2020年全国Ⅱ卷高考文数真题试卷（含答案）
2020 年全国Ⅱ卷高考文数真题试卷（含答案）
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的．
1．已知集合A={x||x|<3，x∈Z}，B={x||x|>1，x∈Z}，则A∩B=
A． B．{–3，–2，2，3）
C．{–2，0，2} D．{–2，2}
2．（1–i）4=
A．–4 B．4
C．–4i D．4i
3．如图，将钢琴上的12个键依次记为a1，a2，…，a12.设1≤i
0，b>0)的两条渐近线分别交于 D，E 两点．若△
ODE 的面积为 8，则 C 的焦距的最小值为
A．4 B．8 C．16 D．32
10．设函数 f(x)=x3－ 3
1
x
，则 f(x)
A．是奇函数，且在(0,+∞)单调递增 B．是奇函数，且在(0,+∞)单调递减
C．是偶函数，且在(0,+∞)单调递增 D．是偶函数，且在(0,+∞)单调递减
11．已知△ABC 是面积为 93
4
的等边三角形，且其顶点都在球 O 的球面上．若球 O 的表面积为 16π，则 O
到平面 ABC 的距离为
A． 3 B． 3
2
C．1 D． 3
2
12．若 2x－2y<3−x－3−y，则
A．ln(y-x+1)>0 B．ln(y-x+1)<0 C．ln∣x-y∣>0 D．ln∣x-y∣<0
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
13．若 2sin 3x ，则cos2x __________．
14．记Sn为等差数列{an}的前n项和．若a1=–2，a2+a6=2，则S10=__________．
15．若x，y满足约束条件
1
1
2 1,
xy
xy
xy
，
，则 2z x y 的最大值是__________．
16．设有下列四个命题：
p1：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内．
p2：过空间中任意三点有且仅有一个平面．
p3：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行．
p4：若直线l 平面α，直线m⊥平面α，则m⊥l．
则下述命题中所有真命题的序号是__________．
① 14pp ② 12pp ③ 23pp ④ 34pp
三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17～21 题为必考题，每个试题考
生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共 60 分。
17．（12分）
△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 2 5cos()cos24AA ．
（1）求A；
（2）若 3
3bca ，证明：△ABC是直角三角形．
18． (12 分)
某沙漠地区经过治理，生态系统得到很大改善，野生动物数量有所增加．为调查该地区某种野生动物
的数量，将其分成面积相近的 200 个地块，从这些地块中用简单随机抽样的方法抽取 20 个作为样区，
调查得到样本数据(xi，yi) (i=1，2，…，20)，其中 xi 和 yi 分别表示第 i 个样区的植物覆盖面积(单位：
公顷) 和 这 种 野 生 动 物 的 数 量 ， 并 计 算 得
20
1
60
i
ix
，
20
1
1200
i
iy
，
20
2
1
) 80
i
i xx
（ ，
20
2
1
) 9000
i
iy y
（ ，
20
1
) ) 800i
i
ixyxy
（ （ ．
（1）求该地区这种野生动物数量的估计值(这种野生动物数量的估计值等于样区这种野生动物数量的平
均数乘以地块数)；
（2）求样本(xi，yi) (i=1，2，…，20)的相关系数(精确到 0.01)；
（3）根据现有统计资料，各地块间植物覆盖面积差异很大．为提高样本的代表性以获得该地区这种野
生动物数量更准确的估计，请给出一种你认为更合理的抽样方法，并说明理由．
附：相关系数 r= 1
22
11
))
))
n
i
ii
ii
nn
ii
xy
x
xy
yyx
（ （
（ （
， 2 =1.414．
19．(12 分)
已知椭圆 C1：
22
221xy
ab(a>b>0)的右焦点 F 与抛物线 C2 的焦点重合，C1 的中心与 C2 的顶点重合．过
F 且与 x 轴重直的直线交 C1 于 A，B 两点，交 C2 于 C，D 两点，且|CD|= 4
3 |AB|．
（1）求 C1 的离心率；
（2）若 C1 的四个顶点到 C2 的准线距离之和为 12，求 C1 与 C2 的标准方程．
20．（ 12 分）
如图，已知三棱柱 ABC–A1B1C1 的底面是正三角形，侧面 BB1C1C 是矩形，M，N 分别为 BC，B1C1 的
中点，P 为 AM 上一点．过 B1C1 和 P 的平面交 AB 于 E，交 AC 于 F．
（1）证明：AA1//MN，且平面 A1AMN⊥平面 EB1C1F；
（2）设 O 为△A1B1C1 的中心，若 AO=AB=6，AO//平面 EB1C1F，且∠MPN= π
3
，求四棱锥 B–EB1C1F
的体积．
21．（ 12 分）
已知函数 f（x）=2lnx+1．
（1）若 f（x）≤2x+c，求 c 的取值范围；
（2）设 a>0 时，讨论函数 g（x）= ( ) ( )f x f a
xa
的单调性．
（二）选考题：共 10 分．请考生在第 22、23 题中选定一题作答，并用 2B 铅笔在答题卡上将所选题目对应
的题号方框涂黑．按所涂题号进行评分，不涂、多涂均按所答第一题评分；多答按所答第一题评分．
22．[选修 4—4：坐标系与参数方程]（10 分）
已知曲线 C1，C2 的参数方程分别为
C1：
2
2
4cos
4sin
x
y
，（θ 为参数），C2：
1 ,
1
xt t
ytt
（t 为参数）．
（1）将 C1，C2 的参数方程化为普通方程；
（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．设 C1，C2 的交点为 P，求圆心在极轴上，
且经过极点和 P 的圆的极坐标方程．
23．[选修 4—5：不等式选讲]（10 分）
已知函数 f(x)= |x-a2|+|x-2a+1|．
（1）当 a=2 时，求不等式 f(x)≥4 的解集；
（2）若 f(x)≥4，求 a 的取值范围．
参考答案
1．D 2．A 3．C 4．B 5．D 6．B 7．C 8．B 9．B 10．A 11．C 12．A
13． 1
9 14．25 15．8 16．①③④
17．解：（1）由已知得 2 5sincos 4AA，即 2 1coscos0 4AA ．
所以 21(cos ) 02A ， 1cos 2A ．由于 0 A ，故 3A ．
（2）由正弦定理及已知条件可得 3sinsinsin 3BCA ．
由（1）知 2
3BC ，所以 23sinsin()sin 333BB ．
即 131sincos222 BB， 1s i n ( ) 32B ．
由于0 3B ，故 2B ．从而 ABC△ 是直角三角形．
18．解：（1）由己知得样本平均数
20
1
601
20 i
iyy
，从而该地区这种野生动物数量的估计值为 60×200= 12
000．
（2）样本 ( , )iixy ( 1 ,2 , ,2 0 )i 的相关系数
20
1
2020
22
11
)) 8022 0.943809000))
i
i
i
i
i
i
i
xy
r
x
xy
yxy
（ （
（ （
．
（3）分层抽样：根据植物覆盖面积的大小对地块分层，再对 200 个地块进行分层抽样．
理由如下：由（2）知各样区的这种野生动物数量与植物覆盖面积有很强的正相关．由于各地块间植物
覆盖面积差异很大，从而各地块间这种野生动物数量差异也很大，采用分层抽样的方法较好地保持了
样本结构与总体结构的一致性，提高了样本的代表性，从而可以获得该地区这种野生动物数量更准确
的估计．
19．解：（1）由已知可设 2C 的方程为 2 4ycx ，其中 22cab.
不妨设 ,AC在第一象限，由题设得 ,AB的纵坐标分别为
2b
a
，
2b
a ； ,CD的纵坐标分别为 2c ， 2c ，
故
22||bAB a ， ||4CDc .
由 4|||| 3CDAB 得
284 3
bc a ，即 2322()cc
aa ，解得 2c
a （舍去）， 1
2
c
a .
所以 1C 的离心率为 1
2 .
（2）由（1）知 2ac ， 3bc ，故
22
1 22:143
xyC cc，所以 的四个顶点坐标分别为(2 ,0)c ，(2,0)c ，
(0, 3 )c ， (0, 3 )c ， 的准线为 xc .
由已知得 3 1 2cccc ，即 2c .
所以 1C 的标准方程为
22
116 12
xy， 2C 的标准方程为 2 8yx .
20．解：（1）因为 M，N 分别为 BC，B1C1 的中点，所以 MN∥CC1．又由已知得 AA1∥CC1，故 AA1∥MN．
因为△A1B1C1是正三角形，所以B1C1⊥A1N．又B1C1⊥MN，故B1C1⊥平面A1AMN．
所以平面A1AMN⊥平面EB1C1F．
（2）AO∥平面EB1C1F，AO 平面A1AMN，平面A1AMN 平面EB1C1F = PN，
故AO∥PN，又AP∥ON，故四边形APNO是平行四边形，
所以PN=AO=6，AP = ON= 1
3 AM= 3 ，PM= 2
3 AM=2 ，EF= BC=2．
因为BC∥平面EB1C1F，所以四棱锥B-EB1C1F的顶点B到底面EB1C1F的距离等于点M到底面EB1C1F的距
离．
作MT⊥PN，垂足为T，则由（1）知，MT⊥平面EB1C1F，故MT =PM sin∠MPN=3．
底面EB1C1F的面积为 11
11()(62)624.22B CEFPN
所以四棱锥B-EB1C1F的体积为 1 243243 ．
21．解：设 h(x)=f(x)−2x−c，则 h(x)=2lnx−2x+1−c，
其定义域为(0，+∞)， 2( ) 2hx x
.
（1）当 00；当 x>1 时，h'(x)<0.所以 h(x)在区间(0，1)单调递增，在区间(1，+∞)单调递
减.从而当 x=1 时，h(x)取得最大值，最大值为 h(1)=−1−c.
故当且仅当−1−c≤0，即 c≥−1 时，f(x)≤2x+c.
所以 c 的取值范围为[−1，+∞).
（2） ()()2(lnln)() fxfaxagx xaxa
，x∈(0，a)∪(a，+∞).
22
2(lnln)2(1ln)
() ()()
xaaa axxxxgx xaxa
取 c=−1 得 h(x)=2lnx−2x+2，h(1)=0，则由（1）知，当 x≠1 时，h(x)<0，即
1−x+lnx<0.故当 x∈(0，a)∪(a，+∞)时， 1 l n 0aa
xx ，从而 ( ) 0gx .
所以 ()gx 在区间(0，a)，(a，+∞)单调递减.
22．解：（1） 1C 的普通方程为 4(04)xyx ．
由 2C 的参数方程得 22
2
1 2xt t ， 22
2
1 2yt t ，所以 224xy．
故 的普通方程为 ．
（2）由 22
4,
4
xy
xy
得
5 ,2
3 ,2
x
y
所以 P 的直角坐标为 53( , )22 ．
设所求圆的圆心的直角坐标为 0( ,0 )x ，由题意得 22
00
59()24xx ，
解得 0
17
10x ．
因此，所求圆的极坐标方程为 17 cos5 ．
23．解：（1）当 2a 时，
72,3,
()1,34,
27,4,
xx
fxx
xx
因此，不等式 ()4fx 的解集为 311{|} 22xxx 或 ．
（2）因为 222( ) |||21| |21| (1)f xxaxaaaa ，故当 2(1)4a ，即 |1|2a 时， ．所
以当 a≥3 或 a≤-1 时， ．
所以 a 的取值范围是 (,1][3,) ．