2015年高考广东理科数学试题及答案(word解析版)

2015年高考广东理科数学试题及答案(word解析版)

‎2015年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）‎ 数学（理科）‎ 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎（1）【2015年广东，理1，5分】若集合，，则（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【答案】D ‎【解析】，，故选D．‎ ‎（2）【2015年广东，理2，5分】若复数（是虚数单位），则（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【答案】A ‎【解析】，，故选A． ‎ ‎（3）【2015年广东，理3，5分】下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【答案】D ‎【解析】A和C选项为偶函数，B选项为奇函数，D选项为非奇非偶函数，故选B．‎ ‎（4）【2015年广东，理4，5分】袋中共有15个除了颜色外完全相同的球，其中有10个白球，5个红球，从袋中任取2个球，所取的2个球中恰好有1个白球，1个红球的概率为（ ）‎ ‎ （A） （B） （C） （D）‎ ‎【答案】B ‎【解析】，故选B．‎ ‎（5）【2015年广东，理5，5分】平行于直线且与圆相切的直线的方程是（ ）‎ ‎ （A） （B） ‎ ‎（C） （D）‎ ‎【答案】A ‎【解析】设所求直线为，因为圆心坐标为，则由直线与圆相切可得，‎ 解得，所求直线方程为，故选A．‎ ‎（6）【2015年广东，理6，5分】若变量满足约束条件，则的最小值为（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【答案】B ‎【解析】如图所示，阴影部分为可行域，虚线表示目标函数，则当目标函数过点，取最小值为，故选B．‎ ‎（7）【2015年广东，理7，5分】已知双曲线的离心率，且其右焦点为，则双曲线的方程为（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【答案】C ‎【解析】由双曲线右焦点为，则，．‎ ‎，所以双曲线方程为，故选C．‎ ‎（8）【2015年广东，理8，5分】若空间中个不同的点两两距离都相等，则正整数的取值（ ）‎ ‎（A）至多等于3 （B）至多等于4 （C）等于5 （D）大于5‎ ‎【答案】B ‎【解析】当时，正三角形的三个顶点符合条件；当时，正四面体的四个顶点符合条件，故可排除A，C，D四个选项，故选B．‎ 二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．‎ ‎（一）必做题（9~13）‎ ‎（9）【2015年广东，理9，5分】在的展开式中，的系数为 ．‎ ‎【答案】6‎ ‎【解析】，则当时，的系数为．‎ ‎（10）【2015年广东，理10，5分】在等差数列中，若，则 ．‎ ‎【答案】10‎ ‎【解析】由等差数列性质得，，解得，所以．‎ ‎（11）【2015年广东，理11，5分】设的内角，，的对边分别为，，，若，，，则= ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】，又，故，所以，由正弦定理得，，所以．‎ ‎（12）【2015年广东，理12，5分】某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了 条毕业留言（用数字作答）．‎ ‎【答案】1560‎ ‎【解析】．‎ ‎（13）【2015年广东，理13，5分】已知随机变量服从二项分布，，，则 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】，，解得．‎ ‎（二）选做题（14-15题，考生只能从中选做一题）‎ ‎（14）【2015年广东，理14，5分】（坐标系与参数方程选做题）已知直线的极坐标方程为，点的极坐标为，则点到直线的距离为 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】．即直线的直角坐标方程为 ‎，点的直角坐标为，到直线的距离为．‎ ‎（15）【2015年广东，理15，5分】（几何证明选讲选做题）如图1，已知是圆的直径，，是圆的切线，切点为，，过圆心作的平行线，分别交和于点和点，则= ．‎ ‎【答案】8‎ ‎【解析】如图所示，连结 ， 两点，则，‎ ‎，，所以，‎ 所以．‎ ‎ 三、解答题：本大题共6题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．‎ ‎（16）【2015年广东，理16，12分】在平面直角坐标系中，已知向量，，． ‎（1）若，求的值；‎ ‎（2）若与的夹角为，求的值．‎ 解：（1），，，即，‎ ‎，又，，．即，．‎ ‎ （2）依题意，‎ ‎ ，又，，即．‎ ‎（17）【2015年广东，理17，12分】某工厂36名工人的年龄数据如下表：‎ 工人编号年龄 工人编号年龄 工人编号年龄 工人编号年龄 1 ‎40‎ 2 ‎44‎ 3 ‎40‎ 4 ‎41‎ 5 ‎33‎ 6 ‎40‎ 7 ‎45‎ 8 ‎42‎ 9 ‎43‎ 10 ‎36‎ 11 ‎31‎ 12 ‎38‎ 13 ‎39‎ 14 ‎43‎ 15 ‎45‎ 16 ‎39‎ 17 ‎38‎ 18 ‎36‎ 19 ‎27‎ 20 ‎43‎ 21 ‎41‎ 22 ‎37‎ 23 ‎34‎ 24 ‎42‎ 25 ‎37‎ 26 ‎44‎ 27 ‎42‎ 28 ‎34‎ 29 ‎39‎ 30 ‎43‎ 31 ‎38‎ 32 ‎42‎ 33 ‎53‎ 34 ‎37‎ 35 ‎49‎ 36 ‎39‎ ‎（1）用系统抽样法从36名工人中抽取容量为9的样本，且在第一分段里采用随机抽样法抽到的年龄数据为44，列出样本的年龄数据；‎ ‎（2）计算（1）中样本的均值和方差；‎ ‎（3）36名工人中年龄在与之间有着多少人？所占的百分比是多少（精确到0．01%）？‎ 解：（1）由题意得，通过系统抽样分别抽取编号为2，6，10，14，18，22，26，30，34的年龄数据为样本．‎ 则样本的年龄数据为：44，40，36，43，36，37，44，43，37．‎ ‎（2）由（1）中的样本年龄数据可得， ，则 ‎ = ．‎ ‎（3）由题意知年龄在之间，即年龄在之间，‎ 由（1）中容量为9的样本中年龄、在之间的有5人，‎ 所以在36人中年龄在之间的有（人），则所占百分比为．‎ ‎（18）【2015年广东，理18，14分】如图，三角形所在的平面与长方形所在的平面垂直，，，，点是边的中点，点，分别在线段，上，且，．‎ ‎（1）证明：；‎ ‎（2）求二面角的正切值；‎ ‎（3）求直线与直线所成角的余弦值．‎ 解：（1）为等腰三角形，为边的中点，所以，‎ ‎ ，，‎ 且，∴，．‎ ‎（2）由长方形知， ，，，‎ 且 ， ‎ ‎．，‎ ‎ 由长方形得，为边的中点，则，‎ ‎ 即二面角的正切值为．‎ ‎（3）如图，连结，，‎ ‎，，为直线与直线所成角．‎ 由长方形中得：‎ 由（2）知， ，由题意知，‎ ‎，所以，直线与直线所成角的余弦值为．‎ ‎（19）【2015年广东，理19，14分】设，函数．‎ ‎（1）求的单调区间；‎ ‎（2）证明：在上仅有一个零点；‎ ‎（3）若曲线在点处的切线与轴平行，且在点的切线与直线平行（是坐标原点），证明：．‎ 解：（1），，时，恒成立．‎ 的单调递增区间为．‎ ‎（2）由（1）可知在R上为单调递增函数，当，，‎ ‎ ，，在仅有一个零点．‎ ‎（3）令点为，曲线在点处的切线与轴平行，，‎ ‎，，直线斜率为，‎ 在点处的切线与直线平行，．‎ 要证明，即证．‎ ‎ 要证明，需证明，设，，‎ ‎ 令，在上单调递减，在上单调递增，，‎ ‎ ，，命题得证．‎ ‎（20）【2015年广东，理20，14分】已知过原点的动直线与圆相交于不同的两点，．‎ ‎（1）求圆的圆心坐标；‎ ‎（2）求线段的中点的轨迹的方程；‎ ‎（3）是否存在实数，使得直线与曲线只有一个交点？若存在，求出的取值范围；若不 存在，说明理由．‎ 解：（1）由题意知：圆方程为：，∴圆的圆心坐标为．‎ ‎（2）由图可知，令，，‎ ‎ ，，，‎ ‎ ∵直线与圆交于、两点，∴直线与圆的距离：‎ ‎ ，，‎ ‎ 轨迹的方程为：．‎ ‎（3）∵直线：与曲线仅有1个交点， 联立方程：‎ 得：，在区间有且仅有1个解． ‎ 当时，，此时，，仅有一个交点，符合题意．‎ 当时，令，则有：‎ 解得： ，∴的取值范围为：或．‎ ‎（21）【2015年广东，理21，14分】数列满足：．‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）设求数列的前项和；‎ ‎（3）令，证明：数列的前项和满足．‎ 解：（1）由题意知：，当时，；‎ ‎ 当时，，，．‎ ‎（2）， ，，‎ ‎∴是首相为1，公比为的等边数列，∴．‎ ‎（3）由（2）得：，已知不等式：‎ 设，在单调递增，‎ ‎，在上恒成立．‎ 令，，‎ ‎，‎ ‎．‎