等差数列{an}前9项的和等于前4项的和．若a1≠0，Sk+3＝0，则k= ． ‎ 7． 已知函数y=sin(x+)（>0, －<）的图像如图所示，则= ．‎ 8． 已知x、y满足，则的最小值为 ．‎ 9． 在中，，，则 ．‎ 10． 已知实数x，y满足，则xy的取值范围是　　．‎ 11． 设圆锥曲线C的两个焦点分别为F1，F2，若曲线C上存在点P满足=6:5:4，则曲线C的离心率等于 ．‎ 12． 若是R上的减函数，且，设 ‎ ‎ ，若“”是“”的必要不充分条件,则实数的取值范围是　 ．‎ 13． ‎ 数列{an}满足a1＝1，ai＋1＝　其中m是给定的奇数．若a6＝6，则m = ． ‎ ‎14．已知是正实数，设，若对每个实数a ，∩的元素不超过２个，且存在实数a使∩含有２个元素，则的取值范围是 ．‎ ‎15．设函数f(x)=，其中向量=(2cosx,1),=(cosx,sin2x),x∈R.‎ ‎(1) 若f(x)=0且x∈(－,0), 求tan2x；‎ ‎(2) 设△ABC的三边a,b,c依次成等比数列，试求f(B)的取值范围．‎ ‎16． ‎（第16题）‎ A B C D E F P 如图，四棱锥P－ABCD的底面为矩形，且AB＝，BC＝1，E，F分别为AB，PC中点.‎ ‎（1）求证：EF∥平面PAD；‎ ‎（2）若平面PAC⊥平面ABCD，求证：平面PAC⊥平面PDE.‎ ‎17．已知函数(x>0)在x = 1处取得极值，其中a,b,c为常数。‎ ‎（1）试确定a,b的值；‎ ‎（2）求函数f(x)的单调增区间；‎ ‎（3）若对任意x>0，不等式f(x)≥－(c－1)4+(c－1)2－c+9恒成立，求c的取值范围.‎ ‎18．在平面直角坐标系xOy中，A(‎2a，0)，B(a，0)，a为非零常数，动点P满足PA＝PB，记点P的轨迹曲线为C．‎ ‎（1）求曲线C的方程；‎ ‎（2）曲线C上不同两点Q (x1，y1)，R (x2，y2)满足＝λ，点S为R 关于x轴的对称点．‎ ‎①试用λ表示x1，x2，并求λ的取值范围；‎ ‎②当λ变化时，x轴上是否存在定点T，使S，T，Q三点共线，证明你的结论．‎ ‎19．已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足a1＝1，Sn= tan+1 (n∈N+,t∈R)．‎ ‎（1）求数列{Sn}的通项公式；‎ ‎2）求数列{nan}的前n项和为Tn.‎ B．选修4—2：矩阵与变换 已知矩阵A＝．‎ ‎(1)求矩阵A的特征值和特征向量；(2)求A的逆矩阵A－1．‎ C．选修4—4：坐标系与参数方程 已知直线l的参数方程：（为参数）和圆C的极坐标方程：．‎ ‎（1）将直线的参数方程化为普通方程，圆的极坐标方程化为直角坐标方程；‎ ‎（2）若平面直角坐标系横轴的非负半轴与极坐标系的极轴重合，试判断直线和圆的位置关系．‎ ‎22．若二项式(1+2x)n展开式中第6项与第7项的系数相等，求展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项．‎ ‎23．甲、乙、丙三个同学一起参加某高校组织的自主招生考试，考试分笔试和面试两部分，笔试和面试均合格者将成为该高校的预录取生（可在高考中加分录取），两次考试过程相互独立．根据甲、乙、丙三个同学的平时成绩分析，甲、乙、丙三个同学能通过笔试的概率分别是0.6，0.5，0.4，能通过面试的概率分别是0.5，0.6，0.75．‎ ‎（1）求甲、乙、丙三个同学中恰有一人通过笔试的概率；‎ ‎（2）设经过两次考试后，能被该高校预录取的人数为，求随机变量的期望．‎ 参考答案：‎ ‎1. 2.1或 3. 96‎ ‎4. 5. ④ 6. 10 7. ‎ ‎8. -6 9. 10. [,2] 11. 或 12. ‎ ‎13. m＝9． 14．‎ ‎15. 解：f(x)==(2cosx,1) (cosx, sin2x)=2cos2x+sin2x=sin2x+cos2x+1=2sin(2x+)+1‎ ‎(1) ∵f(x)= 0,∴sin(2x+)=-,x∈(－,0) ∴2x+∈(-,)　∴2x+=-,∴x=-,tan2x=- ‎(2) ∵a,b,c成等比数列, ∴b2=ac由余弦定理得∴cosB==≥=‎ ‎∴0

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