高考中的抽象函数专题练习

高考中的抽象函数专题练习

高考中的抽象函数专题练习 ‎1、下列结论：①函数和是同一函数；②函数的定义域为，则函数的定义域为；③函数的递增区间为；④若函数的最大值为，那么的最小值就是 其中正确的个数为 (         )‎ A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 ‎2.定义在上的函数满足，且当时，，则等于（       ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎3.已知是定义在上的函数，且，，则值为（        ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎4.已知，方程在内有且只有一个根，则在区间内根的个数为（     ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎5.已知函数对任意实数，满足，且.若存在整数，使得 ，则取值的集合为______.‎ ‎6.定义在上的函数满足：，且函数为奇函数，对于下列命题：‎ ‎①函数满足；②函数图象关于点对称；③函数的图象关于直线对称；④函数的最大值为；⑤.‎ 其中正确的序号为_________.‎ ‎7.已知函数定义在上，对于任意的，有，且当时，.‎ 验证函数是否满足这些条件；‎ 若，且，求的值．‎ 若，试解关于的方程．‎ ‎8.已知函数满足：对于任意实数，都有恒成立，且当时，恒成立；‎ 求的值，并例举满足题设条件的一个特殊的具体函数；‎ 判定函数在上的单调性，并加以证明；‎ 若函数(其中)有三个零点，求的取值范围．‎ ‎9.已知函数满足对任意实数都有成立，且当时，，.‎ 求的值；‎ 判断在上的单调性，并证明；‎ 若对于任意给定的正实数，总能找到一个正实数，使得当时，，则称函数在处连续.‎ 试证明：在处连续.‎ ‎10.已知函数满足对一切都有，且，当时有.‎ 求的值；‎ 判断并证明函数在上的单调性；‎ 解不等式：.‎ ‎11.定义在上的函数，，当时，，且对任意实数，有，求证：‎ 证明：是上的增函数；‎ 若，求的取值范围.‎ ‎12.已知函数 对任意实数，都有，且当时，，，求在上的值域.‎ ‎13.已知是定义在上的增函数，且满足 ，  ‎ 求证：  ‎ 求不等式的解集.‎ 答案和解析 ‎ ‎1.答案：A 分析：因为函数的定义域为，的定义域为所以①不成立. 由函数的定义域为，所以所以函数要满足，所以函数的定义域为故②不成立，因为函数的定义域为或所以递增区间为不正确，所以③不成立.因为函数与函数的图像关于轴对称，所以④不正确.故选 ‎2.答案：C 分析：由，得，，又，，，又时，，所以若，，，则在区间上，又，.‎ ‎3.答案：A 分析：∵，，令代入上式得，‎ ‎，令代入上式得，，函数 的周期，，故选.‎ ‎4.答案：C 分析：‎ ‎∴是一个周期为的函数；‎ ‎∴是一个偶函数；∵在内有且只有一个根，‎ 则在内有且只有一个根 又∵周期为，∴在内有且只有一个根 为的一个周期函数，有根；‎ 等价于也只有根；故内根的个数为个 ‎5.答案：‎ 分析：‎ ‎6.答案：①②③⑤‎ 分析：由得，则，所以的周期为，则①对，由为奇函数得的图像关于点对称，则②对，由为奇函数得，令得，又，，则③对，由得，故.‎ ‎7.答案：见解析 分析：由可得，即其定义域为 又 又当时，，∴，∴‎ 故满足这些条件.‎ 令，∴，令，有，‎ ‎∴为奇函数 由条件得，解得.‎ 设，则，‎ 则，‎ ‎∴在上是减函数 ‎∵，∴‎ 原方程即为，‎ ‎∴‎ 又∵，∴   故原方程的解为.‎ ‎8.答案：；函数在R上单调递增；‎ 分析：取代入题设中的‚式得： ‎ 特例： ‎ ‎ (验证)‎ 判定：在上单调递增 证明：任取且，则 ‎ ‎ ‎∵，∴‎ ‎∴，所以函数在上单调递增 由 又由知在上单调递增，‎ 所以 ‎．‎ 构造由 或，∴，于是，题意等价于：‎ 与的图象有三个不同的交点(如上图，不妨设这三个零点)，则  为的两根，即是一元二次方程的两根，∴，‎ ‎∴，(变量归一法)，‎ 由在上单调递减，于是可得：．‎ ‎9.答案：见解析 分析：， ；‎ 设，则 ，.‎ 在上单调递增；‎ 令，得 ，，对任意,‎ ‎，‎ ‎，，        ‎ 又，，   ‎ 要证，对任意，‎ 当时，取，则当即时，由单增可得 即；‎ 当时，必存在使得，取，则当 即时，有，‎ 而，‎ ‎，综上，在处连续.‎ ‎10.答案：；见解析；，或 分析：令，得，，‎ 再令，得，‎ 即，从而. ‎ 任取，‎ ‎.   ‎ ‎∵，，即.‎ 在上是减函数. ‎ 由条件知，，    ‎ 设，则，即，‎ 整理，得，，‎ 而，不等式即为，‎ 又因为在上是减函数，，即，‎ ‎，从而所求不等式的解集为，或.‎ ‎11.答案：见解析 分析：令则∵∴ ‎ 任取，则∴  ∴ ‎ ‎∴在上是增函数 又，在上递增 ‎∴ 由得：‎ ‎12.答案：见解析 分析：设 ，且 ，则 ，由条件当时， ，所以 又 ，所以为增函数.‎ 令，则 又令 得 ，所以.即为奇函数.‎ 所以 所以在上的值域为.‎ ‎13.答案：见解析 分析：由题意得，进一步得到.‎ 不等式化为∵∴‎ ‎∵是上的增函数∴解得