历届数学高考试题精选——导数及其应用
历届高考中的“导数”试题精选(文科自我测试)
一、选择题：（每小题5分，计50分）
1.(2005全国卷Ⅰ文)函数,已知在时取得极值,则=( )
（A）2 （B）3 （C）4 （D）5
2．(2008海南、宁夏文)设，若，则（ ）
A. B. C. D.
3．（2005广东）函数是减函数的区间为（ ）
A． B． C． D．（0，2）
4.（2008安徽文）设函数 则（ ）
A．有最大值 B．有最小值 C．是增函数 D．是减函数
5．（2007福建文、理)已知对任意实数x有f(－x)=－f(x)，g(-x)=g(x)，且x>0时，f’(x)>0，g’(x)>0，
则x<0时（ ）
A f’(x)>0，g’(x)>0 B f’(x)>0，g’(x)<0
C f’(x)<0，g’(x)>0 D f’(x)<0，g’(x)<0
6.(2008全国Ⅱ卷文)设曲线在点（1,）处的切线与直线平行,则( )
A．1 B． C． D．
7．（2006浙江文）在区间上的最大值是（ ）
(A)-2 (B)0 (C)2 (D)4
x
y
o
A
x
y
o
D
x
y
o
C
x
y
o
B
8．（2004湖南文科）若函数f(x)=x2+bx+c的图象的顶点在第四象限，则函数f /(x)的图象是（ ）
9．（2004全国卷Ⅱ理科）函数y＝xcosx－sinx在下面哪个区间内是增函数（ ）
（A）(，) （B）(，2) （C）(，) （D）(2，3)
10.（2004浙江理科）设是函数f(x)的导函数，y=的图象如图所示，则y= f(x)的
图象最有可能的是（ ）
二、填空题：(每小题5分,计20分)
11.（2007浙江文）曲线在点(1，一3)处的切线方程是________________.
12.(2005重庆文科)曲线在点（1，1）处的切线与x轴、直线所围成的三角形的
面积为 .
13．（2007江苏）已知函数在区间上的最大值与最小值分别为，
则_____________;
14.（2008北京文）如图，函数f(x)的图象是折线段ABC,其中A,B,C
的坐标分别为（0，4），（2，0），（6，4），则f(f(0))= ____ ;
函数f(x)在x=1处的导数f′（1）= ______
三、解答题：(15,16小题各12分,其余各小题各14分)
15.（2005北京理科、文科） 已知函数f(x)= －x3＋3x2＋9x＋a.
（I）求f(x)的单调递减区间；
（II）若f(x)在区间[－2，2]上的最大值为20，求它在该区间上的最小值．
16.（2006安徽文）设函数，已知是奇函数。
（Ⅰ）求、的值。 （Ⅱ）求的单调区间与极值。
.（2005福建文科）已知函数的图象过点P（0，2），且
在点M（－1，f（－1））处的切线方程为.
（Ⅰ）求函数的解析式； （Ⅱ）求函数的单调区间.
（2007重庆文）用长为18 m的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽
之比为2：1，问该长方体的长、宽、高各为多少时，其体积最大？最大体积是多少？
19．(2008全国Ⅱ卷文) 设，函数．
（Ⅰ）若是函数的极值点，求的值；
（Ⅱ）若函数，在处取得最大值，求的取值范围．
20. (2008湖北文) 已知函数（m为常数，且m>0）有极大值9.
（Ⅰ）求m的值； （Ⅱ）若斜率为-5的直线是曲线的切线，求此直线方程.
历届高考中的“导数”试题精选(文科自我测试)
参考答案
一. 选择题：（每小题5分，计50分）
二、填空题：(每小题5分,计20分)
11. ; 12. ；13. 32 ；14. 2 , -2 .
三、解答题：(15,16小题各12分,其余各小题各14分)
15. 解：（I） f ’(x)＝－3x2＋6x＋9．令f ‘(x)<0，解得x<－1或x>3，
所以函数f(x)的单调递减区间为（－∞，－1），（3，＋∞）．
（II）因为f(－2)＝8＋12－18＋a=2＋a，f(2)＝－8＋12＋18＋a＝22＋a，
所以f(2)>f(－2)．因为在（－1，3）上f ‘(x)>0，所以f(x)在[－1, 2]上单调递增，
又由于f(x)在[－2，－1]上单调递减，
因此f(2)和f(－1)分别是f(x)在区间[－2，2]上的最大值和最小值，
于是有 22＋a＝20，解得 a＝－2．
故f(x)=－x3＋3x2＋9x－2，因此f(－1)＝1＋3－9－2＝－7，
即函数f(x)在区间[－2，2]上的最小值为－7．
16.解（Ⅰ）∵，∴。从而＝是一个奇函数，所以得，由奇函数定义得；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，从而，由此可知，
和是函数是单调递增区间；是函数是单调递减区间；
在时，取得极大值，极大值为，在时，取得极小值，极小值为。
17.解：(Ⅰ)由的图象过点P（0，2）,d=2知,所以 ,(x)=3x2+2bx+c,由在(-1,(-1))处的切线方程是6x-y+7=0,知
-6-f(-1)+7=0,即f(-1)=1, (-1)=6,∴即解得b=c=-3.
故所求的解析式为f(x)=x3-3x2-3x+2,
(Ⅱ) (x)=3x2-6x-3,令3x2-6x-3=0即x2-2x-1=0,解得x1=1-,x2=1+,
当x<1-或x>1+时, (x)>0;当1-
0时,因为h(0)= -6<0,,所以要使h(x)≤0在上恒成立,只需h(2) ≤0成立即可,解得a≤;
综上，的取值范围为．
20.解：(Ⅰ) f’(x)＝3x2+2mx－m2=(x+m)(3x－m)=0,则x=－m或x=m,
当x变化时，f’(x)与f(x)的变化情况如下表：
x
(－∞,－m)
－m
(－m,)
(,+∞)
f’(x)
+
0
－
0
+
f (x)
极大值
极小值
从而可知，当x=－m时，函数f(x)取得极大值9，即f(－m)＝－m3+m3+m3+1=9,∴m＝2.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知，f(x)=x3+2x2－4x+1,
依题意知f’(x)＝3x2＋4x－4＝－5，∴x＝－1或x＝－. 又f(－1)＝6，f(－)＝，
所以切线方程为y－6＝－5(x＋1),或y－＝－5(x＋)，
即5x＋y－1＝0，或135x＋27y－23＝0.
历届高考中的“导数”试题精选(理科自我测试)
一、选择题：（每小题5分，计50分）
1．（2004湖北理科）函数有极值的充要条件是（ ）
（A） （B） （C） （D）
2.（2007全国Ⅱ理）已知曲线的一条切线的斜率为,则切点的横坐标为（ ）
(A)3 (B) 2 (C) 1 (D)
3.(2005湖南理)设f0(x)＝sinx，f1(x)＝f0′(x)，f2(x)＝f1′(x)，…，fn＋1(x)＝fn′(x)，n∈N，
则f2005(x)＝（ ）
A、sinx B、－sinx C、cosx D、－cosx
4.(2008广东理)设，若函数，有大于零的极值点，则（ ）
A． B. C. D.
5．(2001江西、山西、天津理科)函数有（ ）
（A）极小值－1，极大值1 （B）极小值－2，极大值3
（C）极小值－2，极大值2 （D）极小值－1，极大值3
6．（2004湖南理科）设f(x)、g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数,当x＜0时,
＞0.且，.则不等式f(x)g(x)＜0的解集是（ ）
(A) （B）
（C） （D）
7.(2007海南、宁夏理)曲线在点处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（ ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
8. (2008湖北理)若f(x)=上是减函数，则b的取值范围是（ ）
A.[-1，+∞] B.（-1，+∞） C. D.（-∞，-1）
9．（2005江西理科）已知函数的图像如右图所示（其中是函数，下面四个图象中的图象大致是 （ ）
A B C D
10.（2000江西、天津理科）右图中阴影部分的面积是（ ）
（A） （B） （C） （D）
二、填空题：(每小题5分,计20分)
11.（2007湖北文）已知函数的图象在M（1，f（1））处的切线方程是+2，
f(1)—f’(1)=______________.
12．（2007湖南理）函数在区间上的最小值是 ．
13.(2008全国Ⅱ卷理)设曲线在点处的切线与直线垂直，则 _____ ．
14．（2006湖北文）半径为r的圆的面积S(r)＝r2,周长C(r)=2r，若将r看作(0，＋
∞)上的变量，则＝2r ， 式可以用语言叙述为：圆的面积函数的导数等于圆的周长函数。
对于半径为R的球，若将R看作(0，＋∞)上的变量，请你写出类似于的式子：
式可以用语言叙述为： 。
三、解答题：(15,16小题各12分,其余各小题各14分)
15.(2004重庆文)某工厂生产某种产品，已知该产品的月生产量(吨)与每吨产品的价格(元/吨)之间的关系式为：,且生产x吨的成本为（元）。问该产每月生产多少吨产品才能使利润达到最大？最大利润是多少？（利润=收入─成本）
16.(2008重庆文) 设函数若曲线y=f(x)的斜率最小的切线与
直线12x+y=6平行，求： （Ⅰ）a的值; （Ⅱ）函数f(x)的单调区间.
17．(2008全国Ⅰ卷文、理)已知函数，．
（Ⅰ）讨论函数的单调区间；
（Ⅱ）设函数在区间内是减函数，求的取值范围．
18．（2004浙江理）设曲线≥0）在点M（t, ）处的切线与x轴y轴所围成的三角形面积为S（t）。 （Ⅰ）求切线的方程； （Ⅱ）求S（t）的最大值。
19．(2007海南、宁夏文)设函数
（Ⅰ）讨论的单调性； （Ⅱ）求在区间的最大值和最小值．
20..(2007安徽理)设a≥0，f (x)=x－1－ln2 x＋2a ln x（x>0）.
（Ⅰ）令F（x）＝xf＇（x），讨论F（x）在（0.＋∞）内的单调性并求极值；
（Ⅱ）求证：当x>1时，恒有x>ln2x－2a ln x＋1.
.
历届高考中的“导数”试题精选(理科自我测试)
参考答案
一、选择题：（每小题5分，计50分）
二、填空题：(每小题5分,计20分)
11. 3 ； 12．； 13. 2 ； 14. ,球的体积函数的导数等于球的表面积函数
三、解答题：(15,16小题各12分,其余各小题各14分)
15. 解：每月生产x吨时的利润为
，故它就是最大值点，且最大值为：
答：每月生产200吨产品时利润达到最大，最大利润为315万元.
16. 解：(Ⅰ)因为, 所以
即当
因斜率最小的切线与平行，即该切线的斜率为-12，
所以 解得
(Ⅱ)由(Ⅰ)知
17．解：（1） 求导：
当时，，, 在上递增
当，求得两根为
即在递增, 递减, 递增
（2）要使f(x)在在区间内是减函数，当且仅当，在恒成立，
由的图像可知，只需，即, 解得。a≥2。
所以，的取值范围。
18.解：（Ⅰ）因为 所以切线的斜率为
故切线的方程为即。
（Ⅱ）令y= 0得x=t+1, x=0得
所以S（t）==
从而
∵当（0，1）时，>0, 当（1,+∞）时,<0,
所以S(t)的最大值为S(1)=。
19．解：的定义域为．
（Ⅰ）．
当时，；当时，；当时，．
从而，分别在区间，单调增加，在区间单调减少．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知在区间的最小值为．
又．
所以在区间的最大值为．
20.（Ⅰ）解：根据求导法则得
故 于是
列表如下：
x
(0,2)
2
(2,+∞)
F′（x）
-
0
+
F(x)
↓
极小值F（2）
↑
故知F（x）在（0，2）内是减函数，在（2，+∞）内是增函数，所以，在x＝2处取得极小值F（2）＝2-2In2+2a.
（Ⅱ）证明：由
于是由上表知，对一切
从而当
所以当
故当
1.（2010 ·海南高考·理科T3）曲线在点处的切线方程为（ ）
（A） （B） （C） （D）
【命题立意】本题主要考查导数的几何意义，以及熟练运用导数的运算法则进行求解.
【思路点拨】先求出导函数，解出斜率，然后根据点斜式求出切线方程.
【规范解答】选A.因为 ，所以，在点处的切线斜率，所以，切线方程为，即，故选A.
2.（2010·山东高考文科·Ｔ8）已知某生产厂家的年利润（单位：万元）与年产量（单位：万件）的函数关系式为，则使该生产厂家获得最大年利润的年产量为（ ）
(A) 13万件 (B) 11万件
(C) 9万件 (D) 7万件
【命题立意】本题考查利用导数解决生活中的优化问题，考查了考生的分析问题解决问题能力和运算求解能力.
【思路点拨】利用导数求函数的最值.
【规范解答】选C，,令得或（舍去），当时；当时，故当时函数有极大值，也是最大值，故选C.
3.（2010·山东高考理科·Ｔ7）由曲线y=,y=围成的封闭图形面积为（ ）
（A） (B) (C) (D)
【命题立意】本题考查定积分的基础知识，由定积分求曲线围成封闭图形的面积,考查了考生的想象能力、推理论证能力和运算求解能力.
【思路点拨】先求出曲线y=,y=的交点坐标，再利用定积分求面积.
【规范解答】选A,由题意得: 曲线y=,y=的交点坐标为(0,0)，(1,1)，故所求封闭图形的面积为,故选A.
4.（2010·辽宁高考理科·Ｔ10）已知点P在曲线y=上，为曲线在点P处的切线的倾斜角，则的取值范围是（ ）
(A)[0,) (B) (D)
【命题立意】本题考查了导数的几何意义，考查了基本等式，函数的值域，直线的倾斜角与斜率。
【思路点拨】先求导数的值域，即tan的范围，再根据正切函数的性质求的范围。
【规范解答】选D.
5.（2010·湖南高考理科·Ｔ4）等于（ ）
A、 B、 C、 D、
【命题立意】考查积分的概念和基本运算.
【思路点拨】记住的原函数.
【规范解答】选D .=(lnx+c)|42=(ln4+c)-(ln2+c)=ln2.
【方法技巧】关键是记住被积函数的原函数.
6.（2010·江苏高考·Ｔ8）函数y=x2(x>0)的图像在点(ak,ak2)处的切线与x轴的交点的横坐标为ak+1,，若a1=16，则a1+a3+a5的值是________
【命题立意】本题考查导数的几何意义、函数的切线方程以及数列的通项等内容。
【思路点拨】先由导数的几何意义求得函数y=x2(x>0)的图像在点(ak,ak2)处的切线的斜率，然后求得切线方程，再由，即可求得切线与x轴交点的横坐标。
【规范解答】由y=x2(x>0)得，，
所以函数y=x2(x>0)在点(ak,ak2)处的切线方程为：
当时，解得，
所以.
【答案】21
7.（2010·江苏高考·Ｔ１4）将边长为1m正三角形薄片沿一条平行于某边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记,则S的最小值是____ ____。
【命题立意】 本题考查函数中的建模在实际问题中的应用，以及等价转化思想。
【思路点拨】可设剪成的小正三角形的边长为，然后用分别表示梯形的周长和面积，从而将S用x表示，利用函数的观点解决.
【规范解答】设剪成的小正三角形的边长为，
则：
方法一：利用导数的方法求最小值。
，
，
当时，递减；当时，递增；
故当时，S的最小值是。
方法二：利用函数的方法求最小值
令，则：
故当时，S的最小值是。
【答案】
【方法技巧】函数的最值是函数最重要的性质之一，高考不但在填空题中考查，还会在应用题、函数导数的的综合解答题中考察。高中阶段，常见的求函数的最值的常用方法有：换元法、有界性法、数形结合法、导数法和基本不等式法。
8.（2010·陕西高考理科·Ｔ１3）从如图所示的长方形区域内任取一个点M（x,y）,则点M取自阴影部分的概率为 ；
【命题立意】本题考查积分、几何概率的简单运算，属送分题。
【思路点拨】由积分求出阴影部分的面积即可
【规范解答】阴影部分的面积为所以点M取自阴影部分的概率为
答案：
9．（2010 ·海南高考·理科T13）设y=f(x)为区间[0,1]上的连续函数，且恒有0≤f(x) ≤1,可以用随机模拟方法近似计算积分,先产生两组（每组N个）区间[0,1]上的均匀随机数,…,和,…,,由此得到N个点（i=1,2,…,N）,在数出其中满足≤（（i=1,2,…,N））的点数，那么由随机模拟方法可得积分的近似值为 .
【命题立意】本题主要考查了定积分的几何意义以及几何概型的计算公式.
【思路点拨】由随机模拟想到几何概型，然后结合定积分的几何意义进行求解.
【规范解答】由题意可知，所有取值构成的区域是一个边长为1的正方形，而满足≤的点落在y=f(x)、以及、围成的区域内，由几何概型的计算公式可知的近似值为.
答案：
10.（2010·北京高考理科·Ｔ１8）已知函数()=In(1+)-+， (≥0)。
(Ⅰ)当=2时，求曲线=()在点(1，(1))处的切线方程；
(Ⅱ)求()的单调区间。
【命题立意】本题考查了导数的应用，考查利用导数求切线方程及单调区间。解决本题时一个易错点是忽视定义域。
【思路点拨】（1）求出，再代入点斜式方程即可得到切线方程；（2）由讨论的正负，从而确定单调区间。
【规范解答】（I）当时，，
由于，，
所以曲线在点处的切线方程为
即
（II），.
当时，.
所以，在区间上，；在区间上，.
故的单调递增区间是，单调递减区间是.
当时，由，得，
所以，在区间和上，；在区间上，
故的单调递增区间是和，单调递减区间是.
当时，
故的单调递增区间是.
当时，，得，.
所以在区间和上，；在区间上，
故得单调递增区间是和，单调递减区间是
【方法技巧】
（1）过的切线方程为。
（2）求单调区间时要在定义域内讨论内的正负。
11.（2010·安徽高考文科·Ｔ20）设函数，，求函数
的单调区间与极值。
【命题立意】
本题主要考查导数的运算，利用导数研究函数的单调性与极值的方法，考查考生运算能
力、综合分析问题能力和问题的化归转化能力。
【思路点拨】
对函数求导，分析导数的符号情况，从而确定的单调区间和极值。
【规范解答】
+
-
0
+
极大值
极小值
【方法技巧】利用导数研究函数的单调性和极值是解决函数单调性、极值问题的常用方法，
简单易行，具体操作流程如下：
（1）求导数；
（2）求方程的全部实根；
（3）列表，检查在方程的根左、右的值的符号；
（4）判断单调区间和极值。
12.（2010·北京高考文科·Ｔ１8） 设定函数，，且方程的两个根分别为1，4。
（Ⅰ）当a=3且曲线过原点时，求的解析式；
（Ⅱ）若在无极值点，求a的取值范围。
【命题立意】本题考查了导数的求法，函数的极值，二次函数等知识。
【思路点拨】(1)由的两个根及过原点，列出三个方程可解出；（2）是开口向上的二次函数，无极值点，则恒成立。
【规范解答】由 得
因为的两个根分别为1,4，所以 （*）
（Ⅰ）当时，（*）式为
解得
又因为曲线过原点，所以
故
（Ⅱ）由于a>0,所以“在（-∞，+∞）内无极值点”等价于“在（-∞，+∞）内恒成立”。
由（*）式得。
又
解 得
即的取值范围
【方法技巧】（1）当在的左侧为正，右侧为负时，为极大值点；当在的左侧为负，右侧为正时，为极小值点
（2）二次函数恒成立问题可利用开口方向与判别式来解决。恒大于0，则；恒小于0，则；
13.（2010·安徽高考理科·Ｔ17）设为实数，函数。
(1)求的单调区间与极值；
(2)求证：当且时，。
【命题立意】本题主要考查导数的运算，利用导数研究函数的单调区间、求函数的极值、证明函数不等式，考查考生运算能力、综合分析问题能力和问题的化归转化能力。
【思路点拨】
(1)先分析的导数的符号情况，从而确定的单调区间和极值；
(2) 设，把问题转化为：求证：当且时，。
【规范解答】（1），
令，得，
极小值
在上单调递减，在上单调递增；
当时，取得极小值为
（2）设，
由（1）问可知，恒成立，
当时，则0恒成立，所以在上单调递增，
所以当时，，
即当且时，。
【方法技巧】
1、利用导数研究函数的单调性是解决函数单调性问题的常用方法，简单易行；
2、证明函数不等式问题，如证，通常令，转化为证明：。
14.（2010·天津高考文科·Ｔ20）已知函数f（x）=，其中a>0.
（Ⅰ）若a=1，求曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；
（Ⅱ）若在区间上，f（x）>0恒成立，求a的取值范围.
【命题立意】本小题主要考查曲线的切线方程、利用导数研究函数的单调性与极值、解不等式等基础知识，考查运算能力及分类讨论的思想方法。
【思路点拨】应用导数知识求解曲线的切线方程及函数最值。
【规范解答】
（Ⅰ）当a=1时，f（x）=，f（2）=3；f’(x)=, f’(2)=6.所以曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为y-3=6（x-2），即y=6x-9.
（Ⅱ）f’(x)=.令f’(x)=0，解得x=0或x=.
以下分两种情况讨论：
若，当x变化时，f’(x)，f（x）的变化情况如下表：
X
0
f’(x)
+
0
-
f(x)
极大值
当等价于
解不等式组得-52，则.当x变化时，f’(x),f（x）的变化情况如下表：
X
0
f’(x)
+
0
-
0
+
f(x)
极大值
极小值
当时，f（x）>0等价于即
解不等式组得或.因此20，此时，函数单调递减；
当时，<0，此时，函数单调递增.
当时，由，
即 ，解得.
① 当时， ， 恒成立，此时，函数在（0，+∞）上单调递减;
② 当时， ，
时，,此时,函数单调递减
时，<0,此时,函数单调递增
时，，此时，函数单调递减
③ 当时，由于,
时，,此时,函数单调递减：
时，<0,此时,函数单调递增.
综上所述：
当时，函数在上单调递减;函数在上单调递增
当时,函数在上单调递减
当时，函数在上单调递减；函数 在上单调递增；
函数在上单调递减.
【方法技巧】1、分类讨论的原因
(1)某些概念、性质、法则、公式分类定义或分类给出；
(2)数的运算：如除法运算中除式不为零，在实数集内偶次方根的被开方数为非负数，对数中真数与底数的要求，不等式两边同乘以一个正数还是负数等；
(3)含参数的函数、方程、不等式等问题，由参数值的不同而导致结果发生改变；
(4)在研究几何问题时，由于图形的变化(图形位置不确定或形状不确定)，引起问题的结果有多种可能.
2、分类讨论的原则
(1)要有明确的分类标准；
(2)对讨论对象分类时要不重复、不遗漏；
(3)当讨论的对象不止一种时，应分层次进行.
3、分类讨论的一般步骤
(1)明确讨论对象，确定对象的范围；
(2)确定统一的分类标准，进行合理分类，做到不重不漏；
(3)逐段逐类讨论，获得阶段性结果；
(4)归纳总结，得出结论.
16. （2010·陕西高考文科·Ｔ2１）已知函数
（Ⅰ）若曲线与曲线相交，且在交点处有相同的切线，求的值及该切线的方程；
（Ⅱ）设函数,当存在最小值时，求其最小值的解析式；
（Ⅲ）对（Ⅱ）中的，证明：当时，
【命题立意】本题将导数、不等式知识有机的结合在一起，考查了利用导数研究函数的单调性、利用导数求函数的最值问题，考查了分类讨论的数学思想以及解不等式的能力；考查了学生综合运用所学知识分析问题、解决问题的能力。
【思路点拨】曲线与在交点处有相同的切线交点坐标的值及该切线的方程；利用导数法求的最小值的解析式利用基本不等式证明（Ⅲ）
【规范解答】（Ⅰ）
两条曲线交点的坐标为（e2,e），切线的斜率为
所以切线的方程为
（Ⅱ）由已知条件知
当>0时，令,解得=,
所以当0 < < 时，，h(x)在（0，）上递减；
当x>时，，在上递增。
所以x=是在（0， +∞ ）上的唯一极致点，且是极小值点，从而也是的最小值点。
（2）当a ≤ 0时，在（0，+∞）递增，无最小值。
故
（Ⅲ）由（Ⅱ）知
由
由
所以
所以
又
所以当时，
17.（2010·陕西高考理科·Ｔ2１）已知函数
（Ⅰ）若曲线与曲线相交，且在交点处有相同的切线，求的值及该切线的方程；
（Ⅱ）设函数,当存在最小值时，求其最小值的解析式；
（Ⅲ）对（Ⅱ）中的和任意的，证明：
【命题立意】本题将导数、不等式知识有机的结合在一起，考查了利用导数研究函数的单调性、利用导数求函数的最值问题，考查了分类讨论的数学思想以及解不等式的能力；考查了学生综合运用所学知识分析问题、解决问题的能力。
【思路点拨】曲线与在交点处有相同的切线交点坐标的值及该切线的方程；由利用导数法求的最小值的解析式利用基本不等式证明（Ⅲ）
【规范解答】（Ⅰ）
两条曲线交点的坐标为（e2,e），切线的斜率为
所以切线的方程为
（Ⅱ）由已知条件知
当>0时，令,解得=,
所以当0 < < 时，，h(x)在（0，）上递减；
当x>时，，在上递增。
所以x=是在（0， +∞ ）上的唯一极致点，且是极小值点，从而也是的最小值点。
（2）当a ≤ 0时，在（0，+∞）递增，无最小值。
故
（Ⅲ）由（Ⅱ）知
综上可得：
【方法技巧】不等式的证明方法
1．证明不等式的方法灵活多样，但比较法、综合法、分析法仍是证明不等式的最基本方法．要依据题设、题断的结构特点、内在联系，选择适当的证明方法，要熟悉各种证法中的推理思维，并掌握相应的步骤，技巧和语言特点．
2．在证明不等式前，要依据题设和待证不等式的结构特点、内在联系，选择适当的证明方法．通过等式或不等式的运算，将待证的不等式化为明显的、熟知的不等式，从而使原不等式得到证明；反之亦可从明显的、熟知的不等式入手，经过一系列的运算而导出待证的不等式，前者是“执果索因”，后者是“由因导果”，为沟通联系的途径，证明时往往联合使用分析综合法，两面夹击，相辅相成，达到欲证的目的．
18.（2010·湖南高考理科·Ｔ4）已知函数对任意的，恒有。
（Ⅰ）证明：当时，；
（Ⅱ）若对满足题设条件的任意b，c，不等式恒成立，求M的最小值.
知识点检索号新课标：4
【命题立意】以二次函数为载体，考查导数，不等式的证明，消元等知识。认真的考查了等价转化的思想.
【思路点拨】（1）在对任意的，恒有下可以得到b,c的关系，目标是证明当时，，其实是寻找条件和目标的关系，连接的纽带是b和c的关系.（2）恒成立，转化为求函数的最值，而且是二元函数的最值的求法，没有等式的条件下常常用整体消元.
【规范解答】（1）易知f’(x)=2x+b.由题设，对任意的x恒成立，所以(b-2)2+-4(c-b)≤0,从而c≥
于是c≥1，且c≥|b|,因此2c-b=c+(c-b)>0.
故当x≥0时，有(x+c)2-f(x)=(2c-b)x+c(c-1)≥0.
即当x≥0时，.
(2)由（1）知，c≥|b|时，有M≥
当c=|b|时，由（1）知，b=±2,c=2.此时f(c)-f(b)=-8或0，c2-b2=0,
从而f(c)-f(b)≤.综上所述，M的最小值为.
【方法技巧】求最值是高考中重点也是难点。解题的思路是，首先看变量的个数，如果是三个变量常有三条路，一是利用柯西不等式、均值不等式和排序不等式，二是消元转化为二元再转化为一元，三是有时利用几何背景解题。如果是两个变量常常有三条路可走，一是利用柯西不等式、均值不等式，二是消元转化为一元函数，三是如果条件是不等式，常常也可以数学规划.如果是一个变量，常用方法：基本函数模型，单调性法和导数法.
19.（2010·辽宁高考文科·Ｔ21） 已知函数f(x)=(a+1)lnx+ax2+1.
(Ⅰ)讨论函数f(x)的单调性；
(Ⅱ)设a≤-2，证明：对任意x2,x2(0,+∞)，|f(x1)-f(x2)|≥4|x1-x2|.
【命题立意】本题考查了函数的单调性与导数，求参数的取值范围，考查了分类讨论、转化等思想方法以及运算推理能力。
【思路点拨】（I）求导数，对参数分类，讨论导数的符号，判断单调性，
（II）转化为等价命题，构造新函数g(x)=f(x)+4x,通过g(x)r的单调性证明。
【规范解答】
【方法技巧】讨论函数的单调性首先要明确函数的定义域，一般用导数的方法，对参数分类做到不重不漏。
2、直接证明一个命题，不好证时可考虑证明它的等价命题。
20.（2010·辽宁高考理科·Ｔ21）已知函数
（I）讨论函数的单调性；
（II）设.如果对任意，，求的取值范围。
【命题立意】本题考查了函数的单调性与导数，求参数的取值范围，考查了分类讨论、转化等思想方法以及运算能力。
【思路点拨】（I）求导数，对参数分类，讨论导数的符号，判断单调性，
（II）转化为等价命题，构造新函数g(x)=f(x)+4x,分离参数，求a的范围。
【规范解答】
【方法技巧】
讨论函数的单调性首先要明确函数的定义域，一般用导数的方法，对参数分类做到不重不漏。
求参数的取值范围往往要分离变量，分离时一定要使分离后的式子有意义，如分母不为0等。
直接证明一个命题，不好证时可考虑证明它的等价命题。
21.（2010·天津高考理科·Ｔ2１）已知函数
（Ⅰ）求函数的单调区间和极值；
（Ⅱ）已知函数的图象与函数的图象关于直线对称，证明当时，
（III）如果，且，证明
【命题立意】本小题主要考查导数的应用，利用导数研究函数的单调性与极值等基础知识，考查运算能力及用函数思想分析解决问题的能力。
【思路点拨】利用导数及函数的性质解题。
【规范解答】
（Ⅰ）解：f’，令f’(x)=0,解得x=1，
当x变化时，f’(x)，f(x)的变化情况如下表
x
()
1
()
f’(x)
+
0
-
f(x)
极大值
所以f(x)在()内是增函数，在()内是减函数。
函数f(x)在x=1处取得极大值f(1)且f(1)=
（Ⅱ）证明：由题意可知g(x)=f(2-x),得g(x)=(2-x)
令F(x)=f(x)-g(x),即
于是
当x>1时，2x-2>0,从而’(x)>0,从而函数F（x）在[1,+∞)是增函数。
又F(1)=F(x)>F(1)=0,即f(x)>g(x).
(Ⅲ)证明：（1）
若
（2）若
根据（1）（2）得
由（Ⅱ）可知，>,则=，所以>,从而>.因为，所以，又由（Ⅰ）可知函数f(x)在区间（-∞，1）内是增函数，所以>,即>2。
22.（2010·江苏高考·Ｔ20）设是定义在区间上的函数，其导函数为。如果存在实数和函数，其中对任意的都有>0，使得，则称函数具有性质。
(1)设函数，其中为实数。
(i)求证：函数具有性质； (ii)求函数的单调区间。
(2)已知函数具有性质，给定设为实数，
，，且，
若||<||，求的取值范围。
【命题立意】本题主要考查函数的概念、性质、图象及导数等基础知识，考查灵活运用数形结合、分类讨论的思想方法进行探索、分析与解决问题的综合能力。
【思路点拨】(1)求出，并将其表示为的形式，注意.
(2)利用一的结论求解。
【规范解答】
（1）(i)
∵时，恒成立，
∴函数具有性质；
(ii)（方法一）设，与的符号相同。
当时，，，故此时在区间上递增；
当时，对于，有，所以此时在区间上递增；
当时，图像开口向上，对称轴，而，所以当x>1时，所以此时在区间上递增；
当时，图像开口向上，对称轴，方程的两根为：，而
当时，，，故此时在区间 上递减；同理得：在区间上递增。
综上所述，当时，在区间上递增；
当时，在上递减；在上递增。
（方法二）当时，对于，
所以，故此时在区间上递增；
当时，图像开口向上，对称轴，方程的两根为：，而
当时，，，故此时在区间 上递减；同理得：在区间上递增。
综上所述，当时，在区间上递增；
当时，在上递减；在上递增。
(2)（方法一）由题意，得：
又对任意的都有>0，
所以对任意的都有，在上递增。
又。
当时，，且，
若，∴，（不合题意）。
综合以上讨论，得所求的取值范围是（0，1）。
（方法二）由题设知，的导函数，其中函数对于任意的都成立。所以，当时，，从而在区间上单调递增。
①当时，有，
，得，同理可得，所以由的单调性知、，
从而有||<||，符合题设。
②当时，，
，于是由及的单调性知，所以||≥||，与题设不符。
③当时，同理可得，进而得||≥||，与题设不符。
因此综合①、②、③得所求的的取值范围是（0，1）
23.（2010·浙江高考文科·Ｔ21）已知函数（-b）0）.
（Ⅰ）令F（x）＝xf＇（x），讨论F（x）在（0.＋∞）内的单调性并求极值；
（Ⅱ）求证：当x>1时，恒有x>ln2x－2a ln x＋1.
历届高考中的“导数及其应用”试题精选(理科)
参考答案
一、选择题：（每小题5分，计50分）
二、填空题：(每小题5分,计20分)
11. 3 ； 12．； 13. 2 ； 14. ,球的体积函数的导数等于球的表面积函数
三、解答题：(15,16小题各12分,其余各小题各14分)
15. 解：每月生产x吨时的利润为
，故它就是最大值点，且最大值为：
答：每月生产200吨产品时利润达到最大，最大利润为315万元.
16. 解：(Ⅰ)因为, 所以
即当
因斜率最小的切线与平行，即该切线的斜率为-12，
所以 解得
(Ⅱ)由(Ⅰ)知
17．解：（1） 求导：
当时，，, 在上递增
当，求得两根为
即在递增, 递减, 递增
（2）要使f(x)在在区间内是减函数，当且仅当，在恒成立，
由的图像可知，只需，即, 解得。a≥2。
所以，的取值范围。
18.解：（Ⅰ）因为 所以切线的斜率为
故切线的方程为即。
（Ⅱ）令y= 0得x=t+1, x=0得
所以S（t）==
从而
∵当（0，1）时，>0, 当（1,+∞）时,<0,
所以S(t)的最大值为S(1)=。
19．解：的定义域为．
（Ⅰ）．
当时，；当时，；当时，．
从而，分别在区间，单调增加，在区间单调减少．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知在区间的最小值为．
又．
所以在区间的最大值为．
20.（Ⅰ）解：根据求导法则得
故 于是
列表如下：
x
(0,2)
2
(2,+∞)
F′（x）
-
0
+
F(x)
↓
极小值F（2）
↑
故知F（x）在（0，2）内是减函数，在（2，+∞）内是增函数，所以，在x＝2处取得极小值F（2）＝2-2In2+2a.
（Ⅱ）证明：由
于是由上表知，对一切
从而当
所以当
故当
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