高考数学函数知识点归纳习题

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高考数学函数知识点归纳习题

高中数学函数知识点总结 ‎1. 函数的三要素是什么?如何比较两个函数是否相同?‎ ‎ (定义域、对应法则、值域)‎ 相同函数的判断方法:①表达式相同;②定义域一致 (两点必须同时具备)‎ ‎2. 求函数的定义域有哪些常见类型?‎ ‎ ‎ 函数定义域求法: ‎ l 分式中的分母不为零;‎ l 偶次方根下的数(或式)大于或等于零;‎ l 指数式的底数大于零且不等于一;‎ 对数式的底数大于零且不等于一,真数大于零。‎ l 正切函数 ‎ l 余切函数 ‎ l 反三角函数的定义域 函数y=arcsinx的定义域是 [-1, 1]  ,值域是,函数y=arccosx的定义域是 [-1, 1] ,值域是 [0, π] ,函数y=arctgx的定义域是 R ,值域是.,函数y=arcctgx的定义域是 R ,值域是 (0, π) .‎ 当以上几个方面有两个或两个以上同时出现时,先分别求出满足每一个条件的自变量的范围,再取他们的交集,就得到函数的定义域。‎ ‎3. 如何求复合函数的定义域?‎ ‎ ‎ 义域是_____________。 ‎ 复合函数定义域的求法:已知的定义域为,求的定义域,可由解出x的范围,即为的定义域。‎ 例 若函数的定义域为,则的定义域为 。‎ 分析:由函数的定义域为可知:;所以中有。‎ 解:依题意知: ‎ ‎ 解之,得 ‎ ‎∴ 的定义域为 ‎4、函数值域的求法 ‎1、直接观察法 对于一些比较简单的函数,其值域可通过观察得到。‎ 例 求函数y=的值域 ‎2、配方法 配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。‎ 例、求函数y=-2x+5,x[-1,2]的值域。‎ ‎3、判别式法 对二次函数或者分式函数(分子或分母中有一个是二次)都可通用,但这类题型有时也可以用其他方法进行化简,不必拘泥在判别式上面 下面,我把这一类型的详细写出来,希望大家能够看懂 ‎4、反函数法 直接求函数的值域困难时,可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域。‎ 例 求函数y=值域。‎ ‎5、函数有界性法 直接求函数的值域困难时,可以利用已学过函数的有界性,来确定函数的值域。我们所说的单调性,最常用的就是三角函数的单调性。‎ 例 求函数y=,,的值域。‎ ‎6、函数单调性法 ‎ 通常和导数结合,是最近高考考的较多的一个内容 例求函数y=(2≤x≤10)的值域 ‎7、换元法 通过简单的换元把一个函数变为简单函数,其题型特征是函数解析式含有根式或三角 函数公式模型。换元法是数学方法中几种最主要方法之一,在求函数的值域中同样发 挥作用。‎ 例 求函数y=x+的值域。‎ ‎8 数形结合法 其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义,如两点的距离公式直线斜率等等,这 类题目若运用数形结合法,往往会更加简单,一目了然,赏心悦目。‎ 例:已知点P(x.y)在圆x2+y2=1上,‎ 例求函数y=+的值域。‎ 解:原函数可化简得:y=∣x-2∣+∣x+8∣ ‎ 上式可以看成数轴上点P(x)到定点A(2),B(-8)间的距离之和。‎ 由上图可知:当点P在线段AB上时,‎ y=∣x-2∣+∣x+8∣=∣AB∣=10‎ 当点P在线段AB的延长线或反向延长线上时,‎ y=∣x-2∣+∣x+8∣>∣AB∣=10‎ 故所求函数的值域为:[10,+∞)‎ 例求函数y=+ 的值域 解:原函数可变形为:y=+‎ ‎ ‎ 上式可看成x轴上的点P(x,0)到两定点A(3,2),B(-2,-1)的距离之和,由图可知当点P为线段与x轴的交点时, y=∣AB∣==,‎ 故所求函数的值域为[,+∞)。‎ 注:求两距离之和时,要将函数 ‎ ‎9 、不等式法 利用基本不等式a+b≥2,a+b+c≥3(a,b,c∈),求函数的最值,其题型特征解析式是和式时要求积为定值,解析式是积时要求和为定值,不过有时须要用到拆项、添项和两边平方等技巧。‎ 例:‎ ‎ ‎ ‎10.倒数法 有时,直接看不出函数的值域时,把它倒过来之后,你会发现另一番境况 例 求函数y=的值域 多种方法综合运用 总之,在具体求某个函数的值域时,首先要仔细、认真观察其题型特征,然后再选择恰当的方法,一般优先考虑直接法,函数单调性法和基本不等式法,然后才考虑用其他各种特殊方法。‎ ‎5. 求一个函数的解析式或一个函数的反函数时,注明函数的定义域了吗?‎ ‎ 切记:做题,特别是做大题时, 一定要注意附加条件,如定义域、单位等东西要记得协商,不要犯我当年的错误,与到手的满分失之交臂 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎6. 反函数存在的条件是什么?‎ ‎ (一一对应函数)‎ ‎ 求反函数的步骤掌握了吗?‎ ‎ (①反解x;②互换x、y;③注明定义域)‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 在更多时候,反函数的求法只是在选择题中出现,这就为我们这些喜欢偷懒的人提供了大方便。请看这个例题:‎ ‎(2004.全国理)函数的反函数是( B )‎ ‎ A.y=x2-2x+2(x<1) B.y=x2-2x+2(x≥1)‎ ‎ C.y=x2-2x (x<1) D.y=x2-2x (x≥1)‎ 当然,心情好的同学,可以自己慢慢的计算,我想, 一番心血之后,如果不出现计算问题的话,答案还是可以做出来的。可惜,这个不合我胃口,因为我一向懒散惯了,不习惯计算。下面请看一下我的思路:‎ 原函数定义域为 x〉=1,那反函数值域也为y>=1. 排除选项C,D.现在看值域。原函数至于为y>=1,则反函数定义域为x>=1, 答案为B.‎ 我题目已经做完了, 好像没有动笔(除非你拿来写*书)。思路能不能明白呢?‎ ‎7. 反函数的性质有哪些?‎ ‎ 反函数性质:‎ 1、 反函数的定义域是原函数的值域 (可扩展为反函数中的x对应原函数中的y)‎ 2、 反函数的值域是原函数的定义域(可扩展为反函数中的y对应原函数中的x)‎ 3、 反函数的图像和原函数关于直线=x对称(难怪点(x,y)和点(y,x)关于直线y=x对称 ‎ ①互为反函数的图象关于直线y=x对称;‎ ‎ ②保存了原来函数的单调性、奇函数性;‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 由反函数的性质,可以快速的解出很多比较麻烦的题目,如 ‎(04. 上海春季高考)已知函数,则方程的解__________.‎ ‎8 . 如何用定义证明函数的单调性?‎ ‎ (取值、作差、判正负)‎ 判断函数单调性的方法有三种: (1)定义法:‎ 根据定义,设任意得x1,x2,找出f(x1),f(x2)之间的大小关系 可以变形为求的正负号或者与1的关系 ‎(2)参照图象: ①若函数f(x)的图象关于点(a,b)对称,函数f(x)在关于点(a,0)的对称区间具有相同的单调性; (特例:奇函数) ②若函数f(x)的图象关于直线x=a对称,则函数f(x)在关于点(a,0)的对称区间里具有相反的单调性。(特例:偶函数) (3)利用单调函数的性质: ①函数f(x)与f(x)+c(c是常数)是同向变化的 ②函数f(x)与cf(x)(c是常数),当c>0时,它们是同向变化的;当c<0时,它们是反向变化的。 ③如果函数f1(x),f2(x)同向变化,则函数f1(x)+f2(x)和它们同向变化;(函数相加) ④如果正值函数f1(x),f2(x)同向变化,则函数f1(x)f2(x)和它们同向变化;如果负值函数f1(2)与f2(x)同向变化,则函数f1(x)f2(x)和它们反向变化;(函数相乘) ⑤函数f(x)与在f(x)的同号区间里反向变化。 ⑥若函数u=φ(x),x[α,β]与函数y=F(u),u∈[φ(α),φ(β)]或u∈[φ(β),φ(α)]同向变化,则在[α,β]上复合函数y=F[φ(x)]是递增的;若函数u=φ(x),x[α,β]与函数y=F(u),u∈[φ(α),φ(β)]或u∈[φ(β),φ(α)]反向变化,则在[α,β]上复合函数y=F[φ(x)]是递减的。(同增异减) ⑦若函数y=f(x)是严格单调的,则其反函数x=f-1(y)也是严格单调的,而且,它们的增减性相同。‎ f(g)‎ g(x)‎ f[g(x)]‎ f(x)+g(x)‎ f(x)*g(x) 都是正数 增 增 增 增 增 增 减 减 ‎/‎ ‎/‎ 减 增 减 ‎/‎ ‎/‎ 减 减 增 减 减 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎∴……)‎ ‎9. 如何利用导数判断函数的单调性?‎ ‎ ‎ ‎ 值是( )‎ ‎ A. 0 B. 1 C. 2 D. 3‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ∴a的最大值为3)‎ ‎10. 函数f(x)具有奇偶性的必要(非充分)条件是什么?‎ ‎ (f(x)定义域关于原点对称)‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 注意如下结论:‎ ‎ (1)在公共定义域内:两个奇函数的乘积是偶函数;两个偶函数的乘积是偶函数;一个偶函数与奇函数的乘积是奇函数。‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎11.判断函数奇偶性的方法 一、 定义域法 一个函数是奇(偶)函数,其定义域必关于原点对称,它是函数为奇(偶)函数的必要条件.若函数的定义域不关于原点对称,则函数为非奇非偶函数.‎ 二、 奇偶函数定义法 在给定函数的定义域关于原点对称的前提下,计算,然后根据函数的奇偶性的定义判断其奇偶性.‎ 三、 复合函数奇偶性 f(g)‎ g(x)‎ f[g(x)]‎ f(x)+g(x)‎ f(x)*g(x)‎ 奇 奇 奇 奇 偶 奇 偶 偶 非奇非偶 奇 偶 奇 偶 非奇非偶 奇 偶 偶 偶 偶 偶 ‎12. 你熟悉周期函数的定义吗?‎ ‎ ‎ 函数,T是一个周期。)‎ ‎ ‎ 我们在做题的时候,经常会遇到这样的情况:告诉你f(x)+f(x+t)=0,我们要马上反应过来,这时说这个函数周期2t. 推导:,‎ 同时可能也会遇到这种样子:f(x)=f(2a-x),或者说f(a-x)=f(a+x).其实这都是说同样一个意思:函数f(x)关于直线对称, 对称轴可以由括号内的2个数字相加再除以2得到。比如,f(x)=f(2a-x),或者说f(a-x)=f(a+x)就都表示函数关于直线x=a对称。‎ 如:‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎13. 你掌握常用的图象变换了吗?‎ ‎ 联想点(x,y),(-x,y)‎ ‎ 联想点(x,y),(x,-y)‎ ‎ 联想点(x,y),(-x,-y)‎ ‎ 联想点(x,y),(y,x)‎ ‎ 联想点(x,y),(2a-x,y)‎ ‎ 联想点(x,y),(2a-x,0)‎ ‎ ‎ ‎(这是书上的方法,虽然我从来不用, 但可能大家接触最多,我还是写出来吧。对于这种题目,其实根本不用这么麻烦。你要判断函数y-b=f(x+a)怎么由y=f(x)得到,可以直接令y-b=0,x+a=0,画出点的坐标。 看点和原点的关系,就可以很直观的看出函数平移的轨迹了。)‎ ‎ 注意如下“翻折”变换:‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎14. 你熟练掌握常用函数的图象和性质了吗?‎ ‎ (k为斜率,b为直线与y轴的交点)‎ ‎ ‎ 的双曲线。‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 应用:①“三个二次”(二次函数、二次方程、二次不等式)的关系——二次方程 ‎②求闭区间[m,n]上的最值。‎ ‎ ‎ ‎ ③求区间定(动),对称轴动(定)的最值问题。‎ ‎ ④一元二次方程根的分布问题。‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 由图象记性质! (注意底数的限定!)‎ ‎ ‎ ‎ 利用它的单调性求最值与利用均值不等式求最值的区别是什么?(均值不等式一定要注意等号成立的条件)‎ ‎15. 你在基本运算上常出现错误吗?‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎16. 如何解抽象函数问题?‎ ‎ (赋值法、结构变换法)‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎(对于这种抽象函数的题目,其实简单得都可以直接用死记了 1、 代y=x,‎ 2、 令x=0或1来求出f(0)或f(1)‎ 3、 求奇偶性,令y=—x;求单调性:令x+y=x1 ‎ 几类常见的抽象函数 ‎ 1. 正比例函数型的抽象函数 ‎ f(x)=kx(k≠0)---------------f(x±y)=f(x)±f(y)‎ 2. 幂函数型的抽象函数 ‎ f(x)=xa----------------f(xy)= f(x)f(y);f()=‎ 3. 指数函数型的抽象函数 ‎ f(x)=ax------------------- f(x+y)=f(x)f(y);f(x-y)=‎ 4. 对数函数型的抽象函数 f(x)=logax(a>0且a≠1)-----f(x·y)=f(x)+f(y);f()= f(x)-f(y)‎ 5. 三角函数型的抽象函数 f(x)=tgx-------------------------- f(x+y)=‎ f(x)=cotx------------------------ f(x+y)=‎ 例1已知函数f(x)对任意实数x、y均有f(x+y)=f(x)+f(y),且当x>0时,f(x)>0,f(-1)= -2求f(x)在区间[-2,1]上的值域.‎ 分析:先证明函数f(x)在R上是增函数(注意到f(x2)=f[(x2-x1)+x1]=f(x2-x1)+f(x1));再根据区间求其值域.‎ 例2已知函数f(x)对任意实数x、y均有f(x+y)+2=f(x)+f(y),且当x>0时,f(x)>2,f(3)= 5,求不等式 f(a2-2a-2)<3的解.‎ 分析:先证明函数f(x)在R上是增函数(仿例1);再求出f(1)=3;最后脱去函数符号.‎ 例3已知函数f(x)对任意实数x、y都有f(xy)=f(x)f(y),且f(-1)=1,f(27)=9,当0≤x<1时,f(x)∈[0,1].‎ ‎(1)判断f(x)的奇偶性;‎ ‎(2)判断f(x)在[0,+∞]上的单调性,并给出证明;‎ ‎(3)若a≥0且f(a+1)≤,求a的取值范围.‎ 分析:(1)令y=-1;‎ ‎ (2)利用f(x1)=f(·x2)=f()f(x2);‎ ‎ (3)0≤a≤2.‎ 例4设函数f(x)的定义域是(-∞,+∞),满足条件:存在x1≠x2,使得f(x1)≠f(x2);对任何x和y,f(x+y)=f(x)f(y)成立.求:‎ ‎(1)f(0);‎ ‎(2)对任意值x,判断f(x)值的符号.‎ 分析:(1)令x= y=0;(2)令y=x≠0.‎ 例5是否存在函数f(x),使下列三个条件:①f(x)>0,x∈N;②f(a+b)= f(a)f(b),a、b∈N;③f(2)=4.同时成立?若存在,求出f(x)的解析式,若不存在,说明理由.‎ 分析:先猜出f(x)=2x;再用数学归纳法证明.‎ 例6设f(x)是定义在(0,+∞)上的单调增函数,满足f(x·y)=f(x)+f(y),f(3)=1,求:‎ (1) f(1);‎ (2) 若f(x)+f(x-8)≤2,求x的取值范围.‎ 分析:(1)利用3=1×3;‎ ‎(2)利用函数的单调性和已知关系式.‎ 例7设函数y= f(x)的反函数是y=g(x).如果f(ab)=f(a)+f(b),那么g(a+b)=g(a)·g(b)是否正确,试说明理由.‎ 分析:设f(a)=m,f(b)=n,则g(m)=a,g(n)=b,‎ 进而m+n=f(a)+f(b)= f(ab)=f [g(m)g(n)]….‎ ‎ 例8已知函数f(x)的定义域关于原点对称,且满足以下三个条件:‎ ① x1、x2是定义域中的数时,有f(x1-x2)=;‎ ② f(a)= -1(a>0,a是定义域中的一个数);‎ ③ 当0<x<2a时,f(x)<0.‎ ‎ 试问:‎ (1) f(x)的奇偶性如何?说明理由;‎ (2) 在(0,4a)上,f(x)的单调性如何?说明理由.‎ ‎ 分析:(1)利用f [-(x1-x2)]= -f [(x1-x2)],判定f(x)是奇函数;‎ (3) 先证明f(x)在(0,2a)上是增函数,再证明其在(2a,4a)上也是增函数.‎ ‎ 对于抽象函数的解答题,虽然不可用特殊模型代替求解,但可用特殊模型理解题意.有些抽象函数问题,对应的特殊模型不是我们熟悉的基本初等函数.因此,针对不同的函数要进行适当变通,去寻求特殊模型,从而更好地解决抽象函数问题.‎ ‎ 例9已知函数f(x)(x≠0)满足f(xy)=f(x)+f(y),‎ (1) 求证:f(1)=f(-1)=0;‎ (2) 求证:f(x)为偶函数;‎ (3) 若f(x)在(0,+∞)上是增函数,解不等式f(x)+f(x-)≤0.‎ 分析:函数模型为:f(x)=loga|x|(a>0)‎ (1) 先令x=y=1,再令x=y= -1;‎ (2) 令y= -1;‎ (3) 由f(x)为偶函数,则f(x)=f(|x|).‎ 例10已知函数f(x)对一切实数x、y满足f(0)≠0,f(x+y)=f(x)·f(y),且当x<0时,f(x)>1,求证:‎ (1) 当x>0时,0<f(x)<1;‎ (2) f(x)在x∈R上是减函数.‎ 分析:(1)先令x=y=0得f(0)=1,再令y=-x;‎ (3) 受指数函数单调性的启发:‎ 由f(x+y)=f(x)f(y)可得f(x-y)=,‎ 进而由x1<x2,有=f(x1-x2)>1.‎ 练习题:‎ ‎1.已知:f(x+y)=f(x)+f(y)对任意实数x、y都成立,则( )‎ ‎(A)f(0)=0 (B)f(0)=1 ‎ ‎(C)f(0)=0或1 (D)以上都不对 ‎2. 若对任意实数x、y总有f(xy)=f(x)+f(y),则下列各式中错误的是( )‎ ‎(A)f(1)=0 (B)f()= f(x) ‎ ‎(C)f()= f(x)-f(y) (D)f(xn)=nf(x)(n∈N)‎ ‎3.已知函数f(x)对一切实数x、y满足:f(0)≠0,f(x+y)=f(x)f(y),且当x<0时,f(x)>1,则当x>0时,f(x)的取值范围是( )‎ ‎(A)(1,+∞) (B)(-∞,1)‎ ‎(C)(0,1) (D)(-1,+∞)‎ ‎4.函数f(x)定义域关于原点对称,且对定义域内不同的x1、x2都有 f(x1-x2)=,则f(x)为( )‎ ‎(A)奇函数非偶函数 (B)偶函数非奇函数 ‎(C)既是奇函数又是偶函数 (D)非奇非偶函数 ‎5.已知不恒为零的函数f(x)对任意实数x、y满足f(x+y)+f(x-y)=2[f(x)+f(y)],则函数f(x)是( )‎ ‎(A)奇函数非偶函数 (B)偶函数非奇函数 ‎(C)既是奇函数又是偶函数 (D)非奇非偶函数 参考答案:‎ ‎1.A 2.B 3 .C 4.A 5.B 函数典型考题 ‎1.若函数为偶函数,则的值是 (B )‎ A. B. C. D. ‎ ‎2.已知函数是定义域在上的偶函数,且在区间上单调递减,求满足 的的集合.‎ ‎.解: 在上为偶函数,在上单调递减 在上为增函数 又 ‎ ‎, ‎ 由得 ‎ ‎ 解集为.‎ ‎3.若f(x)是偶函数,它在上是减函数,且f(lgx)>f(1),则x的取值范围是( C )‎ A. (,1) B. (0,)(1,) C. (,10) D. (0,1)(10,)‎ ‎4.若a、b是任意实数,且a>b,则 ( D )‎ A. a2>b2 B. <1 C. >0 D.< ‎ ‎5.设a,b,c都是正数,且,则下列正确的是  (B  )‎ ‎(A) (B) (C) (D) ‎ ‎6.对于函数().‎ ‎(Ⅰ)当时,求函数的零点;‎ ‎(Ⅱ)若对任意实数,函数恒有两个相异的零点,求实数的取值范围.‎ ‎7. 二次函数中,,则函数的零点个数是( C )‎ A 0个 B 1个 C 2个 D 无法确定 ‎8.若函数的两个零点是2和3,则函数的零点是(D)‎ A. 和 B. 和 C.和 D.和 ‎ ‎9.下面四个结论:①偶函数的图象一定与y轴相交;②奇函数的图象一定通过原点;③偶函数的图象关于y轴对称;④既是奇函数又是偶函数的函数一定是=0(x∈R),其中正确命题的个数是( D )‎ A 4     B 3 C 2 D 1‎ ‎10.已知函数f(x2-3)=lg,‎ ‎(1)f(x)的定义域; (2)判断f(x)的奇偶性;‎ ‎(3)求f(x)的反函数; (4)若f[]=lgx,求的值。‎ 解:(1)∵f(x2-3)=lg,∴f(x)=lg,又由得x2-3>3,∴ f(x)的定义域为(3,+)。‎ ‎(2)∵f(x)的定义域不关于原点对称,∴ f(x)为非奇非偶函数。‎ ‎(3)由y=lg得x=,x>3,解得y>0, ∴f-1(x)=‎ ‎(4) ∵f[]=lg,∴,解得(3)=6。‎ ‎11.下列函数中,同时满足:有反函数,是奇函数,定义域和值域相同的函数是( C )‎ ‎(A)y=(B)y=lg(C)y=-x3 (D)y=‎ 零点问题
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