错位相减法间的高考题

错位相减法间的高考题

专项训练:错位相减法 目录 1.(2003北京理16) 2‎ 2.(2005全国卷Ⅰ) 2‎ 4.(2005湖北卷) 2‎ 5.(2006安徽卷) 2‎ 6.(2007山东理17) 2‎ 7.2007全国1文21) 2‎ 8.(2007江西文21) 2‎ 9.(2007福建文21) 2‎ 10.(2007安徽理21) 3‎ 11.(2008全国Ⅰ19) 3‎ 12.(2008陕西20) 3‎ 13.(2009全国卷Ⅰ理) 3‎ 14.(2009山东卷文) 3‎ 15.(2009江西卷文) 3‎ 16.(2010年全国宁夏卷17) 3‎ 17.(2011辽宁理17) 4‎ 18.(2012天津理) 4‎ 19.2012年江西省理 4‎ 20.2012年江西省文 4‎ 21.2012年浙江省文 4‎ 22.(2013山东数学理) 4‎ 23.(2014四川) 4‎ 24.(2014江西理17) 5‎ 25.(2014安徽卷文18) 5‎ 26.(2014全国1文17) 5‎ 27.(2014四川文19) 5‎ 28.(2015山东理18) 5‎ 29.(2015天津理18) 5‎ 30.(2015湖北,理18) 5‎ 31.(2015山东文19) 5‎ 32.(2015天津文18) 6‎ 33.(2015浙江文17) 6‎ 专项训练 错位相减法 答案 7‎ ‎1.(2003北京理16)‎ 已知数列是等差数列且,‎ ‎(1)求数列的通项公式;‎ ‎(2)令 数列的前项和的公式 ‎2.(2005全国卷Ⅰ) ‎ 设正项等比数列的首项,前项和为,且｡‎ ‎(1)求的通项;‎ ‎(2)求的前项和｡‎ ‎4.(2005湖北卷)‎ 设数列的前项和为,为等比数列,且 ‎(1)求数列和的通项公式; ‎ ‎(2)设,求数列的前n项和 ‎5.(2006安徽卷)‎ 在等差数列中,,前项和满足条件, ‎ ‎(1)求数列的通项公式;‎ ‎(2)记,求数列的前项和｡‎ ‎6.(2007山东理17)‎ 设数列满足,.‎ ‎(1)求数列的通项;‎ ‎(2)设,求数列的前项和.‎ ‎7.2007全国1文21)‎ 设是等差数列,是各项都为正数的等比数列,且,,‎ ‎(1)求,的通项公式;‎ ‎(2)求数列的前项和.‎ ‎8.(2007江西文21)‎ 设为等比数列,,.‎ ‎(1)求最小的自然数,使;‎ ‎(2)求和:.‎ ‎9.(2007福建文21)‎ 数列的前项和为,,.‎ ‎(1)求数列的通项;‎ ‎(2)求数列的前项和.‎ ‎10.(2007安徽理21)‎ 某国采用养老储备金制度.公民在就业的一年就交纳养老储备金,数目为,以后每年交纳的数目均比上一年增加,因此,历年所交纳的储务金数目是一个公差为的等差数列,与此同时,国家给予优惠的计息政策,不仅采用固定利率,而且计算复利.这就是说,如果固定年利率为,那么,在年末,一年所交纳的储备金就变为,二年所交纳的储备金就变为,以表示到年末所累计的储备金总额.‎ ‎(1)写出与的递推关系式;‎ ‎(2)求证:,其中是一个等比数列,是一个等差数列.‎ ‎11.(2008全国Ⅰ19)‎ 在数列中,,.‎ ‎(1)设.证明:数列是等差数列;‎ ‎(2)求数列的前项和.‎ ‎12.(2008陕西20)‎ 已知数列的首项,,….‎ ‎(1)证明:数列是等比数列;‎ ‎(2)数列的前项和.‎ ‎13.(2009全国卷Ⅰ理)‎ 在数列中,‎ ‎ (1)设,求数列的通项公式 ‎ (2)求数列的前项和 ‎14.(2009山东卷文)‎ 等比数列{}的前n项和为, 已知对任意的,点,均在函数且均为常数)的图像上. ‎ ‎(1)求r的值; ‎ ‎(2)当时,记,求数列的前项和 ‎15.(2009江西卷文)‎ 数列的通项,其前n项和为. ‎ ‎(1) 求; ‎ ‎(2) 求数列{}的前n项和.‎ ‎16.(2010年全国宁夏卷17)‎ 设数列满足 ‎(1)求数列的通项公式;‎ ‎(2)令,求数列的前项和 ‎17.(2011辽宁理17) ‎ 已知等差数列满足,‎ ‎(1)求数列的通项公式;‎ ‎(2)求数列的前n项和.‎ ‎18.(2012天津理)‎ 已知是等差数列,其前项和为,是等比数列,且=,,.‎ ‎(1)求数列与的通项公式;‎ ‎(2)记,,证明.‎ ‎19.2012年江西省理 已知数列的前项和(其中),且的最大值为｡‎ ‎(1)确定常数,并求;‎ ‎(2)求数列的前项和 ‎20.2012年江西省文 已知数列的前项和(其中,为常数),且 ‎(1)求;‎ ‎(2)求数列的前项和｡‎ ‎21.2012年浙江省文 已知数列的前项和为,且,数列满足,‎ ‎(1)求;‎ ‎(2)求数列的前项和 ‎22.(2013山东数学理)‎ 设等差数列的前n项和为,且,.‎ ‎(1)求数列的通项公式;‎ ‎(2)设数列前n项和为,且 (为常数).令.求数列的前n项和.‎ ‎23.(2014四川)‎ 设等差数列的公差为,点在函数的图象上().‎ ‎(1)若,点在函数的图象上,求数列的前项和;‎ ‎(2)若,函数的图象在点处的切线在轴上的截距为,求数列的前 项和.‎ ‎24.(2014江西理17)‎ 已知首项都是1的两个数列(),满足.‎ ‎(1)令,求数列的通项公式;‎ ‎(2)若,求数列的前n项和 ‎25.(2014安徽卷文18) ‎ 数列满足 （1） 证明:数列是等差数列;‎ （2） 设,求数列的前项和 ‎26.(2014全国1文17)‎ 已知是递增的等差数列,,是方程的根｡‎ ‎(1)求的通项公式;‎ ‎(2)求数列的前项和.‎ ‎27.(2014四川文19)‎ 设等差数列的公差为,点在函数的图象上().‎ ‎(1)证明:数列是等比数列;‎ ‎(2)若,函数的图象在点处的切线在轴上的截距为,求数列的前项和.‎ ‎28.(2015山东理18)‎ 设数列的前n项和为.已知.‎ ‎ (1)求的通项公式;‎ ‎ (2)若数列满足,求的前n项和.‎ ‎29.(2015天津理18)‎ 已知数列满足,且 成等差数列.‎ ‎(1)求的值和的通项公式;‎ ‎(2)设,求数列的前项和.‎ ‎30.(2015湖北,理18)‎ 设等差数列的公差为d,前项和为,等比数列的公比为.已知,,,.‎ ‎(1)求数列,的通项公式;‎ ‎(2)当时,记,求数列的前项和. ‎ ‎31.(2015山东文19)‎ 已知数列是首项为正数的等差数列,数列的前项和为.‎ ‎(1)求数列的通项公式;‎ ‎(2)设,求数列的前项和. ‎ ‎32.(2015天津文18)‎ 已知是各项均为正数的等比数列,是等差数列,且,.‎ ‎(1)求和的通项公式;‎ ‎(2)设,求数列的前n项和.‎ ‎33.(2015浙江文17)‎ 已知数列和满足, .‎ ‎(1)求与;‎ ‎(2)记数列的前n项和为,求.‎ 专项训练 错位相减法 答案 1、 ‎(1),(2)当时,,当时,‎ 2、 解:(1)若公比,则,代入条件,不成立,故,根据等比数列求和公式,易得, 解得,因而 ‎ ‎(2)由(1)得 则数列的前项和 ‎ 前两式相减,得 ‎ ‎4.解:(1):当 故{an}的通项公式为的等差数列.‎ 设{bn}的通项公式为 故 ‎(2)‎ 两式相减得 ‎5.解:(1)设等差数列的公差为,由得:,所以,即,又=,所以｡‎ ‎(2)由,得｡所以,‎ 当时,;‎ 当时,‎ ‎,‎ 即｡‎ ‎ 即 ‎ ‎6.(1)‎ 验证时也满足上式,‎ ‎(2) , ‎ ‎7.解:(1)设的公差为,的公比为,则依意有且 解得,.所以,‎ ‎.‎ ‎(2).‎ ‎8.解:(1)由已知条件得,‎ 因为,所以,使成立的最小自然数.‎ ‎(2)因为,…………①‎ ‎,…………②‎ 得:‎ ‎,所以.‎ ‎9.解:(1),,‎ ‎.又,‎ 数列是首项为,公比为的等比数列,.‎ 当时,,‎ ‎(2),‎ 当时,;‎ 当时,,…………①‎ ‎,………………………②‎ 得:‎ ‎.‎ ‎.‎ 又也满足上式,.‎ ‎10.解:(1)我们有.‎ ‎(2),对反复使用上述关系式,得 ‎ , ①‎ 在①式两端同乘,得 ‎ ②‎ ‎②①,得 ‎ .‎ 即.‎ 如果记,,‎ 则.‎ 其中是以为首项,以为公比的等比数列;是以为首项,为公差的等差数列.‎ ‎11.解:(1),,‎ ‎,则为等差数列,,,.‎ ‎(2)‎ ‎12.(1) , ,‎ ‎ ,又,,‎ ‎ 数列是以为首项,为公比的等比数列.‎ ‎(2)由(1)知,即,.‎ 设…, ①‎ 则…,②‎ 由①②得 ‎ …,‎ ‎.又….‎ 数列的前项和 .‎ ‎13.(1)由已知有 ‎ 利用累差迭加即可求出数列的通项公式: ()‎ ‎(2)由(1)知,‎ ‎=‎ 而,又是一个典型的错位相减法模型,‎ 易得 =‎ ‎14.解:因为对任意的,点,均在函数且均为常数)的图像上.所以得,‎ 当时,, ‎ 当时,,‎ 又因为{}为等比数列, 所以, 公比为, 所以 ‎(2)当b=2时,, ‎ 则 ‎ ‎ 相减,得 ‎ ‎ 所以 ‎15.解: (1) 由于,故 ‎,‎ 故 ()‎ ‎(2) ‎ ‎ ‎ 两式相减得 故 ‎ ‎16.解:(1)由已知,当n≥1时,‎ ‎,‎ 而 所以数列{}的通项公式为｡‎ ‎(2)由知 ‎ ①‎ 从而 ‎ ②‎ ‎①-②得 ‎ ｡‎ 即 ‎ ‎17.解:(1)通项公式为 (2)‎ ‎18.解:(1)设等差数列的公差为,等比数列的公比为,‎ 由=,得｡‎ 由条件,得方程组 ‎,解得 ‎∴‎ ‎(2)证明:由(1)得, ①;‎ ‎∴ ②;‎ 由②-①得,‎ ‎∴‎ ‎19.解:(1);(2)‎ ‎20.解:(1)∵,∴当时,｡‎ 则,,｡∴=2｡‎ ‎∵,即,解得=2｡∴()｡‎ 当=1时,,综上所述｡‎ ‎(2)∵,｡‎ ‎21.解:(1);(2),,n∈N﹡｡‎ ‎22.解:(1)设等差数列的首项为,公差为, 由,得, 解得,,,因此 (2)由意知: 所以时, 故, 所以, 则 两式相减得 整理得,所以以数列数列的前n项和 ‎23.解:(1),可得,所以;‎ ‎(2)切线方程为,令,得,所以,则,用错位相减法得.[来源:学&科&网]‎ ‎24.‎ 所以 考点:等差数列定义,错位相减求和 ‎25.‎ ‎26.‎ 考点:1.一元二次方程的解法;2.等差数列的基本量计算;3.数列的求和 ‎27.‎ ‎28.(答案)(1); (2).‎ 所以 ‎ 当 时,‎ ‎ ‎ 所以 两式相减,得 ‎ ‎ ‎ ‎ 所以 经检验, 时也适合,‎ 综上可得: ‎ ‎(考点定位)1､数列前 项和 与通项 的关系;2､特殊数列的求和问.‎ ‎(名师点睛)本考查了数列的基本概念与运算,意在考查学生的逻辑思维能力与运算求解能力,思维的严密性和运算的准确性,在利用与通项的关系求的过程中,一定要注意 的情况,错位相减不法虽然思路成熟但也对学生的运算能力提出了较高的要求.‎ ‎29.【答案】(1) ; (2) .‎ ‎ (2) 由(1)得,设数列的前项和为,则 ‎,‎ 两式相减得 ‎,‎ 整理得 ‎ 所以数列的前项和为.‎ ‎【考点定位】等差数列定义､等比数列及前项和公式､错位相减法求和.‎ ‎【名师点睛】本题主要考查等差､等比数列定义与性质,求和公式以及错位相减法求和的问题,通过等差数列定义､等比数列性质,分为奇偶数讨论求通项公式,并用错位相减法基本思想求和.是中档题.‎ ‎30.【答案】(Ⅰ)或;(Ⅱ).‎ ‎. ②‎ ‎①-②可得,‎ 故. ‎ ‎【考点定位】等差数列､等比数列通项公式,错位相减法求数列的前项和.‎ ‎【名师点睛】错位相减法适合于一个由等差数列及一个等比数列对应项之积组成的数列.考生在解决这类问题时,都知道利用错位相减法求解,也都能写出此题的解题过程,但由于步骤繁琐､计算量大导致了漏项或添项以及符号出错等.两边乘公比后,对应项的幂指数会发生变化,应将相同幂指数的项对齐,这样有一个式子前面空出一项,另外一个式子后面就会多了一项,两项相减,除第一项和最后一项外,剩下的项是一个等比数列.‎ ‎31.【答案】(1) (2) ‎ ‎【解析】‎ ‎(1)设数列的公差为,‎ 令得,所以.‎ 令得,所以.‎ 解得,所以 ‎(2)由(1)知所以 所以 两式相减,得 所以 ‎【考点定位】1.等差数列的通项公式;2.数列的求和､“错位相减法”.‎ ‎【名师点睛】本题考查了等差数列的通项公式､等比数列的求和､“错位相减法”等,解答本题的关键,首先是注意运用从一般到特殊的处理方法,准确确定等差数列的通项公式;其次就是能对所得数学式子准确地变形,本题易错点在于错位相减后求和时,弄错数列的项数,或忘记从化简到.‎ 本题是一道能力题,属于中等题.在考查等差数列､等比数列等基础知识的同时,考查考生的计算能力.本题是教科书及教辅材料常见题型,能使考生心理更稳定,利于正常发挥.‎ ‎32.【答案】(1),;(2)‎ ‎【解析】‎ ‎(1)列出关于q与d的方程组,通过解方程组求出q,d,即可确定通项;(2)用错位相减法求和.‎ 试题解析:(1)设的公比为q,的公差为d,由题意 ,由已知,有 消去d得 解得 ,所以的通项公式为, 的通项公式为.‎ ‎(2)由(1)有 ,设的前n项和为 ,则 ‎ ‎ 两式相减得 所以 .‎ ‎【考点定位】本题主要考查等差､等比数列的通项公式及错位相减法求和,考查基本运算能力.‎ ‎【名师点睛】近几年高考试题中求数列通项的题目频频出现,尤其对等差､等比数列的通项考查较多,解决此类 问题要重视方程思想的应用.错位相减法求和也是高考考查频率较高的一类方法,从历年考试情况来看,这类问题,运算失误较多,应引起考生重视.‎ ‎33.【答案】(1);(2)‎ ‎【解析】‎ ‎(1)根据数列递推关系式,确定数列的特点,得到数列的通项公式;(2)根据(1)问得到新的数列的通项公式,利用错位相减法进行数列求和.‎ 试题解析:(1)由,得.‎ 当时,,故.‎ 当时,,整理得,‎ 所以.‎ ‎(2)由(1)知,‎ 所以 所以 所以.‎ ‎【考点定位】1.等差等比数列的通项公式;2.数列的递推关系式;3.错位相减法求和.‎ ‎【名师点睛】本题主要考查等差数列､等比数列的通项公式以及数列的求和.根据数列递推关系式推理得到数列的性质和特点,以此得到数列的通项公式,利用错位相减法计算新组合的数列的求和问题.本题属于中等题,主要考查学生基本的运算能力.‎