2020年全国Ⅰ卷高考理数真题试卷(含答案)

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2020年全国Ⅰ卷高考理数真题试卷(含答案)

2020 年全国Ⅰ卷高考理数真题试卷(含答案) 一、选择题:本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目 要求的。 1.若z=1+i,则|z2–2z|= A.0 B.1 C. 2 D.2 2.设集合A={x|x2–4≤0},B={x|2x+a≤0},且A∩B={x|–2≤x≤1},则a= A.–4 B.–2 C.2 D.4 3.埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一,它的形状可视为一个正四棱锥,以该四棱锥的高为边长的正 方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积,则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值 为 A. 51 4  B. 51 2  C. 51 4  D. 51 2  4.已知A为抛物线C:y2=2px(p>0)上一点,点A到C的焦点的距离为12,到y轴的距离为9,则p= A.2 B.3 C.6 D.9 5.某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率 y 和温度 x(单位:°C)的关系,在 20 个不同的温度 条件下进行种子发芽实验,由实验数据(,)(1,2,,20)iixyi  得到下面的散点图: 由此散点图,在 10°C 至 40°C 之间,下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率 y 和温度 x 的回归方程 类型的是 A. y a b x B. 2y a bx C. e xy a b D. lny a b x 6.函数 43( ) 2f x x x  的图像在点 (1 (1) )f, 处的切线方程为 A. 21yx   B. 21yx   C. 23yx D. 21yx 7.设函数 ()cos π()6fxx 在 []π, π 的图像大致如下图,则 f(x)的最小正周期为 A. 10 π 9 B. 7 π 6 C. 4 π 3 D. 3 π 2 8. 2 5( )( )xxy x y的展开式中 x3y3 的系数为 A.5 B.10 C.15 D.20 9.已知 π()0,  ,且3cos28cos5,则 s i n  A. 5 3 B. 2 3 C. 1 3 D. 5 9 10.已知 ,,A B C 为球O 的球面上的三个点,⊙ 1O 为 ABC△ 的外接圆,若⊙ 的面积为 4 π , 1ABBCACOO ,则球 的表面积为 A.64π B. 48π C.36π D.32π 11.已知⊙M: 222 2 2 0x y x y     ,直线l : 2 2 0xy   , P 为 上的动点,过点 作⊙M 的切 线 ,P A P B ,切点为 ,AB,当 | | | |P M A B 最小时,直线 AB 的方程为 A. 2 1 0xy   B. 2 1 0xy   C. 2 1 0xy   D. 2 1 0xy   12.若 242 log 4 2logabab   ,则 A. 2ab B. 2ab C. 2ab D. 2ab 二、填空题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。 13.若 x,y 满足约束条件 2 2 0 , 1 0 , 1 0 , xy xy y          则 z=x+7y 的最大值为 . 14.设 ,ab为单位向量,且 | | 1 ab ,则 ||ab . 15.已知 F 为双曲线 22 22:1(0,0)xyCabab 的右焦点,A 为 C 的右顶点,B 为 C 上的点,且 BF 垂直于 x 轴.若 AB 的斜率为 3,则 C 的离心率为 . 16.如图,在三棱锥 P–ABC 的平面展开图中,AC=1, 3AB AD,AB⊥AC,AB⊥AD,∠CAE=30°, 则 cos∠FCB= . 三、解答题:共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17~21 题为必考题,每个试题考生 都必须作答。第 22、23 题为选考题,考生根据要求作答。 (一)必考题:共 60 分。 17.(12 分) 设 {}na 是公比不为 1 的等比数列, 1a 为 2a , 3a 的等差中项. (1)求{}na 的公比; (2)若 1 1a  ,求数列{}nna 的前 n 项和. 18.(12 分) 如图, D 为圆锥的顶点, O 是圆锥底面的圆心, AE 为底面直径, A E A D . ABC△ 是底面的内接正 三角形, P 为 DO 上一点, 6 6PO DO . (1)证明: PA  平面 PBC ; (2)求二面角 B PC E的余弦值. 19.(12 分) 甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛,约定赛制如下: 累计负两场者被淘汰;比赛前抽签决定首先比赛的两人,另一人轮空;每场比赛的胜者与轮空者进行 下一场比赛,负者下一场轮空,直至有一人被淘汰;当一人被淘汰后,剩余的两人继续比赛,直至其 中一人被淘汰,另一人最终获胜,比赛结束. 经抽签,甲、乙首先比赛,丙轮空.设每场比赛双方获胜的概率都为 1 2 , (1)求甲连胜四场的概率; (2)求需要进行第五场比赛的概率; (3)求丙最终获胜的概率. 20.(12 分) 已知 A、B 分别为椭圆 E: 2 2 2 1x ya (a>1)的左、右顶点,G 为 E 的上顶点, 8AG GB,P 为直 线 x=6 上的动点,PA 与 E 的另一交点为 C,PB 与 E 的另一交点为 D. (1)求 E 的方程; (2)证明:直线 CD 过定点. 21.( 12 分) 已知函数 2( ) exf x ax x  . (1)当 a=1 时,讨论 f(x)的单调性; (2)当 x≥0 时,f(x)≥ 1 2 x3+1,求 a 的取值范围. (二)选考题:共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做,则按所做的第一题计分。 22.[选修 4—4:坐标系与参数方程](10 分) 在直角坐标系 x O y 中,曲线 1C 的参数方程为 c os , sin k k xt yt    ( t 为参数 ) .以坐标原点为极点, x 轴正半轴为 极轴建立极坐标系,曲线 2C 的极坐标方程为 4cos16sin30  . (1)当 1k  时, 是什么曲线? (2)当 4k  时,求 与 的公共点的直角坐标. 23.[选修 4—5:不等式选讲](10 分) 已知函数 ( ) | 3 1| 2 | 1|f x x x    . (1)画出 ()y f x 的图像; (2)求不等式 ( ) ( 1 )f x f x 的解集. 2020 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学试题参考答案(A 卷) 选择题答案 一、选择题 1.D 2.B 3.C 4.C 5.D 6.B 7.C 8.C 9.A 10.A 11.D 12.B 非选择题答案 二、填空题 13.1 14. 3 15.2 16. 1 4 三、解答题 17.解:(1)设 {}na 的公比为 q ,由题设得 1232,a a a 即 2 1112 a a q a q . 所以 2 2 0 ,qq   解得 1q  (舍去), 2q  . 故 的公比为 2 . (2)设 nS 为 {}nna 的前 n 项和.由(1)及题设可得, 1( 2 ) n na  .所以 11 2 ( 2) ( 2)n nSn        , 21222(2)(1)(2)(2) nn nSnn   . 可得 2131(2)(2)(2)(2) nn nSn 1(2)=(2). 3 n nn  所以 1(31)(2) 99 n n nS  . 18.解:(1)设 D O a ,由题设可得 63,,63POa AOa ABa , 2 2PAPBPCa . 因此 222PAPBAB,从而 PAPB . 又 222PAPCAC,故 PAPC . 所以 PA  平面 PBC . (2)以O 为坐标原点,OE 的方向为 y 轴正方向,||OE 为单位长,建立如图所示的空间直角坐标系 Oxyz . 由题设可得 312(0,1,0),(0,1,0),(,,0),(0,0,)222EACP  . 所以 312(,,0),(0,1,)222ECEP . 设 (,,)xyzm 是平面 P C E 的法向量,则 0 0 EP EC    m m ,即 2 02 31022 yz xy   , 可取 3(,1,2)3m . 由(1)知 2(0,1, )2AP  是平面 P C B 的一个法向量,记 APn , 则 25cos, |||5 nmnm nm | . 所以二面角 BPCE的余弦值为 25 5 . 19.解:(1)甲连胜四场的概率为 1 16 . (2)根据赛制,至少需要进行四场比赛,至多需要进行五场比赛. 比赛四场结束,共有三种情况: 甲连胜四场的概率为 ; 乙连胜四场的概率为 ; 丙上场后连胜三场的概率为 1 8 . 所以需要进行第五场比赛的概率为 11131 161684 . (3)丙最终获胜,有两种情况: 比赛四场结束且丙最终获胜的概率为 . 比赛五场结束且丙最终获胜,则从第二场开始的四场比赛按照丙的胜、负、轮空结果有三种情况:胜 胜负胜,胜负空胜,负空胜胜,概率分别为 1 16 , , . 因此丙最终获胜的概率为 1 1 1 1 7 8 16 8 8 16    . 20.解:(1)由题设得 A(–a,0), B(a,0), G(0,1). 则 ( , 1)A G a , GB =(a,–1).由 A G G B =8得a2–1=8,即a=3. 所以E的方程为 2 9 x +y2=1. (2)设C(x1,y1), D(x2,y2), P(6,t). 若t≠0,设直线CD的方程为x=my+n,由题意可知–30.所以f(x)在(–∞,0)单调递减, 在(0,+∞)单调递增. (2) 31( ) 1 2f x x 等价于 321(1)e12 xxaxx  . 设函数 321( ) ( 1)e ( 0)2 xg x x ax x x     ,则 32213()(121)e22 xgxxaxxxax    21 [(23)42]e2 xxxaxa   1 (21)(2)e2 xxxax  . (i)若2a+1≤0,即 1 2a  ,则当x∈(0,2)时, ()gx >0.所以g(x)在(0,2)单调递增,而g(0) =1,故当x∈(0,2)时,g(x)>1,不合题意. (ii)若0<2a+1<2,即 11 22a ,则当x∈(0,2a+1)∪(2,+∞)时,g'(x)<0;当x∈(2a+1,2)时,g'(x)>0. 所以g(x)在(0,2a+1),(2,+∞)单调递减,在(2a+1,2)单调递增.由于g(0)=1,所以g(x)≤1当且仅当 g(2)=(7−4a)e−2≤1,即a≥ 27e 4  . 所以当 27e1 42a 时,g(x)≤1. (iii)若2a+1≥2,即 1 2a  ,则g(x)≤ 31(1)e2 xxx  . 由于 27 e 10 [ , )42  ,故由(ii)可得 31(1)e2 xxx  ≤1. 故当 时,g(x)≤1. 综上,a的取值范围是 27e[ , )4   . 22.解:(1)当 k=1 时, 1 cos ,: sin, xtC yt    消去参数 t 得 221xy,故曲线 1C 是圆心为坐标原点,半径为 1 的圆. (2)当 k=4 时, 4 1 4 cos ,: sin , xtC yt    消去参数 t 得 的直角坐标方程为 1xy. 2C 的直角坐标方程为 4 16 3 0xy   . 由 1, 41630 xy xy    解得 1 4 1 4 x y     . 故 1C 与 2C 的公共点的直角坐标为 11( , )44 . 23.解:(1)由题设知 13,, 3 1()51,1, 3 3,1. xx fxxx xx       ()y f x 的图像如图所示. (2)函数 的图像向左平移 1 个单位长度后得到函数 (1)yfx的图像. 的图像与 的图像的交点坐标为 711(,) 66 . 由图像可知当且仅当 7 6x  时, 的图像在 的图像上方, 故不等式 ()(1)fxfx 的解集为 7( , )6  .
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