2020年全国Ⅰ卷高考理数真题试卷（含答案）

2020年全国Ⅰ卷高考理数真题试卷（含答案）

2020 年全国Ⅰ卷高考理数真题试卷（含答案） 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。 1．若z=1+i，则|z2–2z|= A．0 B．1 C． 2 D．2 2．设集合A={x|x2–4≤0}，B={x|2x+a≤0}，且A∩B={x|–2≤x≤1}，则a= A．–4 B．–2 C．2 D．4 3．埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正 方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值 为 A． 51 4  B． 51 2  C． 51 4  D． 51 2  4．已知A为抛物线C:y2=2px（p>0）上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则p= A．2 B．3 C．6 D．9 5．某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率 y 和温度 x（单位：°C）的关系，在 20 个不同的温度 条件下进行种子发芽实验，由实验数据(,)(1,2,,20)iixyi  得到下面的散点图： 由此散点图，在 10°C 至 40°C 之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率 y 和温度 x 的回归方程 类型的是 A． y a b x B． 2y a bx C． e xy a b D． lny a b x 6．函数 43( ) 2f x x x  的图像在点 (1 (1) )f， 处的切线方程为 A． 21yx   B． 21yx   C． 23yx D． 21yx 7．设函数 ()cos π()6fxx 在 []π, π 的图像大致如下图，则 f(x)的最小正周期为 A． 10 π 9 B． 7 π 6 C． 4 π 3 D． 3 π 2 8． 2 5( )( )xxy x y的展开式中 x3y3 的系数为 A．5 B．10 C．15 D．20 9．已知 π()0,  ，且3cos28cos5，则 s i n  A． 5 3 B． 2 3 C． 1 3 D． 5 9 10．已知 ,,A B C 为球O 的球面上的三个点，⊙ 1O 为 ABC△ 的外接圆，若⊙ 的面积为 4 π ， 1ABBCACOO ，则球 的表面积为 A．64π B． 48π C．36π D．32π 11．已知⊙M： 222 2 2 0x y x y     ，直线l ： 2 2 0xy   ， P 为 上的动点，过点 作⊙M 的切 线 ,P A P B ，切点为 ,AB，当 | | | |P M A B 最小时，直线 AB 的方程为 A． 2 1 0xy   B． 2 1 0xy   C． 2 1 0xy   D． 2 1 0xy   12．若 242 log 4 2logabab   ，则 A． 2ab B． 2ab C． 2ab D． 2ab 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 13．若 x，y 满足约束条件 2 2 0 , 1 0 , 1 0 , xy xy y          则 z=x+7y 的最大值为 . 14．设 ,ab为单位向量，且 | | 1 ab ，则 ||ab . 15．已知 F 为双曲线 22 22:1(0,0)xyCabab 的右焦点，A 为 C 的右顶点，B 为 C 上的点，且 BF 垂直于 x 轴.若 AB 的斜率为 3，则 C 的离心率为 . 16．如图，在三棱锥 P–ABC 的平面展开图中，AC=1， 3AB AD，AB⊥AC，AB⊥AD，∠CAE=30°， 则 cos∠FCB= . 三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17~21 题为必考题，每个试题考生 都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：共 60 分。 17．（12 分） 设 {}na 是公比不为 1 的等比数列， 1a 为 2a ， 3a 的等差中项． （1）求{}na 的公比； （2）若 1 1a  ，求数列{}nna 的前 n 项和． 18．（12 分） 如图， D 为圆锥的顶点， O 是圆锥底面的圆心， AE 为底面直径， A E A D ． ABC△ 是底面的内接正 三角形， P 为 DO 上一点， 6 6PO DO ． （1）证明： PA  平面 PBC ； （2）求二面角 B PC E的余弦值． 19.（12 分） 甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下： 累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行 下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其 中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束. 经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空.设每场比赛双方获胜的概率都为 1 2 ， （1）求甲连胜四场的概率； （2）求需要进行第五场比赛的概率； （3）求丙最终获胜的概率. 20.（12 分） 已知 A、B 分别为椭圆 E： 2 2 2 1x ya （a>1）的左、右顶点，G 为 E 的上顶点， 8AG GB，P 为直 线 x=6 上的动点，PA 与 E 的另一交点为 C，PB 与 E 的另一交点为 D． （1）求 E 的方程； （2）证明：直线 CD 过定点. 21．（ 12 分） 已知函数 2( ) exf x ax x  . （1）当 a=1 时，讨论 f（x）的单调性； （2）当 x≥0 时，f（x）≥ 1 2 x3+1，求 a 的取值范围. （二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。 22．[选修 4—4：坐标系与参数方程]（10 分） 在直角坐标系 x O y 中，曲线 1C 的参数方程为 c os , sin k k xt yt    ( t 为参数 ) ．以坐标原点为极点， x 轴正半轴为 极轴建立极坐标系，曲线 2C 的极坐标方程为 4cos16sin30  ． （1）当 1k  时， 是什么曲线？ （2）当 4k  时，求 与 的公共点的直角坐标． 23．[选修 4—5：不等式选讲]（10 分） 已知函数 ( ) | 3 1| 2 | 1|f x x x    ． （1）画出 ()y f x 的图像； （2）求不等式 ( ) ( 1 )f x f x 的解集． 2020 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学试题参考答案(A 卷) 选择题答案 一、选择题 1．D 2．B 3．C 4．C 5．D 6．B 7．C 8．C 9．A 10．A 11．D 12．B 非选择题答案 二、填空题 13．1 14． 3 15．2 16． 1 4 三、解答题 17．解：（1）设 {}na 的公比为 q ，由题设得 1232,a a a 即 2 1112 a a q a q . 所以 2 2 0 ,qq   解得 1q  （舍去）， 2q  . 故 的公比为 2 . （2）设 nS 为 {}nna 的前 n 项和.由（1）及题设可得， 1( 2 ) n na  .所以 11 2 ( 2) ( 2)n nSn        ， 21222(2)(1)(2)(2) nn nSnn   . 可得 2131(2)(2)(2)(2) nn nSn 1(2)=(2). 3 n nn  所以 1(31)(2) 99 n n nS  . 18．解：（1）设 D O a ，由题设可得 63,,63POa AOa ABa ， 2 2PAPBPCa . 因此 222PAPBAB，从而 PAPB . 又 222PAPCAC，故 PAPC . 所以 PA  平面 PBC . （2）以O 为坐标原点，OE 的方向为 y 轴正方向，||OE 为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系 Oxyz . 由题设可得 312(0,1,0),(0,1,0),(,,0),(0,0,)222EACP  . 所以 312(,,0),(0,1,)222ECEP . 设 (,,)xyzm 是平面 P C E 的法向量，则 0 0 EP EC    m m ，即 2 02 31022 yz xy   ， 可取 3(,1,2)3m . 由（1）知 2(0,1, )2AP  是平面 P C B 的一个法向量，记 APn ， 则 25cos, |||5 nmnm nm | . 所以二面角 BPCE的余弦值为 25 5 . 19．解：（1）甲连胜四场的概率为 1 16 ． （2）根据赛制，至少需要进行四场比赛，至多需要进行五场比赛． 比赛四场结束，共有三种情况： 甲连胜四场的概率为 ； 乙连胜四场的概率为 ； 丙上场后连胜三场的概率为 1 8 ． 所以需要进行第五场比赛的概率为 11131 161684 ． （3）丙最终获胜，有两种情况： 比赛四场结束且丙最终获胜的概率为 ． 比赛五场结束且丙最终获胜，则从第二场开始的四场比赛按照丙的胜、负、轮空结果有三种情况：胜 胜负胜，胜负空胜，负空胜胜，概率分别为 1 16 ， ， ． 因此丙最终获胜的概率为 1 1 1 1 7 8 16 8 8 16    ． 20．解：（1）由题设得 A（–a，0）， B（a，0）， G（0，1）. 则 ( , 1)A G a ， GB =（a，–1）.由 A G G B =8得a2–1=8，即a=3. 所以E的方程为 2 9 x +y2=1． （2）设C（x1，y1）， D（x2，y2）， P（6，t）. 若t≠0，设直线CD的方程为x=my+n，由题意可知–30．所以f（x）在（–∞，0）单调递减， 在（0，+∞）单调递增． （2） 31( ) 1 2f x x 等价于 321(1)e12 xxaxx  . 设函数 321( ) ( 1)e ( 0)2 xg x x ax x x     ，则 32213()(121)e22 xgxxaxxxax    21 [(23)42]e2 xxxaxa   1 (21)(2)e2 xxxax  . （i）若2a+1≤0，即 1 2a  ，则当x∈（0，2）时， ()gx >0.所以g（x）在（0，2）单调递增，而g（0） =1，故当x∈（0，2）时，g（x）>1，不合题意. （ii）若0<2a+1<2，即 11 22a ，则当x∈(0，2a+1)∪(2，+∞)时，g'(x)<0；当x∈(2a+1，2)时，g'(x)>0. 所以g(x)在(0，2a+1)，(2，+∞)单调递减，在(2a+1，2)单调递增.由于g(0)=1，所以g(x)≤1当且仅当 g(2)=(7−4a)e−2≤1，即a≥ 27e 4  . 所以当 27e1 42a 时，g(x)≤1. （iii）若2a+1≥2，即 1 2a  ，则g(x)≤ 31(1)e2 xxx  . 由于 27 e 10 [ , )42  ，故由（ii）可得 31(1)e2 xxx  ≤1. 故当 时，g(x)≤1. 综上，a的取值范围是 27e[ , )4   . 22．解：（1）当 k=1 时， 1 cos ,: sin, xtC yt    消去参数 t 得 221xy，故曲线 1C 是圆心为坐标原点，半径为 1 的圆． （2）当 k=4 时， 4 1 4 cos ,: sin , xtC yt    消去参数 t 得 的直角坐标方程为 1xy． 2C 的直角坐标方程为 4 16 3 0xy   ． 由 1, 41630 xy xy    解得 1 4 1 4 x y     ． 故 1C 与 2C 的公共点的直角坐标为 11( , )44 ． 23．解：（1）由题设知 13,, 3 1()51,1, 3 3,1. xx fxxx xx       ()y f x 的图像如图所示． （2）函数 的图像向左平移 1 个单位长度后得到函数 (1)yfx的图像． 的图像与 的图像的交点坐标为 711(,) 66 ． 由图像可知当且仅当 7 6x  时， 的图像在 的图像上方， 故不等式 ()(1)fxfx 的解集为 7( , )6  ．